高中数学 11 指数与指数幂的运算 第3课时示范教案 新人教A版必修1Word文件下载.docx

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1.41422

1.414214

的不足近似值

9.518269694

1.4

9.672669973

1.41

9.735171039

1.414

9.738305174

1.4142

9.738461907

1.414213

9.738508928

9.738516765

1.4142135

9.738517705

1.41421356

9.738517736

1.414213562

③你能给上述思想起个名字吗?

④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?

如5

根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?

⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?

活动：

教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:

问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于

的方向,另一方面从小于

的方向.

问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.

问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.

问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.

问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.

讨论结果：

①1.41,1.414,1.4142,1.41421,…这些数都小于

称

的不足近似值,而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,这些数都大于

的过剩近似值.

的方向逼近5

.

第二个表:

从小于2的方向逼近

时,5

就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5

从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5

从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5

的方向接近5

而另一方面5

从5

即逼近5

所以5

是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,和另一串有理从两个方向向表示5

的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5

一定是一个实数,即51.4<

51.41<

51.414<

51.4142<

51.41421<

…<

<

51.41422<

51.4143<

51.415<

51.42<

51.5.

充分表明5

是一个实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.

④根据②③我们可以推断5

是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.

⑤无理数指数幂的意义:

一般地,无理数指数幂aα（a>

0,α是无理数）是一个确定的实数.

也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.

（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?

（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?

是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?

（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?

教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.

对问题

（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.

对问题

（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>

0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.

对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.

（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.

（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:

①ar·

as=ar+s（a>

0,r,s都是无理数）.

②（ar）s=ars（a>

③（a·

b）r=arbr（a>

0,b>

0,r是无理数）.

（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.

实数指数幂的运算性质:

对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:

0,r,s∈R）.

0,r∈R）.

应用示例

思路1

例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）

（1）0.32.1;

（2）3.14-3;

（3）3.1

;

（4）

教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于

（1）,可先按底数0.3,再按

键,再按幂指数2.1,最后按

即可求得它的值；

对于

（2）,先按底数3.14,再按

键,再按负号

键,再按3,最后按

即可;

对于（3）,先按底数3.1,再按

键,再按3

4,最后按

对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按

键,再按

键.有时也可按

或

键,使用键上面的功能去运算.

学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.

答案：

（1）0.32.1≈0.080;

（2）3.14-3≈0.032;

≈2.336;

≈6.705.

点评：

熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；

用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.

例2求值或化简.

（1）

（a>

0）;

（2）（

）

（3）

学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对

（1）由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对

（2）既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对（3）有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成（

）2+（

）2,22+（

）2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.

解：

=

（a

b

）

=a-2ba

=a

=

根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.

a

a0b0=

化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.

（3）

-

+2-

-2+

=0.

考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.

例3已知x=

（5

-5

）,n∈N*,求（x+

）n的值.

学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5

与5

具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.

x2=

）2=

-2·

50+5

+2+5

-4）

+5

）2-1.

这时应看到

1+x2=1+

（

）2,

这样先算出1+x2,再算出

带入即可.

将x=

）代入1+x2，得1+x2=1+

）n,

所以（x+

）n=［

（5

）+

］n

=［

）］n=（5

）n=5.

运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.

思路2

例1计算:

（1）

（2）125

+（

）-2+343

-（

（3）（-2x

y

）（3x

）；

（4）（x

-y

）÷

（x

）.

学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对

（1）根式的运算常常化成幂的运算进行,对

（2）充分利用指数幂的运算法则来进行,对（3）则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对（4）要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.

=（

+（0.0625）

+1-

）2×

+（0.5）

+

+

+0.5+

=5;

=（53）

+（2-1）-2+（73）

-（3-3）

=5

+2-2×

（-1）+7

-3

=25+4+7-3=33;

）=（-2×

3）（x

x

·

=-6x

）=（（x

）2-（y

）2）÷

=（x

+y

）（x

=x

在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.

例2化简下列各式:

（