中考第一轮复习第24讲《圆的有关性质》专题训练含答案Word格式.docx
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二、垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的
直径________这条弦,并且________弦所对的两条弧.
2.推论1
(1)平分弦(________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过________,并且平分弦所对的________弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
3.推论2
圆的两条平行弦所夹的弧________.
4.
(1)过圆心;
(2)平分弦(不是直径);
(3)垂直于弦;
(4)平分弦所对的优弧;
(5)平分弦所对的劣弧.若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项.
三、圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧________,所对的弦________.
2.推论
同圆或等圆中:
(1)两个圆心角相等;
(2)两条弧相等;
(3)两条弦相等.三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.
四、圆心角与圆周角
1.定义
顶点在________上的角叫做圆心角;
顶点在________上,角的两边和圆都________的角叫做圆周角.
2.性质
(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数.
(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半.
(3)同弧或等弧所对的圆周角________,同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________.
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______,90°
的圆周角所对的弦是________.
五、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补.
自主测
试
1.如图,⊙O的弦AB
垂直平分半径OC,若AB=
,则⊙O的半径为( )
A.
B.2
2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°
,若⊙O的半径OC为2,则弦BC的长为( )
5.如图,在平面直角坐标系中,⊙A与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交⊙A于M,N两点,若点M的坐标是(-4,-2),则弦MN的长为__________.
(第5题图)
考点一、垂径定理及推论
【例1】在圆柱形油槽内装有一些油.截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为( )
A.6分米B.8分米
C.10分米D.12分米
分析:
如图
,油面AB上升1分米得
到油面CD,依题意得AB=6,CD=8,过O点作
AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,由垂径定理,得AE=
AB=3,CF=
CD=4,设OE=x,则OF=x-1,在Rt△OAE中,OA2=AE2+OE2,在Rt△OCF中,OC2=CF2+OF2,由OA=OC,列方程求x即可求得半径OA,得出直径MN.
解析:
,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,
由垂径定理,得AE=
CD=4,
设
OE=x,则OF=x-1,
在Rt△OAE中,OA2=AE2+OE2,
在Rt△OCF中,OC2=CF2+OF2,
∵OA=OC,∴32+x2=42+(x-1)2,解得x=4,∴半径OA=
=5,∴直径MN=2OA=10(分米).故选C.
答案:
C
方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算,常作垂直于弦的直径,利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的.
触类旁通1如图所示,若⊙O的半径为13cm,点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5cm,则弦AB的长为__________cm.
考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】如图,已知A,B,C,D是⊙O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD.
(1)求证:
DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.
解:
(1)证明:
∵AB=BC,
∴
.∴∠ADB=∠BDC,
∴DB平分∠ADC
.
(2)由
(1)知
,∴∠BAE=∠ADB.
∵∠ABE=∠ABD,∴△ABE∽△DBA.∴
=
∵BE=3,ED=6,∴BD=9.
∴AB2=BE·
BD=3×
9=27.∴AB=3
方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理,提供了从圆心角到弧到弦的转化方式,为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路,解题时要根据具体条件灵活选择应用.
触类旁通2如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,若∠C=40°
,则∠ABD的度数为( )
A.40°
B.50°
C.80°
D.90°
考点三、圆周角定理及推论
【例3】如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°
,则∠BCD=( )
A.116°
B.32
°
C.58°
D.64°
根据圆周角定理求得,∠AOD=2∠ABD=116°
(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),∠BOD=2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半);
根据平角是180°
知∠BOD=180°
-∠AOD.还有一种解法,即利用直径所对的圆周角等于90°
,可得∠ADB=90°
,则∠DAB=90°
-∠ABD=32°
,∵∠DAB=∠DCB,∴∠DCB=32°
B
方法总结求圆中角的度数时,通常要利用圆周角与圆心角或
圆心角与弧之间的关系.
触类旁通3如图,点A,B,C,D都在⊙O上,
的度数等于84°
,CA是∠OCD的平分线,则∠ABD+∠CAO=__________.
A.CM=DMB.
C.∠ACD=∠ADCD.OM=MD
3.(2012浙江湖州)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC是⊙O的直径,∠C=50°
,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,则∠BAD的度数是( )
(第3题图)
A.45°
B.85°
C.90°
D.95°
4.(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.
7.(2012湖南长沙)如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°
△ABC是等边三角形;
(2)求圆心O到BC的距离OD.
1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8,那么线段OE的长为( )
A.5B.4
C.3D.2
2.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为( )
B.
C.
D.
3.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆圆心O到水面的距离OC是6,则水面宽AB是( )
A.16 B.10
C.8D.6
4.如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器,标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆
周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( )
(第4题图)
A.12个单位B.10个单位
C.4个单位D.15个单位
5.已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30°
,则∠D=__________.
6.如图,过A,C,D三点的圆的圆心为E,过B,F,E三点的圆的圆心为D,如果∠A=63°
,那么∠DBE=__________.
(第6题图)
7.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D点,且AC=5,DC=3,AB=4
,则⊙O的直径等于________.
(第7题图)
8.如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于点E.求证:
(1)△ABD为等腰三角形;
(2)AC·
AF=DF·
FE.
参考答案
导学必备知识
自主测试
1.A 2.D 3.60°
4.90°
5.3 如图,过点A作AB⊥MN,连接AM,
设MB为x,则AM=AO=4-x.
在Rt△AMB中,
∵AM2=
MB2+AB2,
∴(4-x)2=x2+22,解得x=
∴MN=2MB=3.
探究考点方法
触类旁通1.24 连接OA,当OP⊥AB时,OP最短,此时OP=5cm,且AB=2AP.在Rt△AOP中,AP=
=12,所以AB=24cm.
触类旁通2.B 由题意,得∠A=∠C=40°
,由直径所对的圆周角是直角,得∠ADB=90°
,根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A+∠ABD=90°
,从而得∠ABD=50°
触类旁通3.48°
因为
,所以∠COD=84°
.因为OC=OD,所以∠OCD=48°
.因为CA是∠OCD的平分线
,所以∠ACD=∠ACO=24°
,因为OA=OC,所以∠OAC=∠ACO=24°
,因为∠ABD=∠ACD=24°
,所以∠ABD+∠CAO=48°
品鉴经典考题
1.A ∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°
,∴∠ACB=45°
.故选A.
2.D ∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,
∴M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立;
B为
的中点,即CB=DB,选项B成立;
在△ACM和△ADM中,
∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°
,CM=DM,
∴△ACM≌△ADM(SAS),
∴∠ACD=∠ADC,选项C成立;
而OM与MD不一定相等,选项D不成立.
故选D.
3.B ∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°
.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,∴∠ABD=45°
.∵∠C=50°
,∴∠D=50°
,∴∠BAD的度数是180°
-45°
-50°
=85°
4.8 如图所示,在⊙O中,连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD.
∵钢珠的直径是10mm,
∴钢珠的半径是5mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,
∴OD=3mm.
在Rt△AOD中,
∵AD=
=4(mm).
∴AB=2AD=2×
4=8(mm).
故答案为8.
5.2 ∵AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C,AB=2
,