中考数学总复习第四单元三角形课时训练21直角三角形及勾股定理练习.docx

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中考数学总复习第四单元三角形课时训练21直角三角形及勾股定理练习

课时训练21直角三角形及勾股定理

限时：

30分钟

夯实基础

1．下列各组数据中三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

A．B．1，C．6，7，8D．2，3，4

2．如图K21－1，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝（）

图K21－1

A．6B．6C．6D．12

3．如图K21－2，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为（）

图K21－2

A．B．2C．＋1D．2＋1

4．[2018·扬州]如图K21－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）

图K21－3

A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC

5．选择用反证法证明“已知：

在△ABC中，∠C＝90°．求证：

∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（）

A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°

C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°

6．[2018·徐州]如图K21－4，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝． 

图K21－4

7．[2018·黄冈]如图K21－5，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）． 

图K21－5

8．[2018·淮安]如图K21－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是． 

图K21－6

9．[2018·荆门]如图K21－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边三角形BDE，连接AD，CD．

（1）求证：

△ADE≌△CDB；

（2）若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值．

图K21－7

能力提升

10．[2018·东营]如图K21－8，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC的内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论：

①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2＋AB2）－CD2．

其中正确的是（）

图K21－8

A．①②③④B．②④C．①②④D．①③④

11．如图K21－9，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4，则FD的长为（）

图K21－9

A．2B．4C．D．2

12．[2018·铜仁]在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝2，则AB＝． 

图K21－10

13．[2017·齐齐哈尔]如图K21－11，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．

（1）求证：

DE＝DF，DE⊥DF；

（2）连接EF，若AC＝10，求EF的长．

图K21－11

拓展练习

14．[2018·十堰]如图K21－12，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为． 

图K21－12

15．已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图K21－13①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是． 

（2）如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．

（3）如图③，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并给予证明．

图K21－13

参考答案

1．B2．A3．B

4．C[解析]根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合

∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE．

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠DCE．

又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选C．

5．A

6．35°

7．20[解析]如图，点E与点A关于直线l对称，连接EB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点B作BC⊥AE于点C，则Rt△EBC中，BC＝32÷2＝16（cm），EC＝3＋14－5＝12（cm），所以EB＝＝20（cm）．

8．1．6[解析]连接AD，

由作法可知AD＝BD，在Rt△ACD中，AC＝3，设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，

由勾股定理，得CD2＋AC2＝AD2，即x2＋32＝（5－x）2，解得x＝1．6．

故答案为1．6．

9．解：

（1）证明：

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，∴BC＝EA，∠ABC＝60°．

∵△DEB为等边三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，

∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，∴∠DEA＝∠DBC，∴△ADE≌△CDB．

（2）如图，作点E关于直线AC的对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．

由作图可知：

EH＋BH＝BE'，AE'＝AE，∠E'AC＝∠BAC＝30°，

∴∠EAE'＝60°，∴△EAE'为等边三角形，∴EE'＝EA＝AB，∴∠AE'B＝90°．

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝，∴AB＝2，AE'＝AE＝，

∴BE'＝＝3，

∴BH＋EH的最小值为3．

10．A[解析]∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠DAE＋∠EAB＝∠CAB＋∠EAB，∠ABC＝∠ACB＝45°，即∠DAB＝∠EAC．

∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，故①正确．

∴∠ABD＋∠ECB＝∠ACE＋∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确．

∵∠ABC＝45°，∴在△EBC中，∠EBA＋∠ABC＋∠ECB＝90°，

∴∠BEC＝90°，即BD⊥CE，故③正确．

在Rt△BEC中，BE2＝BC2－CE2，

在Rt△DEC中，CE2＝DC2－DE2，

∴BE2＝BC2－CE2＝BC2－（DC2－DE2）＝BC2＋DE2－DC2．

∵Rt△ABC与Rt△ADE都是等腰直角三角形，

∴BC2＝2AB2，DE2＝2AD2，

∴BE2＝2AD2＋2AB2－DC2＝2（AD2＋AB2）－DC2，故④正确．

故选A．

11．B

12．4[解析]根据CE垂直平分AD，得AC＝CD，再根据等腰三角形的三线合一得∠ACE＝∠ECD，结合角平分线定义和∠ACB＝90°，得∠ACE＝∠ECD＝∠BCD＝30°，所以∠ACD＝∠ADC＝∠A＝60°，∠B＝∠BCD＝30°，在Rt△ACB中，∠B＝30°，BC＝2，∴AB＝4．

13．解：

（1）证明：

∵AD⊥BC于D，∴∠BDG＝∠ADC＝90°，

∵BD＝AD，DG＝DC，∴△BDG≌△ADC（SAS），∴BG＝AC．

∵AD⊥BC于D，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝BG，DF＝AC，∴DE＝DF．

∵DE＝DF，BD＝AD，BE＝AF，∴△BDE≌△ADF（SSS），∴∠BDE＝∠ADF，

∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG＋∠BDE＝∠BDG＝90°，

∴DE⊥DF．

（2）∵AC＝10，∴DE＝DF＝AC＝×10＝5．

∵∠EDF＝90°，∴EF＝＝5．

14．[解析]如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD＋DE的值最小，就是A'E的长．

Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝9，

S△ABC＝AB·AC＝BC·AF，∴3×6＝9AF，解得AF＝2，∴AA'＝2AF＝4，

∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，

∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC，∴，即，

∴A'E＝，即AD＋DE的最小值是．

故答案为．

15．解：

（1）AE∥BF　QE＝QF

（2）QE＝QF．

证明：

如图①，延长FQ交AE于点D．

∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1＝∠2．

∵∠3＝∠4，AQ＝BQ，∴△AQD≌△BQF，∴QD＝QF．

∵AE⊥CP，∴QE为斜边FD的中线，∴QE＝FD＝QF．

（3）此时

（2）中结论仍然成立．

理由：

如图②，延长EQ，FB交于点D．

∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1＝∠D．

∵∠2＝∠3，AQ＝BQ，∴△AQE≌△BQD，∴QE＝QD．

∵BF⊥CP，∴FQ为斜边DE的中线．∴QF＝DE＝QE．

予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。

州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。

予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。

读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。

是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。

予亦方举进士，以礼部诗赋为事。

年十有七试于州，为有司所黜。

因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：

学者当至于是而止尔！

因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。