版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第四章圆与方程432含答案整理Word下载.docx

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同理|MF|＝

|CC′|＝

因此，点N的坐标为

，点M的坐标为

所以|MN|＝

＝

a.

反思与感悟　在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．

跟踪训练1　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

解　以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，

∴C（0,0,0），A（2,0,0），B（0,2,0），C1（0,0,2），B1（0,2,2），由中点坐标公式，可得

D（1,1,0），E（0,1,2），F（1,0,0），

∴|DE|＝

|EF|＝

类型二　求空间点的坐标

例2　已知点A（4,5,6），B（－5,0,10），在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为_____．

答案　（0,0,6）

解析　设P（0,0，z），由|PA|＝|PB|，得

解得z＝6.

∴点P的坐标为（0,0,6）．

引申探究　

1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？

解　与例2的结论一样，P（0,0,6）．

2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？

解　设P（0，y,0），由|PA|＝|PB|，得

解得y＝－

∴点P的坐标为（0，－

，0）．

反思与感悟　

（1）若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．

（2）若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．

跟踪训练2　设点P在x轴上，使它到点P1（0，

，3）的距离是到点P2（0,1，－1）的距离的2倍，求点P的坐标．

解　因为P在x轴上，所以设P点坐标为（x,0,0）．

因为|PP1|＝2|PP2|，

所以

＝2

所以x＝±

1，所以点P的坐标为（1,0,0）或（－1,0,0）．

类型三　空间两点间距离公式的应用

例3　已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a（0＜a＜

）．

（1）求|MN|的长；

（2）当a为何值时，|MN|的长最小．

解　∵平面ABCD⊥平面ABEF，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，

∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直．

过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.

∵|CM|＝|BN|＝a，

∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝

a，

∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，

则M

，N

（1）|MN|＝

（2）由

（1）得当a＝

时，|MN|最短，最短为

，这时M、N恰好为AC、BF的中点．

反思与感悟　距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：

（1）求空间任意两点间的距离；

（2）判断几何图形的形状；

（3）利用距离公式求最值．

跟踪训练3　如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．

解　建立如图所示的空间直角坐标系，则P（

∵Q点在CD上，∴设Q（0,1，z），z∈[0,1]，

∴|PQ|＝

，∴当z＝

时，|PQ|min＝

1．坐标原点到下列各点距离最大的点是（　　）

A．（1,1,1）B．（1,2,2）

C．（2，－3,5）D．（3,0,4）

答案　C

2．已知点A（x,1,2）和点B（2,3,4），且|AB|＝2

，则实数x的值是（　　）

A．－3或4B．6或2

C．3或－4D．6或－2

答案　D

解析　由空间两点间的距离公式，得

解得x＝6或x＝－2.

3．已知三角形的三个顶点A（2，－1,4），B（3,2，－6），C（5,0,2），则过A点的中线长为（　　）

A.

B．2

C．11

D．3

答案　B

解析　∵BC的中点坐标为（4,1，－2），

∴过A点的中线长为

4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为（　　）

A.

aB.

a

C．aD.

解析　∵A′（a,0，a），C（0，a,0），A（a,0,0），B（a，a,0），

∴E点坐标为（

），F点坐标为（a，

，0），

∴|EF|＝

5．已知点A（1，a，－5），B（2a，－7，－2），则|AB|的最小值为________．

答案　3

解析　|AB|＝

当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为

＝3

1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．

2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．

课时作业

一、选择题

1．点A在z轴上，它到点（2

，1）的距离是

，则A点的坐标为（　　）

A．（0,0，－1）B．（0,1,1）

C．（0,0,1）D．（0,0,13）

解析　设A（0,0，c），则

，解得c＝1.所以点A的坐标为（0,0,1）．

2．设点B是点A（2，－3,5）关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为（　　）

A．10B.

C.

D．38

答案　A

解析　∵点B是A（2，－3,5）关于xOy平面的对称点，∴点B的横坐标和纵坐标与点A相同，竖坐标相反，∴B（2，－3，－5），∴AB的长度是5－（－5）＝10.故选A.

3．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（　　）

B.

D.

解析　如图，不妨设B1点为定点．由题意知，|B1A|＝|B1C|＝|B1D|＝1.

|OB1|＝

4．已知△ABC的顶点坐标是A（3,1,1），B（－5,2,1），C（－

，2,3），则它在yOz平面上的射影图形的面积是（　　）

A．4B．3C．2D．1

解析　△ABC的三个顶点A、B、C在yOz平面上的射影点的坐标分别为（0,1,1）、（0,2,1）、（0,2,3），它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.

5．已知三点A（－1,0,1），B（2,4,3），C（5,8,5），则（　　）

A．三点构成等腰三角形

B．三点构成直角三角形

C．三点构成等腰直角三角形

D．三点构不成三角形

解析　∵|AB|＝

|AC|＝2

，|BC|＝

，∴|AB|＋|BC|＝|AC|，

∴三点A，B，C共线，构不成三角形，故选D.

6．已知A（x,5－x,2x－1），B（1，x＋2,2－x），当|AB|取最小值时，x的值为（　　）

A．19B．－

∴当x＝－

时，|AB|最小．

7．一束光线自点P（1,1,1）发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q（3,3,6）被吸收，那么光所走的路程是（　　）

解析　点P（1,1,1）关于平面xOy的对称点M的坐标为（1,1，－1）．一束光线自点P（1,1,1）发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q（3,3,6）被吸收，那么光所走的路程是

二、填空题

8．在空间直角坐标系中，已知点A（1,0,2），B（1，－3,1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标为________．

答案　（0，－1,0）

解析　设点M的坐标为（0，y,0），

由|MA|＝|MB|，得（0－1）2＋（y－0）2＋（0－2）2＝（0－1）2＋（y＋3）2＋（0－1）2，整理得6y＋6＝0，

∴y＝－1，即点M的坐标为（0，－1,0）．

9．已知正方体的六个面中，不在同一平面的两点的坐标分别为A（－1,2，－1），B（3，－2,3），则正方体的体积是________．

答案　64

＝4

又因为A（－1,2，－1），B（3，－2,3）不在同一平面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长．设正方体的边长为a，则

a＝4

，即a＝4，所以正方体的体积为64.

10．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P的坐标为P（x，y，z），则x，y，z满足的关系式为______________．

答案　x2＋y2＋z2＝25

解析　由空间两点间距离公式可得x2＋y2＋z2＝25.

11.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点A（

，0），点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°

，∠DCB＝30°

，则三棱锥D－ABC的体积为__________．

解析　因为∠BDC＝90°

，|BC|＝2.

所以|BD|＝1，|CD|＝|BC|cos30°

所以S△BCD＝

×

|BD|×

|CD|＝

因为A（

，0），即点A到BC的距离为

所以三棱锥D－ABC的体积为V＝

三、解答题

12．在空间直角坐标系Oxyz中，

（1）在z轴上求一点P，使得它到点A（4,5,6）与到点B（－7,3,11）的距离相等；

（2）已知点M到坐标原点的距离等于2