山东省青岛市2020届高三二模数学试题(解析版)文档格式.doc
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A．
5．在连续5次模拟考试中，统计甲、乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为111，乙同学5次成绩的中位数为103，则的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】依题意，解得.乙的中位数为，所以.所以.故选：
6．已知函数的最小正周期为，则函数的一个对称中心可以是（）
【答案】B
【解析】由题可得，
最小正周期为，即所以，令，所以其对称中心为，结合选项可得，B选项符合题意.故选：
B
7．已知非零实数a，x，y满足，则下列关系式恒成立的是（）
A． B．
C． D．
【解析】依题意非零实数a，x，y满足，则，所以.不妨设，则，所以A选项错误；
，所以B选项错误；
由于，根据指数函数的性质可知：
，所以C选项错误.依题意，要证明，只需证明，即证，即证，构造函数，，由于，所以，所以在区间上恒成立，所以区间上递增，所以，所以.故D选项正确.故选：
8．已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（）
A．5050 B．4041 C．4040 D．2020
【解析】由函数的定义域为R上的奇函数，可得，又由在区间上恰有5个零点，可得函数在区间和内各有2个零点，因为是周期为2，所以区间内有两个零点，且，即函数在区间内有4个零点，所以在区间上的零点个数为个零点.故选：
B.
二、多选题
9．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（）
A．当时，曲线为椭圆，其焦距为
B．当时，曲线为双曲线，其离心率为
C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切
【解析】对于，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆，焦距，错误；
对于，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，则，，离心率，正确；
对于，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集，不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，错误；
对于，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为，
则圆的圆心到渐近线的距离，
双曲线渐近线与圆不相切，错误.
故选：
.
10．已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（）
【答案】BD
【解析】由，，可知点P为的三等分点，点Q为延长线的点，
且为的中点，如图所示：
对于A，点P为的三等分点，点为的中点，所以与不平行，故A错误；
对于B，,故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，设的高为，，即，
则的面积，故D正确；
BD
11．如图，正方形的边长为1，E，F分别是，的中点，交EF于点D，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则在四面体中必有（）
A．平面EFG
B．设线段SF的中点为H，则平面SGE
C．四面体的体积为
D．四面体的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】对选项，在折前正方形中，，，折成四面体后，，，又，平面，平面．所以选项正确.
对选项,
对选项,连接因为,,所以,因为平面,平面,
所以平面SGE.所以选项正确.
前面已经证明平面,所以是三棱锥的高，且.由题得，，所以.所以，
所以四面体的体积为.所以选项错误.
对选项,由于,所以可以把三棱锥放到长方体模型之中，长方体的三条棱为,所以三棱锥的外接球的直径.所以选项正确.
ABD.
12．某同学在研究函数的性质时，受两点间距离公式的启发，将变形为，则下列关于函数的描述正确的是（）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象是中心对称图形
C．函数的值域是
D．方程无实数解
【答案】ACD
【解析】设，，表示轴上点到两点的距离之和，
设，以为焦点，为短轴上一个端点，作椭圆，轴与此椭圆相切于点，当从向右移动时，逐渐增大，
即函数在区间上单调递增，A正确；
当与重合时，最小，最小值为，因此的值域是，C正确；
函数图象关于直线对称，不是中心对称是，B错误；
当或时，，由于，
因此和都无解，D正确．
ACD．
三、填空题
13．抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为__________.
【答案】5
【解析】圆的圆心为，即，代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，其准线方程为，则A到抛物线焦点F的距离等于到抛物线准线的距离，即距离为.
14．已知，则__________.
【答案】
【解析】由题.
15．已知函数（为自然对数的底数）的图象恒过定点，
（1）则点的坐标为__________；
（2）若在点处的切线方程，则__________.
【答案】
【解析】当时，，点的坐标为；
，，解得：
16．已知，设；
数列的前n项和为，当时，n的最小整数值为__________.
【答案】11
【解析】因为，令，得，所以，所以，所以即为，所以，
四、解答题
17．如图，在平面四边形ABCD中，，，，.
（1）若，求四边形ABCD的面积；
（2）若，，求.
【解析】
（1）连接BD，在中，
由勾股定理得：
，所以，
在中，由余弦定理知：
，
因为，所以，
所以，
所以ABCD的面积.
（2）在中，由正弦定理知：
所以.
因为，
所以，.
在中，，
18．试在①，②，③三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：
如图，在四棱锥中，，底ABCD为菱形，若__________，且，异面直线PB与CD所成的角为，求二面角的余弦值.
【解析】若选②：
由平面ABCD知，又，
所以面PAC，所以，
所以，，
这与底面ABCD为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③.
下面证明：
平面ABCD，
因为四边形ABCD为菱形，所以.
因为，，
所以平面APC.
又因为平面APC，所以.
因为，O为AC中点，所以.
又，所以平面ABCD，
因为面ABCD，以O为坐标原点，以，，的方向分别作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
因为，所以为异面直线PB与CD所成的角，
在菱形ABCD中，设，
因为，所以，，
设，则，.
在中，由余弦定理得：
所以，解得，
所以，，，.
设为平面ABP的法向量，
，，
由可得：
令得.
设为平面CBP的法向量，
令得：
设二面角的平面角为，
所以，所以二面角的余弦值为.
19．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，，.
（1）证明：
当时，；
（2）若是与的等比中项，求数列的前n项和.
（1）因为，可得当时，，
两式相减得：
所以，即.
因为数列的各项均为正数，所以当时，.
（2）由
（1）得：
因为是与等比中项，所以，即，
解得，
又，所以，
所以，从而对恒成立，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以
20．已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为.
（i）证明：
；
（ii）若，设直线过点，直线过点，证明：
为定值.
（1）设椭圆的半焦距为，由题意知：
，…①，
双曲线的渐近线方程为，
可设双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点为，
，解得：
在椭圆上，，即：
…②，
由①②解得：
椭圆的标准方程为：
（2）由题意知：
关于原点对称，则可设，，.
（i）点在椭圆上，，，
（ii）不妨设，，
，，，，
直线过点，直线过点，
直线，，
由得：
，即，
21．已知函数.
（1）若，证明：
（2）若是的极大值点，求正实数a的取值范围.
（1）证明见解析；
（2）
（1）由题知，，
令，则，
若，当时，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增；
（2）①若，由
（1）知：
在上单调递增；
因此不可能是的极大值点.
②若，令，
因为当时，，所以即在上单调递增.
又因为，，
因此存在满足：
，所以当时，，
所以在上单调递减，，
所以当时，；
所以在上单调递增；
在上单调递减；
综上，当是的极大值点时，.
22．中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：
扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.
（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：
月份x
1
2
3
4
5
体重超重的人数y
640
540
420
300
200
若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？
（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；
每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；
每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.
（i）若，B队员控制球的次数为X，求；
（ii）若，，，，，证明：
为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.
附1：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
附2：
参考数据：
，.
（1）由已知可得：
当时，，
所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.
（2）（i）由题知X的可能取值为：
0，1，2；
的分布列为：
（ii）（法一）由，，
两式相加得：
代入等式得，即
所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
即，
因此经过200次传球后A队员控制球的概率
（法二）由题知：
又因为，
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