课时作业二十一 用二分法求方程的近似解经典例题及答案详解.docx

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课时作业二十一用二分法求方程的近似解经典例题及答案详解

课时作业（二十一）　用二分法求方程的近似解

一、选择题

1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（　　）

【解析】　利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f（a）·f（b）<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.

【答案】　B

2．（2014·河南中原名校联考）设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（　　）

A．（2，2.25）　　　　　B．（2.25，2.5）

C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）

【解析】　因为f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，由零点存在性定理知，在区间（2.25，2.75）内必有根，利用二分法得f（2.5）＜0，由零点存在性定理知，方程的根在区间（2.5，2.75），选C.

【答案】　C

3．用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）<0，f（0.5）>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为（　　）

A．（0，0.5），f（0.25）B．（0，1），f（0.25）

C．（0.5，1），f（0.25）D．（0，0.5），f（0.125）

【解析】　∵f（0）<0，f（0.5）>0，∴f（0）·f（0.5）<0，故f（x）的一个零点x0∈（0，0.5），利用二分法，则第二次应计算f

＝f（0.25）．

【答案】　A

4．在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（　　）

A．0.68　　　B．0.72C．0.7　　　D．0.6

【解析】　已知f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，则函数f（x）的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝

（0.64＋0.72），且f（0.68）＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．

【答案】　C

二、填空题

5．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝

，则下一个含根的区间是________．

【解析】　令f（x）＝lnx－2＋x，∵f

（1）＝－1<0，f

（2）＝ln2>0，f

＝ln

－

＜0，∴下一个含根的区间是

.

【答案】　

6．若函数f（x）的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f（x）的零点所在区间为________．（只填序号）

①（－∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞）

x

1

2

3

4

5

6

f（x）

136.123

15.542

－3.930

10.678

－50.667

－305.678

【解析】　∵函数f（x）的图象是连续不断的，且f

（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，

∴函数零点分别在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内．

【答案】　③④⑤

7．用二分法求函数f（x）＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

f（1.6000）＝0.200

f（1.5875）＝0.133

f（1.5750）＝0.067

f（1.5625）＝0.003

f（1.5562）＝－0.029

f（1.5500）＝－0.060

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解（精确度到0.01）为________．

【解析】　注意到f（1.5562）＝－0.029和f（1.5625）＝0.003，

显然f（1.5562）·f（1.5625）＜0，区间的端点四舍五入都为1.56，故方程的一个近似解为1.56.

【答案】　1.56

三、解答题

8．求函数f（x）＝x3＋2x2－3x－6的一个正零点（精确度为0.1）．

【解】　f

（1）＝－6＜0，f

（2）＝4＞0，可取区间（1，2）作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

区间

中点

中点函数值

（1，2）

1.5

－2.625

（1.5，2）

1.75

0.2344

（1.5，1.75）

1.625

－1.3027

（1.625，1.75）

1.6875

－0.5618

（1.6875，1.75）

1.71875

－0.1707

由于|1.75－1.6875|＝0.0625＜0.1，

所以可将1.6875作为函数零点的近似值．

9．（2014·天津高一检测）借助计算机或计算器，用二分法求方程log2（x＋4）＝2x的一个正根的近似值．（精确度0.1）

【解】　令f（x）＝log2（x＋4）－2x，其零点为x0，

借助计算机作出函数f（x）的图象如图所示．

取正区间[1，2]，f

（1）≈0.322，f

（2）≈－1.415.

取区间[1，2]的中点x1＝1.5，

计算f（1.5）≈－0.369，

所以f

（1）·f（1.5）＜0，

所以x0∈（1，1.5）．

再取区间（1，1.5）的中点x2＝1.25，

计算f（1.25）≈0.014，

所以x0∈（1.25，1.5）．

同理可得x0∈（1.25，1.375），

x0∈（1.25，1.3125），

因为|1.3125－1.25|＝0.0625＜0.1，

故可取1.3125作为此函数的一个零点，

所以方程log2（x＋4）＝2x精确度到0.1的正根的近似值为1.3125.

1．（2014·合肥高一检测）函数f（x）＝2x＋m的零点落在（－1，0）内，则m的取值范围为（　　）

A．（－2，0）　　　　　　　　B．（0，2）

C．[－2，0]D．[0，2]

【解析】　由题意f（－1）·f（0）＝（m－2）m<0，∴0

【答案】　B

2．下列函数不宜用二分法求零点的是（　　）

A．f（x）＝x3－1B．f（x）＝lnx＋3

C．f（x）＝x2＋2

x＋2D．f（x）＝－x2＋4x－1

【解析】　因为f（x）＝x2＋2

x＋2＝（x＋

）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．

【答案】　C

3．（2014·广州高一检测）一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点（如图312所示），如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．

图312

【解析】　第1次取中点把焊点数减半为

＝32（个），第2次取中点把焊点数减半为

＝16（个），第3次取中点把焊点数减半为

＝8（个），第4次取中点把焊点数减半为

＝4（个），第5次取中点把焊点数减半为

＝2（个），第6次取中点把焊点数减半为

＝1（个），所以至多需要检测的次数是6.

【答案】　6

4．已知函数f（x）＝lnx＋2x－6.

（1）证明：

f（x）有且仅有一个零点．

（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于

.

【解】　

（1）因为函数y＝lnx，y＝2x－6在（0，＋∞）上都是增函数，

所以f（x）＝lnx＋2x－6在（0，＋∞）上是增函数，

所以f（x）至多有一个零点，

由f

（2）＝ln2－2＜0，f（3）＝ln3＞0，

所以f

（2）·f（3）＜0，

所以f（x）在（2，3）内至少有一个零点，

所以f（x）有且仅有一个零点．

（2）因为f

（2）＜0，f（3）＞0，

取x1＝

＝

，

f

＝ln

＋5－6＝ln

－1＜0，

所以f（3）·f

＜0，

所以f（x）的零点x0∈

.

取x2＝

＝

，

f

＝ln

＋2×

－6

＝ln

－

＞0，

所以f

·f

＜0，

所以x0∈

.

因为

＝

≤

，

所以满足题意的区间为

.