Cantor集的性质及其应用.doc

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Cantor集的拓展及其应用

黄玉霞指导老师：

郭金生

（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号,甘肃张掖734000）

摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用.

关键词Cantor集;测度;稠密集;完备集

中图分类号O174

TheExpandabilityandApplicationsofCantorSet

HuangYuxiaInstructorGuoJinsheng

（No.09,Class1of2012.SpecisltyofMathematicsandAppliedMathematics,

HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000）

Abstract:

ThispaperexpandsCantorset,aswellasmakesCantorsetbydividingitintofiveparts,thendiscussesit’srelatedpropertiesandapplicationsinthissituation.

Keywords:

Cantorset;measure;dense set;exhaustiveset

1引言

Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.

2预备知识

定义2.1设,如果（表示的导集）,则称为完备集或完全集.

定义2.2凡和全体正整数所成集合对等的集合都称为可数集,不是可数集的无限集合,称为不可数集.

定义2.3若两个集合,之间存在着一一的到上的映射,则与是对等的,记为.此时也称与等势或者有相同的基数,记为=.

定义2.4设为中的一个点集,是中的一个定点,若附近全是的点,即使,则称为的内点.

定义2.5设,是直线上的两个点集,如果中每一点的任一环境中必有的点,那么称在中稠密.如果直线上的点集在每一个不空的开集中都不稠密,就称是疏朗集或无处稠密集.

定理1.1（闭集的构造定理）直线上的闭集或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即的余区间）所得到的集.

3主要内容

3.1Cantor集的构成

（1）将闭区间三等分,去掉中间一个个长度为的开区间,记作;剩下两个长度均为的闭区间和,分别记为和;

（2）将剩下的两个闭区间和分别继续三等分,去掉其中间两个长度为的开区间和,分别记为和,剩下的四个小闭区间,分别是,,和,分别记为和;

（3）如此继续下去,第次去掉个长度为的开区间,剩下个长度为的闭区间,记为;

上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:

第1次分割

第2次分割

第3次分割

第次分割

开区间个数

闭区间个数

小区间长度

表1

（4）将上述过程无限进行.

最终得到一集合列.作点集=,则称为Cantor集.

3.2对Cantor集构造方法的拓展

基于Cantor三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间五等分、甚至任意正奇数等分.

3.2.1将闭区间五等分,进行构造

（1）将闭区间五等分,去掉中间两个长度为的开区间和,记作和;剩下三个长度均为的闭区间,和,分别记为,和;

（2）将剩下的三个闭区间,和分别继续五等分,然后去掉其中间六个长度为的开区间

,,,.

分别记为,,和.剩九个小闭区间,分别为

,,,,,,.

分别记为,,,和;

（3）如此继续下去,第次去掉个长度为的开区间,剩下个长度为的闭区间,记为;

上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:

第1次分割

第2次分割

第3次分割

第次分割

开区间个数

闭区间个数

小区间长度

表2

（4）将上述过程无限进行.

最终得到一集合列.作点集=.在下面3.3中可证得具有与Cantor三分集完全相同的性质.

3.2.2对于任意给定的正奇数.

（1）将闭区间进行等分,并去掉中间的第个开区间

,,

记留存部分为,即

.

（2）将剩下的个闭区间分别继续五等分,并去掉每一等分闭区间中的第个中间开区间;记中留下来的部分为,

（3）如此继续下去,第次去掉个长度为的开区间,剩下个长度为的闭区间,记为;

上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系件表3:

第1次分割

第2次分割

第3次分割

第次分割

开区间个数

闭区间个数

小区间长度

表3

（4）将上述过程无限进行.

最终得到一集合列.作点集=.

3.3五分法下Cantor集的性质

性质3.3.1是闭集.

证明由的构造过程可知,第一次去掉的开区间为和,第二次去掉的开区间为和,那么由表2知,第次去掉的是,依次下去,可以推想,共去掉的开区间可表示为,则,由闭集构造定理知为闭集.

性质3.3.2是完备集.

证明由于的邻接区间的作法,它们中的任何两个之间根本不存在公共的端点故没有孤立点,因而自密,又是闭集,因此是完备集.

性质3.3.3没有内点.

证明在的作法中,“去掉”过程进行到第次为止时,剩下个长度是的互相隔离的闭区间,因此任何一点必含在个闭区间的某一个里面.从而在的任意邻域内至少有一点不属于,但,故不是的内点.

性质3.3.4是可数个互不相交的开区间,其长度之和为.

证明在的构造过程中,第次去掉的个长度为的开区间,因

中互不相交的开区间之和为

.

性质3.3.5是零测度集.

证明用表示上的余集,则.由性质3.3.4知.故.

性质3.3.6是不可数集.

证明假设是可数的,将中点编号成点列,,,,,也就是说,中任一点必在上述点列中出现.显然,,与中应至少有一个不含有,用表示这个闭区间.将五等分后所得的三个闭区间中,应至少有一个不含,用表示它.然后用表示五等分时不含的那个闭区间,如此下去.由归纳法,得到一个闭区间列.由上述取法知,,,,,同时,易见的长为.于是根据数学分析中区间套定理,存在点,.可是的端

点集的聚点,从而是闭集的聚点,故.由于上面已指出,,故,

.这是一个矛盾.故不可数.

性质3.3.7非空.

证明从的构造过程来看,每个区间的端点,例如,,这样的端点都是被保留下来的,故.

性质3.3.8不含任何区间.

证明由的构造过程可知,第次分割后的第个小区间的长度为

故中不含任何区间.

性质3.3.9是疏朗集.

证明由的构造,和,内包含有无穷多个被去掉的小区间,因此,即在中不稠密,根据定义2.5即得是疏朗集.

性质3.3.10没有孤立点.

证明由性质3.3.1知是闭集,又由闭集构造定理知,闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点,由的构造过程知,这样的公共端点是不存在的,即没有孤立点.

性质3.3.11与对等.

证明由性质3.3.6知,,又,从而.由此说明中的点与中的一样多.又因为,由此说明,“部分小于全体”的结论在无穷集合中是不成立的.

4Cantor集的应用

Cantor集的巧妙构思和它奇特的性质为构造一些反例提供了启示,也为一些题目的证明与求解带来的方便,下面将分别举例来说明.

4.1Cantor集在反例中的应用.

例1孤立点集必是疏朗集,而疏朗集未必是孤立点集.

例如Cantor集中的任一元都是疏朗集,但不是孤立点集.

例2存在中零测度集,使得对每个及任意,有为不可数集.

此题中可取.其中为Cantor集,为有理数集.

例3在上做出的完备疏朗集的测度必为.

反例是上的完备疏朗集,但其测度为零.

例4可数集的测度为零,但测度为零的集合未必都是可数集.

反例的测度为零,但它是不可数集.

4.2Cantor集及其性质在证明题中的应用.

例1无理数在中是稠密的,但由无理数组成的疏朗的完全集是存在的.

证明任取两个无理数和,设闭区间中有理数为,仿照Cantor集的构造法,第一步,从中挖掉开区间,满足以的中点为中点,长度小于且包含;从余下的两个闭区间中挖掉与性质类似的两个开区间和,且使,,如此这样做下去,中余下的即是一个由无理数组成的疏朗的完备集.

例2设是Cantor集,在中为不可数集,在上定义函数

判断在上是否可测.

解由性质3.3.5知,.又,由测度的非负性及单调性,有

故

即于,从而在上可测.

例3设在集合上为1,而在的补集中的长度为的构成区间上为,求积分.

解记为中长度为的各个开区间之并,则有个长度为的开区间且

.

由题意知

==

=

==

令

则

.

即

故.

5小结

综合上述内容,根据Cantor三分集的构造特征,对其构造进行了拓展,即以五分法构成了,并对集合所具有的性质做了探究证明,进而发现在五分法下构成的集合具有与Cantor三分集完全相同的奇特性质.从而揭示了Cantor三分集这种奇特的构造方法并非偶然.之后通过实例将Cantor三分集、五分集及其性质得以运用,特别是在范例中的运用破除了一些似是而非的错觉,体现了Cantor集在数学问题的解决中的重要性.

致谢诚挚的感谢郭金生老师的悉心指导！

参考文献

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