C语言常用而经典的算法.docx

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C语言常用而经典的算法

一、基本算法交换、累加、累乘

二、非数值计算常用经典算法穷举、排序冒泡选择、查找顺序即线性

三、数值计算常用经典算法级数计算直接、简接即递推、一元非线性方程求根牛顿迭代法、二分法、定积分计算矩形法、梯形法、矩阵转置

四、其他迭代、进制转换、字符处理统计、数字串、字母大小写转换、加密等、整数各数位上数字的获取、辗转相除法求最大公约数最小公倍数、求最值、判断素数各种变形、数组元素的插入删除、二维数组的其他典型问题方阵的特点、杨辉三角形

一、基本算法

1．交换（两量交换借助第三者）

例1、任意读入两个整数，将二者的值交换后输出。

main（）

{inta,b,t;

scanf（"%d%d",&a,&b）;

printf（"%d,%d\n",a,b）;

t=a;a=b;b=t;

printf（"%d,%d\n",a,b）;}

【解析】程序中加粗部分为算法的核心，如同交换两个杯子里的饮料，必须借助第三个空杯子。

假设输入的值分别为3、7，则第一行输出为3，7；第二行输出为7，3。

其中t为中间变量，起到“空杯子”的作用。

注意：

三句赋值语句赋值号左右的各量之间的关系！

【应用】

例2、任意读入三个整数，然后按从小到大的顺序输出。

main（）

{inta,b,c,t;

scanf（"%d%d%d",&a,&b,&c）;

/*以下两个if语句使得a中存放的数最小*/

if（a>b）{t=a;a=b;b=t;}

if（a>c）{t=a;a=c;c=t;}

/*以下if语句使得b中存放的数次小*/

if（b>c）{t=b;b=c;c=t;}

printf（"%d,%d,%d\n",a,b,c）;}

2．累加

累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累加功能。

“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为0。

例1、求1+2+3+……+100的和。

main（）

{inti,s;

s=0;i=1;

while（i<=100）

{s=s+i;/*累加式*/

i=i+1;/*特殊的累加式*/

}

printf（"1+2+3+...+100=%d\n",s）;}

【解析】程序中加粗部分为累加式的典型形式，赋值号左右都出现的变量称为累加器，其中“i=i+1”为特殊的累加式，每次累加的值为1，这样的累加器又称为计数器。

3．累乘

累乘算法的要领是形如“s=s*A”的累乘式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累乘功能。

“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为1。

例1、求10！

[分析]10！

=1×2×3×……×10

main（）

{inti;longc;

c=1;i=1;

while（i<=10）

{c=c*i;/*累乘式*/

i=i+1;

}

printf（"1*2*3*...*10=%ld\n",c）;}

二、非数值计算常用经典算法

1．穷举

也称为“枚举法”，即将可能出现的每一种情况一一测试，判断是否满足条件，一般采用循环来实现。

例1、用穷举法输出所有的水仙花数（即这样的三位正整数：

其每位数位上的数字的立方和与该数相等，比如：

13+53+33=153）。

[法一]

main（）

{intx,g,s,b;

for（x=100;x<=999;x++）

{g=x%10;s=x/10%10;b=x/100;

if（b*b*b+s*s*s+g*g*g==x）printf（"%d\n",x）;}

}

【解析】此方法是将100到999所有的三位正整数一一考察，即将每一个三位正整数的个位数、十位数、百位数一一求出（各数位上的数字的提取算法见下面的“数字处理”），算出三者的立方和，一旦与原数相等就输出。

共考虑了900个三位正整数。

[法二]

main（）

{intg,s,b;

for（b=1;b<=9;b++）

for（s=0;s<=9;s++）

for（g=0;g<=9;g++）

if（b*b*b+s*s*s+g*g*g==b*100+s*10+g）printf（"%d\n",b*100+s*10+g）;

}

【解析】此方法是用1到9做百位数字、0到9做十位和个位数字，将组成的三位正整数与每一组的三个数的立方和进行比较，一旦相等就输出。

共考虑了900个组合（外循环单独执行的次数为9，两个内循环单独执行的次数分别为10次，故if语句被执行的次数为9×10×10=900），即900个三位正整数。

与法一判断的次数一样。

2．排序

（1）冒泡排序（起泡排序）

假设要对含有n个数的序列进行升序排列，冒泡排序算法步骤是：

①从存放序列的数组中的第一个元素开始到最后一个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；

②第①趟结束后，最大数就存放到数组的最后一个元素里了，然后从第一个元素开始到倒数第二个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；

③重复步骤①n-1趟，每趟比前一趟少比较一次，即可完成所求。

例1、任意读入10个整数，将其用冒泡法按升序排列后输出。

#definen10

main（）

{inta[n],i,j,t;

for（i=0;i

for（j=1;j<=n-1;j++）/*n个数处理n-1趟*/

for（i=0;i<=n-1-j;i++）/*每趟比前一趟少比较一次*/

if（a[i]>a[i+1]）{t=a[i];a[i]=a[i+1];a[i+1]=t;}

for（i=0;i

（2）选择法排序

选择法排序是相对好理解的排序算法。

假设要对含有n个数的序列进行升序排列，算法步骤是：

①从数组存放的n个数中找出最小数的下标（算法见下面的“求最值”），然后将最小数与第1个数交换位置；

②除第1个数以外，再从其余n-1个数中找出最小数（即n个数中的次小数）的下标，将此数与第2个数交换位置；

③重复步骤①n-1趟，即可完成所求。

例1、任意读入10个整数，将其用选择法按升序排列后输出。

#definen10

main（）

{inta[n],i,j,k,t;

for（i=0;i

for（i=0;i

{k=i;/*总是假设此趟处理的第一个（即全部数的第i个）数最小，k记录其下标*/

for（j=i+1;j

if（a[j]

if（k!

=i）{t=a[i];a[i]=a[k];a[k]=t;}

}

for（i=0;i

printf（"%d\n",a[i]）;}

（3）插入法排序

要想很好地掌握此算法，先请了解“有序序列的插入算法”，就是将某数据插入到一个有序序列后，该序列仍然有序。

插入算法参见下面的“数组元素的插入”。

例1、将任意读入的整数x插入一升序数列后，数列仍按升序排列。

#definen10

main（）

{inta[n]={-1,3,6,9,13,22,27,32,49},x,j,k;/*注意留一个空间给待插数*/

scanf（"%d",&x）;

if（x>a[n-2]）a[n-1]=x;/*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/

else/*查找待插位置*/

{j=0;

while（j<=n-2&&x>a[j]）j++;

/*从最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/

for（k=n-2;k>=j;k--）a[k+1]=a[k];

a[j]=x;/*插入待插数*/}

for（j=0;j<=n-1;j++）printf（"%d",a[j]）;

}

插入法排序的要领就是每读入一个数立即插入到最终存放的数组中，每次插入都使得该数组有序。

例2、任意读入10个整数，将其用插入法按降序排列后输出。

#definen10

main（）

{inta[n],i,j,k,x;

scanf（"%d",&a[0]）;/*读入第一个数，直接存到a[0]中*/

for（j=1;j

{scanf（"%d",&x）;

if（x

else/*以下查找待插位置*/

{i=0;

while（x

/*以下for循环从原最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/

for（k=j-1;k>=i;k--）a[k+1]=a[k];

a[i]=x;/*插入待插数*/

}

}

for（i=0;i

}

（4）归并排序

即将两个都升序（或降序）排列的数据序列合并成一个仍按原序排列的序列。

例1、有一个含有6个数据的升序序列和一个含有4个数据的升序序列，将二者合并成一个含有10个数据的升序序列。

#definem6

#definen4

main（）

{inta[m]={-3,6,19,26,68,100},b[n]={8,10,12,22};

inti,j,k,c[m+n];

i=j=k=0;

while（i

{if（a[i]

else{c[k]=b[j];j++;}

k++;}

while（i>=m&&j

{c[k]=b[j];k++;j++;}

while（j>=n&&i

{c[k]=a[i];k++;i++;}

for（i=0;i

}

3．查找

（1）顺序查找（即线性查找）

顺序查找的思路是：

将待查找的量与数组中的每一个元素进行比较，若有一个元素与之相等则找到；若没有一个元素与之相等则找不到。

例1、任意读入10个数存放到数组a中，然后读入待查找数值，存放到x中，判断a中有无与x等值的数。

#defineN10

main（）

{inta[N],i,x;

for（i=0;i

/*以下读入待查找数值*/

scanf（"%d",&x）;

for（i=0;i

if（i

\n"）;

elseprintf（"Notfound!

\n"）;}

（2）折半查找（即二分法）

顺序查找的效率较低，当数据很多时，用二分法查找可以提高效率。

使用二分法查找的前提是数列必须有序。

二分法查找的思路是：

要查找的关键值同数组的中间一个元素比较，若相同则查找成功，结束；否则判别关键值落在数组的哪半部分，就在这半部分中按上述方法继续比较，直到找到或数组中没有这样的元素值为止。

例1、任意读入一个整数x，在升序数组a中查找是否有与x等值的元素。

#definen10

main（）

{inta[n]={2,4,7,9,12,25,36,50,77,90};

intx,high,low,mid;/*x为关键值*/

scanf（"%d",&x）;

high=n-1;low=0;mid=（high+low）/2;

while（a[mid]!

=x&&low

{if（x

elselow=mid+1;/*修改区间下界*/

mid=（high+low）/2;}

if（x==a[mid]）printf（"Found%d,%d\n",x,mid）;

elseprintf（"Notfound\n"）;

}

三、数值计算常用经典算法：

1．级数计算

级数计算的关键是“描述出通项”，而通项的描述法有两种：

一为直接法、二为间接法又称递推法。

直接法的要领是：

利用项次直接写出通项式；递推法的要领是：

利用前一个（或多个）通项写出后一个通项。

可以用直接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+2+3+4+5+……

（2）1+1/2+1/3+1/4+1/5+……等等。

可以用间接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……

（2）1+1/2!

+1/3!

+1/4!

+1/5!

+……等等。

（1）直接法求通项

例1、求1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/100的和。

main（）

{floats;inti;

s=0.0;

for（i=1;i<=100;i++）s=s+1.0/i;

printf（"1+1/2+1/3+...+1/100=%f\n",s）;

}

【解析】程序中加粗部分就是利用项次i的倒数直接描述出每一项，并进行累加。

注意：

因为i是整数，故分子必须写成1.0的形式！

（2）间接法求通项（即递推法）

例2、计算下列式子前20项的和：

1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……。

[分析]此题后项的分子是前项的分母，后项的分母是前项分子分母之和。

main（）

{floats,fz,fm,t,fz1;inti;

s=1;/*先将第一项的值赋给累加器s*/

fz=1;fm=2;

t=fz/fm;/*将待加的第二项存入t中*/

for（i=2;i<=20;i++）

{s=s+t;

/*以下求下一项的分子分母*/

fz1=fz;/*将前项分子值保存到fz1中*/

fz=fm;/*后项分子等于前项分母*/

fm=fz1+fm;/*后项分母等于前项分子、分母之和*/

t=fz/fm;}

printf（"1+1/2+2/3+...=%f\n",s）;

}

下面举一个通项的一部分用直接法描述，另一部分用递推法描述的级数计算的例子：

例3、计算级数

的值，当通项的绝对值小于eps时计算停止。

#include

floatg（floatx,floateps）;

main（）

{floatx,eps;

scanf（"%f%f",&x,&eps）;

printf（"\n%f,%f\n",x,g（x,eps））;

}

floatg（floatx,floateps）

{intn=1;floats,t;

s=1;t=1;

do{t=t*x/（2*n）;

s=s+（n*n+1）*t;/*加波浪线的部分为直接法描述部分，t为递推法描述部分*/

n++;}while（fabs（t）>eps）;

returns;

}

2．一元非线性方程求根

（1）牛顿迭代法

牛顿迭代法又称牛顿切线法：

先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根，由x0求出f（x0）,过（x0，f（x0））点做f（x）的切线，交x轴于x1，把它作为第二次近似根，再由x1求出f（x1）,过（x1，f（x1））点做f（x）的切线，交x轴于x2，……如此继续下去，直到足够接近（比如|x-x0|<1e-6时）真正的根x*为止。

而f'（x0）=f（x0）/（x1-x0）所以x1=x0-f（x0）/f'（x0）

例如，用牛顿迭代法求下列方程在1.5附近的根：

2x3-4x2+3x-6=0。

#include"math.h"

main（）

{floatx,x0,f,f1;x=1.5;

do{x0=x;

f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;

f1=6*x0*x0-8*x0+3;

x=x0-f/f1;}while（fabs（x-x0）>=1e-5）;

printf（"%f\n",x）;}

（2）二分法

算法要领是：

先指定一个区间[x1,x2]，如果函数f（x）在此区间是单调变化的，则可以根据f（x1）和f（x2）是否同号来确定方程f（x）=0在区间[x1,x2]内是否有一个实根；如果f（x1）和f（x2）同号，则f（x）在区间[x1,x2]内无实根，要重新改变x1和x2的值。

当确定f（x）在区间[x1,x2]内有一个实根后，可采取二分法将[x1,x2]一分为二，再判断在哪一个小区间中有实根。

如此不断进行下去，直到小区间足够小为止。

具体算法如下：

（1）输入x1和x2的值。

（2）求f（x1）和f（x2）。

（3）如果f（x1）和f（x2）同号说明在[x1,x2]内无实根，返回步骤

（1），重新输入x1和x2的值；若f（x1）和f（x2）不同号，则在区间[x1,x2]内必有一个实根，执行步骤（4）。

（4）求x1和x2的中点：

x0=（x1+x2）/2。

（5）求f（x0）。

（6）判断f（x0）与f（x1）是否同号。

①如果同号，则应在[x0,x2]中寻找根，此时x1已不起作用，用x0代替x1，用f（x0）代替f（x1）。

②如果不同号，则应在[x1,x0]中寻找根，此时x2已不起作用，用x0代替x2，用f（x0）代替f（x2）。

（7）判断f（x0）的绝对值是否小于某一指定的值（例如10-5）。

若不小于10-5，则返回步骤（4）重复执行步骤（4）、（5）、（6）；否则执行步骤（8）。

（8）输出x0的值，它就是所求出的近似根。

例如，用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在（-10，10）之间的根。

#include"math.h"

main（）

{floatx1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;

do{printf（"Enterx1&x2"）;

scanf（"%f%f",&x1,&x2）;

fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;

fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;

}while（fx1*fx2>0）;

do{x0=（x1+x2）/2;

fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;

if（（fx0*fx1）<0）{x2=x0;fx2=fx0;}

else{x1=x0;fx1=fx0;}

}while（fabs（fx0）>1e-5）;

printf（"%f\n",x0）;}

3．梯形法计算定积分

定积分

的几何意义是求曲线y=f（x）、x=a、x=b以及x轴所围成的面积。

可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。

例如，把区间[a,b]分成n个长度相等的

小区间，每个小区间的长度为h=（b-a）/n，第i个小梯形的面积为

[f（a+（i-1）·h）+f（a+i·h）]·h/2，将n个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值：

根据以上分析，给出“梯形法”求定积分的N-S结构图：

输入区间端点：

a，b

输入等分数n

h=（b-a）/2,s=0

i从1到n

si=（f（a+（i-1）*h）+f（a+i*h））*h/2

s=s+si

输出s

上述程序的几何意义比较明显，容易理解。

但是其中存在重复计算，每次循环都要计算小梯形的上、下底。

其实，前一个小梯形的下底就是后一个小梯形的上底，完全不必重复计

算。

为此做出如下改进：

矩形法求定积分则更简单，就是将等分出来的图形当作矩形，而不是梯形。

例如：

求定积分

的值。

等分数n=1000。

#include"math.h"

floatDJF（floata,floatb）

{floatt,h;intn,i;

floatHSZ（floatx）;

n=1000;h=fabs（a-b）/n;

t=（HSZ（a）+HSZ（b））/2;

for（i=1;i<=n-1;i++）t=t+HSZ（a+i*h）;

t=t*h;

return（t）;

}

floatHSZ（floatx）

{return（x*x+3*x+2）;}

main（）

{floaty;

y=DJF（0,4）;

printf（"%f\n",y）;}

四、其他常见算法

1．迭代法

其基本思想是把一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次重复。

每次重复都从旧值的基础上递推出新值，并由新值代替旧值。

例如，猴子吃桃问题。

猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。

第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。

以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。

到第10天早上想再吃时，就只剩一个桃子了。

编程求第一天共摘多少桃子。

main（）

{intday,peach;

peach=1;

for（day=9;day>=1;day--）peach=（peach+1）*2;

printf（"Thefirstday:

%d\n",peach）;}

又如，用迭代法求x=

的根。

求平方根的迭代公式是：

xn+1=0.5×（xn+a/xn）

[算法]

（1）设定一个初值x0。

（2）用上述公式求出下一个值x1。

（3）再将x1代入上述公式，求出下一个值x2。

（4）如此继续下去，直到前后两次求出的x值（xn+1和xn）满足以下关系：

|xn+1-xn|<10-5

#include"math.h"

main（）

{floata,x0,x1;

scanf（"%f",&a）;

x0=a/2;x1=（x0+a/x0）/2;

do{x0=x1;

x1=（x0+a/x0）/2;

}while（fabs（x0-x1）>=1e-5）;

printf（"%f\n",x1）;

}

2．进制转换

（1）十进制数转换为其他进制数

一个十进制正整数m转换成r进制数的思路是，将m不断除以r取余数，直到商为0时止，以反序输出余数序列即得到结果。

注意，转换得到的不是数值，而是数字字符串或数字串。

例如，任意读入一个十进制正整数，将其转换成二至十六任意进制的字符串。

voidtran（intm,intr,charstr[],int*n）

{charsb[]="0123456789ABCDEF";inti=0,g;

do{g=m%r;

str[i]=sb[g];

m=m/r;

i++;

}while（m!

=0）;

*n=i;

}

main（）

{i