高考数学考点解读命题热点突破专题18 概率 文Word下载.docx

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【解析】三位学生两位老师站成一排，有A

＝120（种）站法，老师站在一起，共有A

A

＝48（种）站法，故老师站在一起的概率为

＝

.

【特别提醒】求古典概型的概率的关键是计算基本事件的个数和所求的随机事件含有的基本事件的个数，在计算时要注意不要重复也不要遗漏

【变式探究】

已知圆O：

x2＋y2＝12，直线l：

4x＋3y＝25，则圆O上的点到直线l的距离小于2的概率为________．

【特别提醒】与角度相关的几何概型问题一般用直接法，或转化为与线段长度、面积有关的几何概型问题．计算与线段长度有关的几何概型的方法是：

求出基本事件对应的线段长度、随机事件对应的线段长度，随机事件对应的线段长度与基本事件对应的线段长度之比即为所求．

【举一反三】

如图所示，

大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短直角边长为3，向大正方形内抛撒一颗黄豆（假设黄豆不落在线上），则黄豆恰好落在小正方形内的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】B　

【特别提醒】计算与面积相关的几何概型的方法：

算出基本事件对应图形的面积和随机事件对应图形的面积，随机事件对应图形的面积与基本事

件对应图形的面积之比即为所求．

【变式探究】

某高二学生练习投篮，每次投篮命中率约为30%，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率：

选用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2表示命中，4，5，6，7，8，9表示不命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果．经随机模拟产生了如下随机数：

807　956　191　925　271　932　813　458　569　683

431　257　393　027　556　488　730　113　527　989

据此估计该学生3次投篮恰有2次命中的概率为（　　）

A．0.15B．0.25

C．0.2D．0.18

【答案】C　

【特别提醒】每次命中率约为30%，3次投篮命中2次的概率，可以看作3次独立重复试验恰好成功2次的概率，直接计算为C

×

0.32×

0.7＝0.189，与随机模拟方法求得的概率具有差异．随机模拟的方法求得的概率具有随机性，两次随机模拟求得的概率值可能是不同的．

【命题热点突破二】相互独立事件和独立重复试验

例2、某项比赛规则是：

甲、乙两队先进行个人赛，每支参赛队中成绩的前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同的队员之间进行，且三场比赛同时进行．根据以往比赛统计：

两名队员中个人赛成绩高的队员在各场胜的概率为

，负的概率为

，且各场比赛互不影响．已知甲、乙两队各有5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图所示．

（1）计算两队在个人赛中成绩的均值和方差；

（2）求甲队在团体赛中至少有2名队员获胜的概率．

【解析】：

（1）由题中数据可知，

x甲＝

＝88，x乙＝

＝88，所以s

（9＋25＋4＋64＋4）＝21.2，s

（0＋16＋25＋16＋25）＝16.4.

（2）设“甲队中参加个人赛成绩为第i名的队员在团体赛中获胜”为事件Ai（i＝1，2，3）.

由题意可知P（A1）＝

，P（A2）＝P（A3）＝

，且A1，A2，A3相互独立.

设“甲队至少有2名队员获胜”为事件E，则E＝A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3，

故P（E）＝

＋

【特别提醒】在做涉及相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的互斥事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，如果某些相互独立事件符合独立重复试验的特点，那么就用独立重复试验的概率计算公式解答．

已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检验将其区分，每次随机检测一件产

品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：

元），求X的分布列和均值（数学期望）．

故X的分布列为

X

200

300

400

P

所以E（X）＝200×

＋300×

＋400×

＝350.

【命题热点突破三】随机变量的分布列、均值与方差

例3、【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.

【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数

的取值为

，其中

在1次试验中成功的概率为

，

所以在2次试验中成功次数

的概率为

则

【变式探究】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3此密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；

否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．

所以X的分布列为

1

2

3

所以E（X）＝1×

＋2×

＋3×

【特别提醒】求离散型随机变量分布列的关键有两点：

一是确定离散型随机变量的所有可能取值，不要遗漏；

二是根据离散型随机变量取值的实际意义求出其各个值的概率．

某树苗培育基地为了解该基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：

cm），并将所得数据分组，得到频率分布表如下：

组距

频数

频率

[100，102）

17

0.17

[102，104）

18

0.18

[104，106）

24

0.24

[106，108）

a

b

[108，110）

6

0.06

[110，112]

0.03

合计

100

（1）求上表中a，b的值；

（2）估计该基地榕树树苗的平均高度；

（3）该基地从高度在区间[108，112]内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中高度在区间[110，112]内的有X株，求X的分布列和数学期望．

（3）由频率分布表知树苗高度在区间[108，112]内的有9株，在区间[110，112]内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3.

P（X＝0）＝

，P（X＝1）＝

P（X＝2）＝

，P（X＝3）＝

所以E（X）＝0×

＋1×

【特别提醒】常见的离散型随机变量的概率分布模型有两个：

超几何分布和二项分布．从摸球模型上看，超几何分布是不放回地取球，二项分布是有放回的取球．注意从摸球模型理解这两个分布．

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到如图所示的黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是

（1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；

（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．

故ξ的分布列为

ξ

4

故ξ的数学期望E（ξ）＝4×

【特别提醒】求解离散型随机变量的期望和方差的基本方法：

先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后分别求出取这些值时的概率，列出分布列，最后根据公式计算随机变量的数学期望和方差．

【命题热点突破四】求解离散型随机变量的分布列、期望与方差，利用期望与方差进行决策问题

例4、某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元．根据以往经验，今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半，否则与前一天持平．现有两种采摘方案：

方案①：

茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；

方案②：

茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元．

根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%，每天是否下雨互不影响．

（1）若采用方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益；

（2）从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理．

所以ξ的分布列为

1.5

所以ξ的数学期望E（ξ）＝6×

＋1.5×

＝3.84，

即茶厂14日当天采茶的预期收益为3.84万元．

（2）茶厂若采用方案①，设茶厂13日采茶的预期收益为η万元，则η的可能取值为6和3.

因为P（η＝6）＝

，P（η＝3）＝

所以η的分布列为

η

所以η的数学期望E（η）＝6×

＝4.8，

所以若茶厂采用方案①，则采茶的总收益为6＋4.8＋3.84＝14.64（万元）；

若茶厂采用方案②，则采茶的总收益为6×

3－3.2＝14.8（万元）．

因为14.64<

14.8，所以茶厂采用方案②更合理．

【易错提醒】

（1）对问题的实际意义理解不透，弄错ξ的取值；

（2）求ξ取各个值的概率时出现计算方面的错误；

（3）对采用方案①采茶的总预期收益的意义理解错误，不能正确求出采用方案①采茶的总预期收益；

（4）找错两种方案优劣的比较标准．

【变式探究】为迎接中秋节，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：

参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大？

因为E（ξ）－E（η）＝（

）－（

）＝

所以当

>

时，E（ξ）＞E（η），即先回答问题A，再回答问题B，该参与者获奖金额的期望值较大；

当

时，E（ξ）＝E（η），无论是先回答问题A，再回答问题B，还是先回答问题B，再回答问题A，该参与者获奖金额的期望值相等；

<

时，E（ξ）<

E（η），即先回答问题B，再回答问题A，该参与者获奖金额的期望值较大．

【高考真题解读】

1.【2