26基础实际问题与一元一次方程一基础课程讲义例题练习含答案.docx
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26基础实际问题与一元一次方程一基础课程讲义例题练习含答案
实际问题与一元一次方程
(一)(基础)知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤;
2.熟悉行程,工程,配套及和差倍分问题的解题思路.
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为:
问题
方程
解答.由此可得解决此类
题的一般步骤为:
审、设、列、解、检验、答.
要点诠释:
(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系;
(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数;
(3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一;
(4)“解”就是解方程,求出未知数的值;
(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可;
(6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续)
1.和、差、倍、分问题
(1)基本量及关系:
增长量=原有量×增长率,
现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.
(2)寻找相等关系:
抓住关键词列方程,常见的关键词有:
多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等.
2.行程问题
(1)三个基本量间的关系:
路程=速度×时间
(2)基本类型有:
①相遇问题(或相向问题):
Ⅰ.基本量及关系:
相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ.寻找相等关系:
甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
②追及问题:
Ⅰ.基本量及关系:
追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ.寻找相等关系:
第一,同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程;
第二,第二,同时不同地出发:
前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.
③航行问题:
Ⅰ.基本量及关系:
顺流速度=静水速度+水流速度,
逆流速度=静水速度-水流速度,
顺水速度-逆水速度=2×水速;
Ⅱ.寻找相等关系:
抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.
(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析.
3.工程问题
如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式:
(1)总工作量=工作效率×工作时间;
(2)总工作量=各单位工作量之和.
4.调配问题
寻找相等关系的方法:
抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1.(•黄冈)在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中,七年级和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的征文有多少篇?
【思路点拨】设七年级收到的征文有x篇,则八年级收到的征文有(118﹣x)篇.结合七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,即可列出关于x的一元一次方程,解方程即可得出结论.
【答案与解析】解:
设七年级收到的征文有x篇,则八年级收到的征文有(118﹣x)篇,
依题意得:
(x+2)×2=118﹣x,
解得:
x=38.
答:
七年级收到的征文有38篇.
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是列出方程(x+2)×2=118﹣x.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据数量关系列出方程(或方程组)是关键.
举一反三:
【变式】(•南充)学校机房今年和去年共购置了100台计算机,已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍,今年购置计算机的数量是( )
A.25台B.50台C.75台D.100台
【答案】C.
解:
设今年购置计算机的数量是x台,去年购置计算机的数量是(100﹣x)台,
根据题意可得:
x=3(100﹣x),
解得:
x=75.
类型二、行程问题
1.一般问题
2.小山娃要到城里参加运动会,如果每小时走4千米,那么走完预订时间离县城还有0.5千米,如果他每小时走5千米,那么比预订时间早半小时就可到达县城.试问学校到县城的距离是多少千米?
【答案与解析】
解:
设小山娃预订的时间为x小时,由题意得:
4x+0.5=5(x-0.5),解得x=3.
所以4x+0.5=4×3+0.5=12.5(千米).
答:
学校到县城的距离是12.5千米.
【总结升华】当直接设未知数有困难时,可采用间接设的方法.即所设的不是最后所求的,而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量.
举一反三:
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶,上坡的速度为10千米/时,下坡的速度为20千米/时,求汽车的平均速度.
【答案】
解:
设这段坡路长为a千米,汽车的平均速度为x千米/时,则上坡行驶的时间为
小时,下坡行驶的时间为
小时.依题意,得:
,
化简得:
.
显然a≠0,解得
.
答:
汽车的平均速度为
千米/时.
2.相遇问题(相向问题)
【高清课堂:
实际问题与一元一次方程
(一)388410相遇问题】
3.A、B两地相距100km,甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行,甲的速度是23km/h,乙的速度是21km/h,甲骑了1h后,乙从B地出发,问甲经过多少时间与乙相遇?
【答案与解析】
解:
设甲经过x小时与乙相遇.
由题意得:
.
解得,x=2.75.
答:
甲经过2.75小时与乙相遇.
【总结升华】等量关系:
甲走的路程+乙走的路程=100km
举一反三:
【变式】甲、乙两人骑自行车,同时从相距45km的两地相向而行,2小时相遇,每小时甲比乙多走2.5km,求甲、乙每小时各行驶多少千米?
【答案】
解:
设乙每小时行驶x千米,则甲每小时行驶(x+2.5)千米,根据题意,得:
.
解得:
.
(千米)
答:
甲每小时行驶12.5千米,乙每小时行驶10千米
3.追及问题(同向问题)
4.一队学生去校外进行军事野营训练,他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟时,学校要将一紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?
【答案与解析】
解:
设通讯员x小时可以追上学生队伍,则根据题意,
得
.
得:
,
小时=10分钟.
答:
通讯员用10分钟可以追上学生队伍.
【总结升华】追及问题:
路程差=速度差×时间,此外注意:
方程中x表示小时,18表示分钟,两边单位不一致,应先统一单位.
4.航行问题(顺逆流问题)
5.一艘船航行于A、B两个码头之间,轮船顺水航行需3小时,逆水航行需5小时,已知水流速度是4千米/时,求这两个码头之间的距离.
【答案与解析】
解法1:
设船在静水中速度为x千米/时,则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时,逆水航行的速度为(x-4)千米/时,由两码头的距离不变得方程:
3(x+4)=5(x-4),解得:
x=16,
(16+4)×3=60(千米).
答:
两码头之间的距离为60千米.
解法2:
设A、B两码头之间的距离为x千米,则船顺水航行时速度为
千米/时,逆水航行时速度为
千米/时,由船在静水中的速度不变得方程:
,解得:
.
答:
两码头之间的距离为60千米.
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度;逆流速度=静水速度-水流速度,根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程.类似地,当物体在空中飞翔时,常会遇到顺风逆风问题,解题思路类似顺逆流问题.
类型三、工程问题
6.一个水池有两个注水管,两个水管同时注水,10小时可以注满水池;甲管单独开15小时可以注满水池,现两管同时注水7小时,关掉甲管,单独开乙管注水,还需要几小时能注满水池?
【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”,设乙管还需x小时可以注满水池;那么甲乙合注1小时注水池的
,甲管单独注水每小时注水池的
,合注7小时注水池的
,乙管每小时注水池的
.
【答案与解析】
解:
设乙管还需x小时才能注满水池.
由题意得方程:
.
解此方程得:
x=9.
答:
单独开乙管,还需9小时可以注满水池.
【总结升华】工作效率×工作时间=工作量,如果没有具体的工作量,一般视总的工作量为“1”.
举一反三:
【变式】修建某处住宅区的自来水管道,甲单独完成需14天,乙单独完成需18天,丙单独完成需12天,前7天由甲、乙两人合作,但乙中途离开了一段时间,后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?
【答案】
解:
设乙中途离开x天,由题意得:
.
解得:
.
答:
乙中途离开了3天.
类型四、调配问题(比例问题、劳动力调配问题)
7.(春•衡阳校级月考)某班分两组去两处植树,第一组22人,第二组26人.现第一组在植树中遇到困难,需第二组支援.问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍?
设抽调x人,则可列方程( )
A.22+x=2×26B.22+x=2(26﹣x)C.2(22+x)=26﹣xD.22=2(26﹣x)
【思路点拨】设抽调x人,则调后一组有(22+x)人,第二组有(26﹣x)人,根据关键语句:
使第一组的人数是第二组的2倍列出方程即可.
【答案】B.
【解析】
解:
设抽调x人,由题意得:
(22+x)=2(26﹣x),
【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,关键是正确理解题意,表示出调后两个组的人数.
举一反三:
【高清课堂:
实际问题与一元一次方程
(一)388410调配问题】
【变式】甲队有72人,乙队有68人,需要从甲队调出多少人到乙队,才能使甲队恰好是乙队人数的
.
解:
设从甲队调出x人到乙队.由题意得,
.
解得,x=12.
答:
需要从甲队调出12人到乙队,才能使甲队恰好是乙队人数的
.
【巩固练习】
一、选择题
1.一个长方形的周长为26cm,这个长方形的长减少1cm,宽增加2cm,就可成为一个正方形,设长方形的长为xcm,则可列方程().
A.
B.
C.
D.
2.飞机逆风时速度为x千米/小时,风速为y千米/小时,则飞机顺风时速度为().
A.
千米/小时B.
千米/小时
C.
千米/小时D.
千米/小时
3.(•聊城)在如图的2016年6月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是( )
A.27B.51C.69D.72
4.甲能在11天内独立完成某项工作,乙的工作效率比甲高10%,那么乙独立完成这项工作的天数为().
A.10天B.12.1天C.9.9天D.9天.
5.甲列车从A地以50千米/时的速度开往B地,1小时后,乙列车从B地以70千米/时的速度开往A地,如果A,B两地相距200千米,则两车相遇点距A地( )千米.
A.100B.112C.112.5 D.114.5
6.(春•宁波期中)某班同学去划船,若每船坐7人,则余下5人没有座位;若每船坐8人,则又空出2个座位.这个班参加划船的同学人数和船数分别是( )
A.47,6B.46,6C.54,7D.61,8
二、填空题
7.湘潭历史悠久,因盛产湘莲,被誉为“莲城”.李红买了8个湘莲,付50元,找回38元,设每个湘莲的价格为
元,根据题意,列出方程为______________.
8.某校用56m长的篱笆围成一个长方形的生物园,要使长为16m,则宽为________m.
9.小明和他父亲的年龄之和为54,又知父亲年龄是小明年龄的3倍少2岁,则他父亲的年龄为____岁.
10.甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步,已知甲每秒钟跑9米,乙每秒钟跑7米.
(1)当两人同时同地背向而行时,经过________秒钟两人首次相遇;
(2)两人同时同地同向而行时,经过________秒钟两人首次相遇.
11.(春•原阳县校级月考)某水池有甲进水管和乙出水管,已知单开甲注满水池需6h,单开乙管放完全池水需要9h,当同时开放甲、乙两管时需要 h水池水量达全池的
.
12.王会计在结账时发现现金少了153.9元,查账时得知是一笔支出款的小数点看错了一位.王会计查出这笔看错了的支出款实际是________元.
三、解答题
13.A、B两地相距216千米,甲、乙分别在A、B两地,若甲骑车的速度为15千米/时,乙骑车的速度为12千米/时。
(1)甲、乙同时出发,背向而行,问几小时后他们相距351千米?
(2)甲、乙相向而行,甲出发三小时后乙才出发,问乙出发几小时后两人相遇?
(3)甲、乙相向而行,要使他们相遇于AB的中点,乙要比甲先出发几小时?
(4)甲、乙同时出发,相向而行,甲到达B处,乙到达A处都分别立即返回,几小时后相遇?
相遇地点距离A有多远?
14.甲乙两车间共120人,其中甲车间人数比乙车间人数的4倍少5人.
(1)求甲、乙两车间各有多少人?
(2)若从甲、乙两车间分别抽调工人,组成丙车间研制新产品,并使甲、乙、丙三个车间的人数比为13∶4∶7,那么甲、乙两车间要分别抽调多少工人?
15.(•平南县一模)抗震救灾重建家园,为了修建在地震中受损的一条公路,若由甲工程队单独修需3个月完成,每月耗资12万元;若由乙工程队单独修建需6个月完成,每月耗资5万元.
(1)请问甲、乙两工程队合作修建需几个月完成?
共耗资多少万元?
(2)若要求最迟4个月完成修建任务,请你设计一种方案,既保证按时完成任务,又最大限度节省资金.(时间按整月计算)
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B.
【解析】等量关系:
正方形的边长相等.
2.【答案】C.
【解析】逆风速度+2风速=顺风速度.
3.【答案】D.
【解析】解:
设第一个数为x,则第二个数为x+7,第三个数为x+14
故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21
当x=16时,3x+21=69;
当x=10时,3x+21=51;
当x=2时,3x+21=27.
故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72.
故选:
D.
4.【答案】A.
【解析】乙的日工作效率:
,乙独做需要的时间:
(天).
5.【答案】C.
【解析】
.
6.【答案】C.
【解析】设船数为x只,根据题意得出:
7x+5=8x﹣2,解得:
x=7,故7x+5=7×7+5=54.
故这个班参加划船的同学人数和船数分别是:
54,7.
二、填空题
7.【答案】50-8x=38.
【解析】答案不唯一.
8.【答案】12.
【解析】设宽为xm,依题意得2(16+x)=56.
9.【答案】40.
【解析】设小明的年龄为x岁,依题意得x+3x-2=54,则x=14.故父亲的年龄为3×14-2=40岁.
10.【答案】25;200.
【解析】
(1)相遇问题:
(秒);
(2)追及问题:
(秒).
11.【答案】6;
【解析】解:
设水池容积为1,同时开放甲、乙两管时需要xh水池水量达全池的
,
依题意得:
(
﹣
)x=
,解得x=6,
∴同时开放甲、乙两管时需要6h水池水量达全池的
.
12.【答案】171.
【解析】设支出款为x元,则错看成
元,列方程得
.
三、解答题
13.【解析】
(1)解:
设x小时后,甲、乙相距351千米,
依题意,得15x+12x=351-216.
解这个方程,得x=5.
答:
5小时后,甲、乙相距351千米.
(2)解:
设乙出发x小时后两人相遇.
依题意,得15(3+x)+12x=216.
解这个方程,得x=
.
答:
乙出发
小时后,甲、乙两人相遇.
(3)解:
设当乙比甲早出发x小时,使甲、乙二人相遇于AB的中点.
依题意,得
,解这个方程,得x=
.
答:
只要乙比甲先出发
小时,两人就能相遇于AB的中点.
(4)解:
设x小时后甲乙相遇,
依题意,得15x+12x=216×3.
解这个方程,得x=24.
当x=24时,12x-216=72(千米).
答:
24小时后两人相遇,相遇地点距离A地72千米.
14.【解析】
解:
(1)设乙车间有x人,那么甲车间有(4x-5)人,根据题意,得:
x+(4x-5)=120,
解这个方程,得x=25.
4x-5=4×25-5=95(人).
(2)设甲、乙、丙三个车间人数比的一份为x人,则这三个车间的人数依次为13x人、4x人、7x人.依题意得:
13x+4x+7x=120.
解得:
x=5.
当x=5时,95-13x=95-13×5=30(人),
25-4x=25-4×5=5(人).
答:
原甲、乙车间各有95人和25人.需分别从甲、乙两车间分别抽调30人和5人组成丙车间.
15.【解析】
解:
(1)设甲、乙两工程队合作需x个月完成,
(
+
)x=1,
解得x=2.
(12+5)×2=34万元.
答:
甲、乙两工程队合作修建需要两个月完成,共耗资34万元;
(2)设甲乙合做y个月,剩下的由乙来完成.
(
+
)y+
=1,
解得y=1.
故甲乙合作1个月,剩下的由乙来做3个月就可以.