解析几何新题型的解题技巧总结.docx
《解析几何新题型的解题技巧总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解析几何新题型的解题技巧总结.docx（56页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
解析几何新题型的解题技巧总结
第七讲解析几何新题型的解题技巧
【命题趋向】解析几何例命题趋势：
1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考
2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现
3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题
分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.
【考点透视】
1.直线和圆的方程
1•理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的
/亠护¥方
位置关糸.
3.了解二元一次不等式表示平面区域.
4.了解线性规划的意义，并会简单的应用.
5.了解解析几何的基本思想，了解坐标法.
6.掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
2.圆锥曲线方程
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.
2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.
3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.
4.了解圆锥曲线的初步应用.
【例题解析】
考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之.
22
例1.（2006年安徽卷）若抛物线y2px的焦点与椭圆工乂〔的右焦点重合，贝Up的值为（）
62
A.2B.2C.4D.4
考查意图：
本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质
22
解答过程：
椭圆1仝1的右焦点为（2,0），所以抛物线y2px的焦点为（2,0）,则p4，故选D.
62
考点2.求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，找出点的坐标，利用距离公式解之
例2.（2007年四川卷文）已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于
考查意图：
本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用
解：
设直线AB的方程为y
xb，由
yx23
2
xxb30x1x2
1，进而可求出
AB的中点
1111
M（—，—b），又由M（—，—
2222
2
二xx20，由弦长公式可求出
b）在直线xy0上可求出b1,
AB112124
（2）32.
故选C
22
例3.（2006年四川卷）如图，把椭圆冬y_1的长轴
2516
AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部
则PF||F2F||眛|IP4FIIP5F|P6qIP7F.
考查意图：
本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用•
22
解答过程：
由椭圆二y_1的方程知a225,a5.
2516
72a
•-|PF|F2F|RFRF]F5F|RF||F7F7a7535.
故填35.
考点3.曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一，其解法为充分利用：
（1）椭圆的离心率e=C€（0,1）（e越大则椭圆越扁）;
a
⑵双曲线的离心率e=C€（1,）（e越大则双曲线开口越大）.
a
结合有关知识来解题.
例4.（2007年全国卷）文（
4）
理（4）
已知双曲线的离心率为
2,
焦点是
（4,0）,（4,0），则双曲线方程为
22
2
2
22
2
2
A.11B.
x
L1
c.x_1
D
x
•”,
乂1
412
12
4
106
6
10
考查意图：
本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念
解答过程：
QeC2,c4,所以a2,b212.故选（A）.
a''
小结：
对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲
线标准方程中分母大小关系要认真体会.
例5.（2006年广东卷）已知双曲线3x2y29,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等
于（）
A.2
B.
23C.2
3
考查意图：
本题主要考查双曲线的性质和离心率e=c€（1,+8）的有关知识的应用能力.
a
解答过程：
依题意可知aV3,cVa2b2<3—92*3-
考点4.求最大（小）值
求最大（小）值，是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大（小）值:
特别是，一些
题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例6.（2006年山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（X1,y”,B（x2,y2）两点，贝Uy/+y22的最小
值是.
考查意图：
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大（小）值的方法.
解:
设过点P（4,0）的直线为ykx4,k2x28x164x,
k2x28k24x16k20,
228k241
y：
讨;4人X242162232.
kk
故填32.
考点5圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.
例7.（2007年广东卷文）
与圆C
Q的坐
所求的圆的方程为
（2）由已知可得
椭圆的方程为
2a
2
x
25
（x2）2
10,
2
乞1,
9
（y2）28
a5.
右焦点为F（4,0）;
假设存在Q点
22.2sin
使QF
OF，
—2
22.2cos4
222sin4•
整理得sin3cos
2..2,代入sin2
得:
10cos2122cos
cos
2
cos
122
10
1222,2
10
在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2斗2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O椭圆兰兰=1孑~9
的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长•若存在，请求出点标；若不存在，请说明理由•
［考查目的］本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
［解答过程］⑴设圆C的圆心为（m,n）
则mn，解得m2,
n.222,n2.
因此不存在符合题意的例8.（2007年安徽卷理）
如图，曲线G的方程为y2
2x（y0）.以原点为圆心，以t（t
0）
为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于A与点B.直线
AB与x轴相交于点C
（I）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；
（H）设曲线G上点D的横坐标为a2,求证：
直线CD的斜率为定值.
［考查目的］本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系
，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力
［解答过程］（I）由题意知，A（a,2a）.
因为|OA|t,所以a22at2.
由于t0,故有ta22a.
（1）
由点B（0,t）,C（c,0）的坐标知，直线BC的方程为\y1
ct
又因点A在直线BC上，故有a1
ct,
将
（1）代入上式，得a'2a_1解得ca2、■_2）.
c.a（a2）'
（II）因为D（a22（a2）），所以直线CD的斜率为
<2（a2）v'2（a2）』2（a2）,,
kcD1'
a2ca2（a2\'2（a2））72（a2）
所以直线CD的斜率为定值.
例9•已知椭圆E：
笃与1（ab0），AB是它的一条弦，M（2,1）是弦AB的中点，若以点M（2,1）为焦点，椭圆Eab
的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N（4,1），若椭圆离心率e和双曲线离心率e,之间满足eq1,
求：
（1）椭圆E的离心率；
（2）双曲线C的方程.
解答过程：
（1）设A、B坐标分别为A（x!
，y!
）,B（x2,y2）,
22
2
2
贝yX1y1
15
X2
y21，二
一式相减得:
孑畀
2a
b21
kABy1
y2
（X1
2
X2）b
2
2b2k
2kMN
12（4）1，
X1
X2
（y1
y2）a
a
所以a2
2b2
2（a2
2\2
c）,a
2c2,
则e2J；
a2
（2）椭圆
2
e的右准线为xa_
（2c）2
2c，双曲线的离心率e1
—2,
c
c
e
设P（x,y）是双曲线上任一点，则:
|PM|（X2）2（y1）22，
|x2c||x2c|
两端平方且将N（4,1）代入得：
c1或c3，
当c1时，双曲线方程为：
（X2）2（y1）20,不合题意，舍去；
当c3时，双曲线方程为：
（x10）2（y1）232，即为所求•
小结：
（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义
考点6利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算
典型例题：
22
例10.（2006年山东卷）双曲线C与椭圆£y_1有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线.
84
（1）求双曲线C的方程；
⑵过点P（0,4）的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）•当PQ1QA2QB，且
8时，求Q点的坐标.
3
以及运用数形结合思想，方程和转化
考查意图：
本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力的思想解决问题的能力•
解答过程:
（I）设双曲线方程为
22
771,
2由椭圆x_
8
2
y1，求得两焦点为（2,0）,（2,0）,
4
对于双曲线C:
c2，又y3x为双曲线C的一条渐近线
b3解得a21,b23,
双曲线C的方程为x2y1
3
（n）解法一由题意知直线
l的斜率k存在且不等于零.
设I的方程:
kx4,A（x，yJ,B（xz,y2），则Q（
存）.
uurQPQ
iun
tQA，
1（x1
4
k'Y1）.
1（X
4
k-
QA（X1,y1）在双曲线
C上,
161
J2
1
16
0-
2
16321161
162
k
3
0.
（16
k2）
321
16兰k2
3
0.
同理有：
（16k2）
16
0.
若16
k20,则直线I过顶点,
不合题意
16
2
k0,
2是二次方程
22
（16k）x
32x16
20的两根.
32
2k216
8,k2
3
4，此时
0,k2.
所求Q的坐标为
（2,0）.
41X1
k11
04心
11
xi
y1
（11）
解法二：
由题意知直线I的斜率k存在且不等于零
设1的方程，y
kx4,A（x,yJ,B（x2,y2），则Q（-,0）.k
uLiruuu
qpq1qa,
uui
q分PA的比为1.
由定比分点坐标公式得
设1的方程：
ykx4,A（x,,y1）,B^y），则Q（4,0）.k
I的斜率k存在且不等于零
下同解法一
解法三：
由题意知直线
uurqpq
uuruuu
1qa2QB，
（
4
J
k
4）1（x1-
k
4
y1）2（x2,y2）
k
4
1y12y2,
1
4
，2
4
?
y1
y2
又
1
81
2
丄
2
—5
即3（y1
y2）
2%y2.
3y
y2
3
2
将ykx4代入x2乞1得（3k2）y224y483k20.
3
Q3k20,否则I与渐近线平行
24
丫-口⑷-
483k2
k2
-
24483k
3-
3k-3k-
Q（2,0）.
解法四：
由题意知直线
得斜率k存在且不等于零，设I的方程:
ykx4,A（X1,yJ,B（x-,y-）,则q（¥,。
）k
uuvQPQ
uuv
iQA,
4,4）
4
1（X1W
4
k
~4
k
4
4.同理
kxi4
4
kx24
kx1
4kx24
2
2kxn
5k（xx2）
（*）
ykx
-
-y彳
X1
3
消去y得（3k-）x-
当3k-0时，
8kx
则直线
190.
与双曲线得渐近线平行，不合题意，3k-0.
由韦达定理有:
X1X2
XlX2
8k
3k2
19
3
k2
代入（*）式得
所求Q点的坐标为（
例11.（2007年江西卷理）
设动点P到点A—I,0）和B（1,0）的距离分别为d1和d2,
/APB=20,且存在常数入（0v入v1=,使得d1d2sin20=入.
（1）证明：
动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于MN两点，试确定入的范围，使OM•ON=0,其中点O为坐标原点.
［考查目的］本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
k2
4,k
2,0）•
［解答过程］解法1:
（1）在厶PAB中，AB2，即2-d1-d；2d1d-cos2,
4（d1d-）-4d1d-sin-，即d1d2|\4
4did2sin222（常数），
点P的轨迹C是以A,B为焦点，实轴长
2
方程为：
丄
1
2a21—的双曲线.
（2）设M（x,
2
y-1.
y）,n（x2,讨2
N（1,1）在双曲线上.
1，所以Aj.
2
1，M（1,1）,
①当MN垂直于X轴时，MN的方程为X
1、5，因为0
2
②当MN不垂直于X轴时，设MN的方程为yk（x1）.
由1
yk（x
1得:
（1）k2x22
（1）k2x
（1）（k2）
1）
由题意知:
（1
）k2
0，所以
X1X2
2
2k（1
2
（1）（k
（1
疋：
1）（X2
因为OMON
k22
1）——2•
（1）k
N在双曲线右支上,
所以
X1X2Z
x1x20
X1X20
k2
k2
由①②知,
.5
解法2:
（1）
1<
2
同解法
（2）设
M（X，
①当
X1
X2
1时,
（1
2~
N（X2,
MB
）
（1
2~
y2），
MN的中点为
E（Xo,
yo）-
0,
因为
所以
51；
?
2
②当
X1
2
X2
2
y2,
1
MN
1yo
1
BE
yo.
所以
（1
）yf
2・
XoXo；
Xo1
得x2
2
yo
MN
2
由第二定义得
MN2
e（xX2）
2
2
2
2
Xo
厂
2
1
2
Xo
（1
）2Xo•
1
）yf
xf
2（1
）Xo
（1
）2•
1
x2时,
2a
所以（1
2
2
y1
Xo
由/MON
（1）
23
又kMN
2
X1
1
于是由
（1
）y2
2
XoXo,
（1
）y2
2
Xo2
（1）Xo
（1
因为Xo
1
，所以
（1）2［，又
23
0
解得：
一
5
1
2.由①②知-
51
2
3
2
1,
得
）2,
Xo
考点7利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
要比只利用解析几何知识建立等量关
利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值,系容易•
uuu
2BC,
cUJU
例12.设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在X轴上，离心率为_3，过点C（1,0）的直线交椭圆E于A、B两点，且CA
3
求当AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程•
解答过程：
因为椭圆的离心率为_2，故可设椭圆方程为2x23y2t（t0），直线方程为myX1,
3
由2x2
my
3yt得:
（2m23）y2
xi
4my2t0,设A（xi,y」B（x2,丫2）,
则yi
uuur又CA
4m
y22
2m3
uuu
2BC，故（xi1,yi）
2（
1X2,y2），即
yi2y2
由①②得:
yi
8m
2m_，y2
4m
2m23，
则Saob!
|yi
2
y21
I=6_
3
2|m|
|m|
当m2
I，即m
_6时,
2
AOB面积取最大值,
此时
y“2
2t
2m23
所以，直线方程为
32m2
（2m23）2
_6yi0，椭圆方程为2x23y2I0.2
，即t10,
小结：
利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易
，‘八uuuUUU_ruuuuuu
求|2x3y12|的最大值和最小值
例I3.已知PA（x、5,y）,PB（x.5,y），且|PA||PB|6,解答过程：
设P（x,y）,A（■5,0）,B（、5,0）,
「,uuu因为|PA|
uur口_
|PB|6,且|AB|256,
所以，动点P的轨迹是以AB为焦点，长轴长为6的椭圆，
22
椭圆方程为0厶［，令x3cos,y2sin,
94
则|2x3y12|=|62cos
（一）12|，
4
当cos（-）1时，|2x3y12|取最大值126.2,
4
当cos（-）1时，|2x3y12|取最小值122.
4
小结：
利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算考点8禾U用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题
2
例14.（2006年福建卷）已知椭圆Ly21的左焦点为F,
2
O为坐标原点.
（I）求过点OF,并且与椭圆的左准线I相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与x轴交于点G求点G横坐标的取值范围.考查意图：
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力解答过程：
（I）Qa22,b21,c1,F（1,0）,l:
x2.
Q圆过点OF,
圆心M在直线x—上.
2
设M（1,t）,则圆半径r
2
1
（2）
（2）
解得t、.2.
所求圆的方程为（xI）2（y，2）29
24
（II）设直线AB的方程为yk（x1）（k0）,
2
代入Ly21整理得（12k2）x24k2x2k220.
2，
Q直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根记A（X1,yJ,B（X2』2）,AB中点N（xg,yo）,
则x1x2
4k2
2k21
AB的垂直平分线NG的方程为yy0
1
（xXo）.k
令y
c刁曰
0,得
xg
xky°
Qk
1
0,-
2
22
2kk
2k12k
Xg0,
k2
2k21
11
—2
24k2
2
例15.已知双曲线C:
L
2a
2
y
1（a0,bb
点G横坐标的取值范围为
LUUuuuuuu
0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF|
成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线
（1）求证：
PA
（2）若I与双曲线
l，垂足为P,
解答过程:
直线
故:
则:
（或
uuuuuuuiTOPPAFP；
C的左、右两支分别相交于点
D,E,求双曲线
C的离心率e的取值范围.
（1）因
a,
肿
b
x
a
uuu
PA
uuu
PA
uuu
PA
|Oa|,|OB|,|Of|成等比数列,
a
b（xc），
c）
P（a2,ab），
c
uuu
刖|OB|2
|OA|uuuh
|OF|
2
a
A（—,0），
c
（0,
ULU
OP
uuu
（OP
az
222
bxay
ab）,cJpc
ULT
FP）
c）
巨,吗FP
cc
uuuuur
PAFP，即
uuu
PA
ULT
（PF
uuuPO）
b2
ab
UULUUL
PAOP
UULTUULPAOF
UJU
PA
nrFP；
0,即
ujuuurPAOP
urnurP
升级会员 