中考数学复习专题14 二次函数的图象和性质.docx
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中考数学复习专题14二次函数的图象和性质
专题14二次函数的图象和性质
☞解读考点
知 识 点
名师点晴
二次函数概念、图象和性质
1.二次函数的概念
会判断一个函数是否为二次函数．
2.二次函数的图象
知道二次函数的图象是一条抛物线．
3.二次函数的性质
会按在对称轴左右判断增减性．
4.二次函数的解析式确定
能用待定系数法确定函数解析式．
二次函数与二次方程的关系
5.判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系．
会用数形结合思想解决此类问题．
能根据图象信息，解决相应的问题．
☞2年中考
【2015年题组】
1．（2015乐山）二次函数
的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C．
考点：
1．二次函数的最值；2．最值问题．
2．（2015南宁）如图，已知经过原点的抛物线
的对称轴是直线
，下列结论中：
?
①
，‚②
，ƒ③当
．
正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D．
考点：
1．二次函数图象与系数的关系；2．综合题．
3．（2015柳州）如图，二次函数
的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．﹣2＜x＜4C．x＞0D．x＞4
【答案】B．
【解析】
试题分析：
如图所示：
当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：
﹣2＜x＜4．故选B．
考点：
抛物线与x轴的交点．
4．（2015河池）将抛物线
向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：
∵将抛物线
向上平移3个单位再向右平移2个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：
．故选B．
考点：
二次函数图象与几何变换．
5．（2015贵港）如图，已知二次函数
的图象与正比例函数
的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若
，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3
【答案】C．
考点：
二次函数与不等式（组）．
6．（2015苏州）若二次函数
的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程
的解为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D．
【解析】
考点：
抛物线与x轴的交点．
7．（2015乐山）已知二次函数
的图象如图所示，记
，
．则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．m、n的大小关系不能确定
【答案】A．
【解析】
试题分析：
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右边，∴b＞0，∵抛物线经过原点，∴c=0，∴a﹣b+c＜0；∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c=0，∴a+b＞0；
（1）当对称轴
时，
，
=
=
=
，
=
=
=
，
∵a＜0，∴
，∴m＜n．
（2）当对称轴
时，
，
=
=
，
=
=
=
，
，
∵a+b＞0，∴﹣2（a+b）＜0，∴m＜n．
综上，可得m＜n．
故选A．
考点：
1．二次函数图象与系数的关系；2．综合题；3．压轴题．
8．（2015雅安）在二次函数
中，当
时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0
【答案】A．
考点：
1．二次函数的最值；2．最值问题．
9．（2015孝感）如图，二次函数
（
）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：
①abc＜0；②
；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=
．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B．
【解析】
试题分析：
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=
＞0，而a＜0，∴
，所以②错误；
∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入
得
，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；
设A（
，0），B（
，0），∵二次函数
（
）的图象与x轴交于A，B两点，∴
和
是方程
（
）的两根，∴
=
，∴OA•OB=
，所以④正确．
故选B．
考点：
1．二次函数图象与系数的关系；2．数形结合；3．综合题．
10．（2015南通）关于x的一元二次方程
的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．
【答案】
．
考点：
1．抛物线与x轴的交点；2．综合题；3．压轴题．
11．（2015宿迁）当
或
（
）时，代数式
的值相等，则
时，代数式
的值为．
【答案】3．
【解析】
试题分析：
设
，∵当
或
（
）时，代数式
的值相等，∴
，∴m+n=2，∴当
时，即x=2时，
=
，故答案为：
3．
考点：
1．二次函数图象上点的坐标特征；2．条件求值；3．综合题．
12．（2015贺州）已知二次函数
的图象如图所示，有以下结论：
①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，
）和（
，
）在该图象上，则
．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．
【答案】②④．
考点：
二次函数图象与系数的关系．
13．（2015雅安）为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为20m的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为．
【答案】25m2．
【解析】
考点：
1．扇形面积的计算；2．最值问题；3．二次函数的最值．
14．（2015来宾）在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N．
（1）求证：
△CMN∽△BAM；
（2）设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大值；
（3）当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：
①点N始终在线段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．
【答案】
（1）证明见试题解析；
（2）
，当x=
时，y取最大值，为
；（3）b=2a．
【解析】
试题分析：
（1）由矩形的性质可得∠B=∠C=90°，要证△CMN∽△BAM，只需证∠BAM=∠CMN即可；
（2）由△CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析式，然后只需运用配方法就可求出y的最大值；
（3）由点M在BC上运动（点M与点B、C不重合），可得0＜x＜b，要满足条件①，应保证当0＜x＜b时，y≤a恒成立，要满足条件②，需存在一个x，使得y=a，综合条件①和②，当0＜x＜b时y最大值应为a，然后结合
（2）中的结论，就可解决问题．
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠AMB=90°．∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°，∴∠BAM=∠CMN，∴△CMN∽△BAM；
（2）∵△CMN∽△BAM，∴
．∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，∴
，∴
=
．∵
＜0，∴当x=
时，y取最大值，最大值为
；
考点：
1．相似形综合题；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．压轴题．
15．（2015桂林）如图，已知抛物线
与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式：
；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？
最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
；
（2）
，当t=5时，S最大=
；（3）存在，P（
，
）或P（8，0）或P（
，
）．
【解析】
试题分析：
（1）将点A、B代入抛物线即可求出抛物线的解析式；
（2）根据题意得：
当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出点E的坐标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：
，然后转化为顶点式即可求出最值为：
S最大=
；
（3）由
（2）知：
当t=5时，S最大=
，进而可知：
当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=
，从而确定C，D的坐标，即可求出直线CD的解析式，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN等于点E到CD的距离，然后求出N的坐标，再过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．
设直线EF的解析式为：
，将E（﹣2，0）代入得：
b=
，∴直线EF的解析式为：
，将
，与
联立成方程组得：
，解得：
，或
，∴P（
，
）；
过点E作EG⊥CD，垂足为G，∵当t=5时，S△ECD=
CD•EG=
，∴EG=
，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=
，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，
可得△EGD∽△DMN，∴
，∴EG•DN=ED•DM，即：
DM=
=
，∴OM=
，由勾股定理得：
MN=
=
，∴N（
，
），过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，如图2，设直线NH的解析式为：
，将N（
，
），代入上式得：
b=
，∴直线NH的解析式为：
，将
，与
联立成方程组得：
，解得：
，或
，∴P（8，0）或P（
，
），
综上所述：
当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：
P（
，
）或P（8，0）或P（
，
）．
考点：
1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．分类讨论；7．压轴题．
16．（2015梧州）如图，抛物线
与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；
（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．
【答案】
（1）
；
（2）2或
；（3）M点的横坐标为
，N点的横坐标为
．
考点：
1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．最值问题；4．压轴题．
17．（2015北海）如图1所示，已知抛物线
的顶点为D，与x轴交于A
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