高考数学理一轮复习讲练测专题45 三角恒等变换讲答案解析Word格式.docx

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3.【2016年湖南师大附中高三二模】设f（x）＝

＋asin

的最大值为3，则常数a＝（）

A．1B．a＝1或a＝－5C．a＝－2或a＝4D．a＝±

4.【基础经典试题】若

，且

或

D．

【答案】A

5.【改编】若

的值为（）

C．

【解析】由

得

选B．

【考点深度剖析】

对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．

【经典例题精析】

考点1两角和与差的三角函数公式的应用

【1-1】

【答案】C

【解析】

【1-2】【湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测】已知

则

等于（）

【解析】由已知，得

．因为

，故选D．

【1-3】【2016宁夏】已知

（）

【1-4】【2016海南模拟】若

，则实数

A．1B．

C．1或

D．1或10

【解析】

选C.

【课本回眸】

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C（α－β）：

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

C（α＋β）：

cos（α＋β）＝cosαcos_β－sin_αsinβ；

S（α＋β）：

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

S（α－β）：

sin（α－β）＝sin_αcos_β－cosαsinβ；

T（α＋β）：

tan（α＋β）＝

；

T（α－β）：

tan（α－β）＝

.

变形公式：

tanα±

tanβ＝tan（α±

β）（1∓tanαtanβ）；

【方法规律技巧】

1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·

（1－tanαtanβ）和二倍角的余弦公式的多种变形等．

2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．

提醒：

在T（α＋β）与T（α－β）中，α，β，α±

β都不等于kπ＋

（k∈Z），即保证tanα，tanβ，tan（α＋β）都有意义；

若α，β中有一角是kπ＋

（k∈Z），可利用诱导公式化简．

【新题变式探究】

【变式一】【2016安徽模拟】已知

B.

C.

D.

【答案】D.

则

又因为

【变式二】已知函数

的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数

）的解析式，并写出

的单调减区间；

（Ⅱ）

的内角分别是A,B,C.若

求

的值.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

，

.

.

考点2二倍角公式及半角公式的的运用

【2-1】【2016福建模拟】若

，得

，又

，故选C．

【2-2】【江苏省淮安市五模】已知

的值为．

【答案】

【2-3】【2016广西模拟】若

C．7D．

二倍角的正弦、余弦、正切公式：

S2α：

sin2α＝2sin_αcos_α；

C2α：

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

T2α：

tan2α＝

cos2α＝

，sin2α＝

1＋sin2α＝（sinα＋cosα）2,1－sin2α＝（sinα－cosα）2

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

【变式】若

是第三象限的角,则

=（）

D．-2

试题分析：

由已知得

，因为

是第三象限的角，故

，故

．

考点3三角恒等式的证明

【3-1】求证：

sin2αsin2β＋cos2αcos2β－

cos2αcos2β＝

[证明]证法一：

（复角→单角，从“角”入手）

左边＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－

（2cos2α－1）（2cos2β－1）

＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－

（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1）

＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－

＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－

＝sin2β＋cos2β－

＝1－

＝

证法三：

（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

左边＝

·

＋

－

cos2αcos2β

（1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β）＋

（1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β）－

证法四：

（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

左边＝（sinαsinβ－cosαcosβ）2＋2sinαsinβcosαcosβ－

＝cos2（α＋β）＋

sin2αsin2β－

＝cos2（α＋β）－

cos（2α＋2β）

[2cos2（α＋β）－1]＝

【3-2】求证：

－2cos（α＋β）.

【3-3】已知

证明：

【证明】

又

三角恒等式的证明主要有两种类型：

绝对恒等式与条件恒等式．

（1）证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．

（2）条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．

【变式1】求证：

tan2x＋

【证明】证法一：

＝右边．

证法二：

右边＝

＝tan2x＋

＝左边．

【变式2】已知

，证明：

【证明】左边

右边.

故原命题成立.

【变式3】已知△ABC是非直角三角形.

（Ⅰ）求证：

tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；

（Ⅱ）若A＞B且tanA＝－2tanB，求证：

tanC＝

（Ⅰ）因为C＝π－（A＋B），

所以tanC＝－tan（A＋B）＝

所以tanC－tanAtanBtanC＝－tanA－tanB，

即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanC＝

＝

【变式4】证明

所以原命题成立.

考点4三角恒等变换与三角函数性质的综合应用

【4-1】【2016河北模拟】已知函数

。

（Ⅰ）当

时，求

的最大值。

（Ⅱ）设

的内角

所对的边分别为

求

当

时，即

时，

由余弦定理得：

，解得

【4-2】在平面坐标系

中，直线

与圆

相交于

（

在第一象限）两个不同的点，且

的值是（）

【4-3】已知点

在圆

上，则函数

的最小正周期和最小值分别为（）

【解析】由于点

上，所以

，可设

故函数

的最小正周期为

函数

的最小值为

，故选B.

函数f（α）＝acosα＋bsinα（a，b为常数），可以化为f（α）＝

sin（α＋φ）或f（α）＝

cos（α－φ），其中φ可由a，b的值唯一确定．

高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为

的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

【2016河北衡水模拟】已知

（1）求

的值；

（2）若

，求

的值．

（1）由

（2）根据题意有

【2016黑龙江模拟】已知函数

时，求函数

取得最大值和最小值时

（Ⅱ）设锐角

的对应边分别是

，若向量

与向

量

平行，求

（Ⅰ）

∵

，∴

∴当

取得最大值

取得最小值

（Ⅱ）∵向量

与向量

平行，

，根据正弦定理的推论，得

∴

，由余弦定理

，经检验符合三角形要求，

的值为

三、易错试题常警惕

易错典例：

若sinθ，cosθ是关于x的方程5x2－x＋a＝0（a是常数）的两根，θ∈（0，π），求cos2θ的值．

易错分析：

不注意挖隐含条件，角

的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．

温馨提醒：

求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取