高考数学一轮复习直线和平面平行Word下载.docx

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如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

[小题能否全取]

1．（教材习题改编）下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是（　　）

A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面

B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

解析：

选D　由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．

2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：

①若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥b，a∥α，则b∥α；

③若a∥α，b∥α，则a∥b.

其中真命题的个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

选A　对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；

对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；

对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．

3．（教材习题改编）若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（　　）

A．l∥αB．l⊥α

C．l与α相交且不垂直D．l∥α或l⊂α

选D　由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成立．

4．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．

由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．

答案：

平行或异面

5．（2012·

衡阳质检）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

如图．

连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

平行

1.平行问题的转化关系：

判定

性质

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；

而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

3．辅助线（面）是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．

线面平行、面面平行的基本问题

典题导入

[例1]　（2011·

福建高考）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

[自主解答]　因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝

AC.又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2

.所以EF＝

.

[答案]　

本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN∥平面A1C1CA.

解：

如图，

∵GN∥平面AA1C1C，

EG∥平面AA1C1C，

又GN∩EG＝G，

∴平面EGN∥平面AA1C1C.

∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA1C1C.

由题悟法

解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：

（1）判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．

（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

（3）举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．

以题试法

1．

（1）（2012·

浙江高三调研）已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（　　）

A．只有一条，不在平面α内

B．有无数条，不一定在平面α内

C．只有一条，且在平面α内

D．有无数条，一定在平面α内

选C　由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．

（2）（2012·

潍坊模拟）已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是（　　）

A．m∥β且l1∥α　　　　　B．m∥β且n∥β

C．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2

选D　由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.

直线与平面平行的判定与性质

[例2]　（2012·

辽宁高考）如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°

，AB＝AC＝

，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（1）证明：

MN∥平面A′ACC′；

（2）求三棱锥A′－MNC的体积．（锥体体积公式V＝

Sh，其中S为底面面积，h为高）

[自主解答]　

（1）证明：

法一：

连接AB′、AC′，因为点M，N分别是A′B和B′C′的中点，

所以点M为AB′的中点．

又因为点N为B′C′的中点，

所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′，

AC′⊂平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

法二：

取A′B′的中点P.连接MP.

而点M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩PN＝P，

因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，

（2）法一：

连接BN，由题意得A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.

又A′N＝

B′C′＝1，

故VA′－MNC＝VN－A′MC＝

VN－A′BC＝

VA′－NBC＝

VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝

利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

2．（2012·

淄博模拟）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BD，BB1的中点．

（1）求证：

EF∥平面A1B1CD；

（2）求证：

EF⊥AD1.

（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D，

在平面BB1D内，E，F分别为BD，BB1的中点，

∴EF∥B1D.

又∵B1D⊂平面A1B1CD.

EF⊄平面A1B1CD，

∴EF∥平面A1B1CD.

（2）∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，

∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.

又A1D∩A1B1＝A1，

∴AD1⊥平面A1B1D.

∴AD1⊥B1D.

又由

（1）知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1.

平面与平面平行的判定与性质

[例3]　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

E，B，F，D1四点共面；

平面A1GH∥平面BED1F.

[自主解答]　

（1）在正方形AA1B1B中，

∵AE＝B1G＝1，

∴BG＝A1E＝2，

∴BG綊A1E.

∴四边形A1GBE是平行四边形．

∴A1G∥BE.

又C1F綊B1G，

∴四边形C1FGB1是平行四边形．

∴FG綊C1B1綊D1A1.

∴四边形A1GFD1是平行四边形．

∴A1G綊D1F.

∴D1F綊EB.

故E，B，F，D1四点共面．

（2）∵H是B1C1的中点，∴B1H＝

又B1G＝1，∴

＝

又

，且∠FCB＝∠GB1H＝90°

，

∴△B1HG∽△CBF.

∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG.

∴HG∥FB.

∵GH⊄面FBED1，FB⊂面FBED1，∴GH∥面BED1F.

由

（1）知A1G∥BE，A1G⊄面FBED1，BE⊂面FBED1，

∴A1G∥面BED1F.

且HG∩A1G＝G，

∴平面A1GH∥平面BED1F.

常用的判断面面平行的方法

（1）利用面面平行的判定定理；

（2）面面平行的传递性（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）；

（3）利用线面垂直的性质（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）．

3．（2012·

北京东城二模）如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.

平面AMB∥平面DNC；

（2）若MC⊥CB，求证：

BC⊥AC.

证明：

（1）因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，

所以MB∥平面DNC.

又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.

又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC.

所以MA∥平面DNC.

又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB，

所以平面AMB∥平面DNC.

（2）因为四边形AMND是矩形，

所以AM⊥MN.

因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，

所以AM⊥平面MBCN.

因为BC⊂平面MBCN，

所以AM⊥BC.

因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，

所以BC⊥平面AMC.

因为AC⊂平面AMC，

所以BC⊥AC.

1．（2013·

浙江模拟）已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是（　　）

A．若n∥α，则α∥β　　　　　　B．若α⊥β，则m∥n

C．若m⊥n，则α∥βD．若α∥β，则m⊥n

选D　由m⊥α，α∥β，n⊂β⇒m⊥n.

2．平面α∥平面β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

选D　若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则α∥β，b∥α，故排除C.

3.

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直