湘教版九年级数学上册章节过关题解析版一元二次方程25一元二次方程的应用2课时图形面积和动点几何问题Word格式文档下载.docx

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A．0.5cmB．1cm

C．1.5cmD．2cm

4．如图K－16－3，在△ABC中，AC＝50cm，BC＝40cm，∠C＝90°

，点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300cm2时，运动时间为（　　）

图K－16－3

A．5sB．20s

C．5s或20sD．不确定

二、填空题

5．如图K－16－4，用长度为32米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个面积为120平方米的长方形花圃．若设BC的长为x米，则根据条件能得到一个关于x的一元二次方程，该方程的一般形式为______________．

图K－16－4

6．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题（如图K－16－5），题目是：

“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”

题意是：

有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少．（小知识：

1丈＝10尺），如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为（x＋1）尺，根据题意列方程为____________．

图K－16－5

7．如图K－16－6，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以

cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为ts，则t＝________时，S1＝2S2.

图K－16－6

三、解答题

8．如图K－16－7（a），要设计一幅宽20cm、长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3.如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

分析：

由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2xcm，则每个竖彩条的宽为3xcm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图（b）的情况，得到矩形ABCD.

（1）如图（b），用含x的代数式表示：

AB＝________cm，AD＝________cm，矩形ABCD的面积为__________________cm2；

（2）列出方程并完成本题解答．

图K－16－7

9.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图K－16－8，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2.

（1）试用含有x的代数式表示y，并确定x的取值范围；

（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的

，求横、竖彩条的宽度．

图K－16－8

10．如图K－16－9，在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2），C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒

个单位的速度沿射线OD方向移动；

同时点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为何值时，△PQB为直角三角形？

图K－16－9

11.李明准备进行如下操作试验：

把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？

（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你觉得他的想法正确吗？

请说明理由．

12方案设计某小区计划在一块长100m、宽60m的矩形荒地上修建一个配绿化带的活动区，要求整体布局既是轴对称图形，又是中心对称图形，且绿化率不低于35%（绿化率＝

×

100%）．

（1）甲方案：

如图K－16－10①所示（单位：

m），设计两条互相垂直，且宽度都为am的十字活动区域，周边四块为绿化带（图中阴影部分），若绿化面积为2100m2，求a的值；

（2）乙方案：

如图K－16－10②所示（单位：

m），场地正中央设计菱形绿化带（图中阴影部分），周边为活动区域，请通过计算说明该方案是否符合要求．

图K－16－10

1．[解析]C　由题意可得（80－2x）（70－2x）＝3000.故选C.

2．[解析]C　由题意，可设边长增加x米，则增加后的面积为（10＋x）（10＋x）平方米，利用增加后的面积＝原来面积的4倍，列方程得（10＋x）2＝4×

102，∴x1＝10，x2＝－30.∵x2＝－30不符合题意，舍去，∴x＝10.

3．[解析]B　设AC交A′B′于点H，∵∠A＝45°

，∠AA′H＝90°

，∴△A′HA是等腰直角三角形．设AA′＝xcm，则阴影部分的底A′H的长为xcm，高A′D＝（2－x）cm，∴x·

（2－x）＝1，∴x1＝x2＝1，即AA′＝1cm.

4．[解析]C　设运动时间为ts，则AP＝2t，CQ＝3t，∴PC＝50－2t.∵

·

PC·

CQ＝300，∴

（50－2t）·

3t＝300，解得t＝20或t＝5，∴运动时间为20s或5s时，△PCQ的面积等于300cm2.故选C.

5．[答案]x2－32x＋240＝0

[解析]依题意得：

（32－x）x＝120，整理，得x2－32x＋240＝0.

6．[答案]x2＋52＝（x＋1）2

[解析]设水深为x尺，则芦苇长可用含x的代数式表示为（x＋1）尺，根据题意列方程为x2＋52＝（x＋1）2.

7．[答案]6

[解析]∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD＝8

cm.又∵AP＝

tcm，则S1＝

AP·

BD＝

8

t＝8t，PD＝（8

－

t）cm.∵PE∥BC，∴∠AEP＝∠C＝45°

，∠APE＝∠ADC＝90°

，∴∠PAE＝∠AEP＝45°

，∴PE＝AP＝

tcm，∴S2＝PD·

PE＝（8

t）·

t.∵S1＝2S2，∴8t＝2（8

t，解得t＝6或t＝0（舍去）．故答案是6.

8．[解析]读懂题中分析，利用已有的数量关系与面积公式列方程．

解：

（1）（20－6x）　（30－4x）　（20－6x）（30－4x）

（2）根据题意，得

（20－6x）（30－4x）＝（1－

）×

20×

30.

整理，得6x2－65x＋50＝0，

解方程，得x1＝

，x2＝10（不合题意，舍去），

则2x＝

，3x＝

.

答：

每个横、竖彩条的宽度分别为

cm，

cm.

9．解：

（1）根据题意可知，横彩条的宽度为

xcm，

∴

解得0＜x＜8，

y＝20×

x＋2×

12·

x－2×

x·

x＝－3x2＋54x，即y＝－3x2＋54x（0＜x＜8）．

（2）根据题意，得－3x2＋54x＝

12，

整理，得x2－18x＋32＝0，

解得x1＝2，x2＝16（舍去），∴

x＝3.

横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm.

10．解：

过点P作PG⊥OC于点G.在Rt△POG中，

∵∠POQ＝45°

，∴∠OPG＝45°

∵OP＝

t，∴OG＝PG＝t，∴点P的坐标为（t，t）．

又∵Q（2t，0），B（6，2），

根据勾股定理可得PB2＝（6－t）2＋（2－t）2，BQ2＝（6－2t）2＋22，PQ2＝（2t－t）2＋t2＝2t2.

①若∠PQB＝90°

，则PQ2＋BQ2＝PB2，即2t2＋[（6－2t）2＋22]＝（6－t）2＋（2－t）2，整理得4t2－8t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2.

②若∠PBQ＝90°

，则PB2＋BQ2＝PQ2，

即[（6－t）2＋（2－t）2]＋[（6－2t）2＋22]＝2t2，

整理得t2－10t＋20＝0，解得t＝5±

③若∠BPQ＝90°

，则PB2＋PQ2＝BQ2，即（6－t）2＋（2－t）2＋2t2＝（6－2t）2＋22，

整理得8t＝0，解得t＝0（舍去）．

∴当t＝2或t＝5＋

或t＝5－

时，△PQB为直角三角形．

11．解：

（1）设剪成的较短的铁丝长为xcm，则较长的铁丝长为（40－x）cm，

由题意，得

＋

＝58，

解得x1＝12，x2＝28，

当x＝12时，40－12＝28（cm），

当x＝28时，40－28＝12（cm）＜28cm（舍去）．

李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段．

（2）正确．理由：

设剪成的较短的铁丝长为mcm，较长的铁丝长为（40－m）cm，由题意，得

＝48，变形为m2－40m＋416＝0.∵Δ＝（－40）2－4×

416＝－64＜0，∴原方程无实数根，∴这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，即李明的想法正确．

12解：

（1）依题意有

（100－a）×

（60－a）×

4＝2100，

解得a1＝30，a2＝130（不合题意，舍去）．

a的值是30.

（2）100－5×

2＝100－10＝90（m），

60－5×

2＝60－10＝50（m），

90×

50÷

2＝2250（m2），

100×

60＝6000（m2），

100%＝37.5%.

∵37.5%＞35%，

∴该方案符合要求．