令g(x)=-1,则g(x)的导函数g′(x)=.
令g′(x)>0,解得x>1;令g′(x)<0,解得x<1.
从而g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增.
所以当x=1时,g(x)取得最小值e-1,从而实数a的取值范围是(-∞,e-1).
7.(2016·湖南衡阳联考)已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=-是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值;
(3)在
(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点?
若存在,请求出实数b的取值范围;若不存在,试说明理由.
解析
(1)f′(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,即3x2-2ax-3≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,则必有≤1,且f′
(1)=-2a≥0,∴a≤0.
(2)f′(-)=0,即+a-3=0,∴a=4.
∴f(x)=x3-4x2-3x.
令f′(x)=3x2-8x-3=0,解得x1=-,x2=3.
x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
1
(1,3)
3
(3,4)
4
f′(x)
-
0
+
f(x)
-6
-18
-12
∴f(x)在[1,4]上的最大值为f
(1)=-6.
(3)函数g(x)=bx的图像与f(x)的图像恰有3个交点,即x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根,∴方程x3-4x2-3x-bx=0恰有3个不等实根.
其中x=0是其中一个根,∴方程x2-4x-3-b=0有两个不等于零的不等实根.
∴∴b>-7且b≠-3.
8.(2016·山东青岛检测)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.
解析
(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b.
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f
(1)=g
(1),且f′
(1)=g′
(1).
即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.
(2)设h(x)=f(x)+g(x).当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,h′(x)=3x2+2ax+a2.
令h′(x)=0,得x1=-,x2=-.
a>0时,h(x)与h′(x)的变化情况如下:
x
(-∞,-)
-
(-,-)
h′(x)
+
0
-
h(x)
极大值
x
-
(-,+∞)
h′(x)
0
+
h(x