云南省中考数学总复习专练五与全等三角形有关的中档计算题与证明题练习.docx

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云南省中考数学总复习专练五与全等三角形有关的中档计算题与证明题练习

提分专练（五）　与全等三角形有关的中档计算题与证明题

|类型1|　全等三角形与等腰三角形的结合问题1.如图T5-1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.

求证:

（1）△AEF≌△CEB;

（2）AF=2CD.

图T5-1

2.[2017·苏州]如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.

（1）求证:

△AEC≌△BED;

（2）若∠1=42°,求∠BDE的度数.

图T5-2

3.[2017·呼和浩特]如图T5-3,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.

（1）求证:

BD=CE;

（2）设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.

图T5-3

4.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.

（1）求证:

AD=BE;

（2）求∠AEB的度数.

图T5-4

|类型2|　全等三角形与直角三角形的结合问题

5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件　　　　,使△AEH≌△CEB. 

图T5-5

6.如图T5-6,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.

（1）求证:

△ACD≌△AED;

（2）若∠B=30°,CD=1,求BD的长.

图T5-6

|类型3|　全等三角形与等腰直角三角形的结合问题

7.已知:

如图T5-7,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.

（1）求证:

△ACE≌△BCD;

（2）求证:

2CD2=AD2+DB2.

图T5-7

8.如图T5-8,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.

（1）求证:

AD=AF;

（2）求证:

BD=EF.

图T5-8

参考答案

1.证明:

（1）∵AD⊥BC,CE⊥AB,

∴∠BCE+∠B=90°,∠FAE+∠B=90°,

∴∠FAE=∠BCE.

在△AEF和△CEB中,

∴△AEF≌△CEB（ASA）.

（2）∵AB=AC,AD⊥BC,

∴BC=2CD.

∵△AEF≌△CEB,

∴AF=BC,∴AF=2CD.

2.[解析]

（1）用ASA证明两三角形全等;

（2）利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:

等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.

解:

（1）证明:

∵AE和BD相交于点O,

∴∠AOD=∠BOE.

在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,

∴∠BEO=∠2.

又∵∠1=∠2,

∴∠1=∠BEO,

∴∠AEC=∠BED.

在△AEC和△BED中,

∴△AEC≌△BED（ASA）.

（2）∵△AEC≌△BED,

∴EC=ED,∠C=∠BDE.

在△EDC中,

∵EC=ED,∠1=42°,

∴∠C=∠EDC=69°,

∴∠BDE=∠C=69°.

3.解:

（1）证明:

∵AB,AC为等腰三角形的两腰,

∴AB=AC.

∵BD,CE分别是两腰上的中线,

∴AE=AD.

在△AEC与△ADB中,

∴△AEC≌△ADB,

∴BD=CE.

（2）四边形DEMN为正方形.

4.解:

（1）证明:

∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,

∴AC=BC,DC=EC,

∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE（SAS）,

∴AD=BE.

（2）∵△ACD≌△BCE,

∴∠ADC=∠BEC.

∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,

∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,

∴∠BEC=130°.

∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.

5.AE=EC（答案不唯一）　[解析]根据垂直关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了.

∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,

∴∠BEC=∠AEC=∠HDC=90°,

在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,

在Rt△CDH中,∠DCH=90°-∠DHC,

又∠AHE=∠DHC,

∴∠EAH=∠BCE.

所以根据AAS可添加AH=CB或EH=EB;

根据ASA可添加AE=CE.

故答案为AH=CB或EH=EB或AE=CE等.

6.解:

（1）证明:

∵AD平分∠CAB,

∴∠CAD=∠EAD.

∵DE⊥AB,∠C=90°,

∴∠ACD=∠AED=90°.

又∵AD=AD,

∴△ACD≌△AED.

（2）∵△ACD≌△AED,

∴DE=CD=1.

∵∠B=30°,∠DEB=90°,

∴BD=2DE=2.

7.证明:

（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,

∴AC=BC,CD=CE,

∵∠ACB=∠DCE=90°,

∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,

∴∠ACE=∠BCD,

在△ACE和△BCD中,

∴△ACE≌△BCD（SAS）.

（2）∵△ACB是等腰直角三角形,

∴∠B=∠BAC=45°.

∵△ACE≌△BCD,

∴∠B=∠CAE=45°.

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,

∴AD2+AE2=DE2.

由

（1）知AE=DB,

∴AD2+DB2=DE2,

又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.

8.证明:

（1）∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°.

∵∠BCD=90°,

∴∠ACD=135°.

∴∠ABF=∠ACD,

∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.

在△ABF和△ACD中,

∴△ABF≌△ACD（SAS）,∴AD=AF.

（2）由

（1）知,AF=AD,△ABF≌△ACD,

∴∠FAB=∠DAC.

∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°,

∴∠EAF=∠BAD.

在△AEF和△ABD中,

∴△AEF≌△ABD（SAS）,∴BD=EF.