高考数学总复习课时规范练39直线平面垂直的判定与性质文新人教A版.docx
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高考数学总复习课时规范练39直线平面垂直的判定与性质文新人教A版
2019-2020年高考数学总复习课时规范练39直线平面垂直的判定与性质文新人教A版
1.
（2017山东临沂一模,文19）如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD.
（1）若M是AB的中点,求证:
平面CEM⊥平面BDE;
（2）若N为BE的中点,求证:
CN∥平面ADE.
〚导学号24190773〛
2.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:
（1）直线DE∥平面A1C1F;
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
3.
（2017河北邯郸二模,文19）如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=,点E在AD上,且AE=2ED.
（1）已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:
平面PEF⊥平面PAC;
（2）若△PBC的面积是梯形ABCD面积的,求点E到平面PBC的距离.
〚导学号24190774〛
4.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.
（1）求证:
AE⊥DA1;
（2）在线段AA1上求一点G,使得AE⊥平面DFG.
综合提升组
5.
（2017广东江门一模,文19）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.
（1）求四棱锥F-ADEC的体积;
（2）求证:
平面ADF⊥平面ACF.
6.（2017山西孝义考前模拟,文19）如图
（1）,五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图
（2）,将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.
图
（1）
图
（2）
（1）求证:
平面PAD⊥平面ABCD;
（2）若四棱锥P-ABCD的体积为2,求四面体BCDM的体积.
〚导学号24190775〛
7.
（2017北京海淀模拟,文15）如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.
（1）求四棱锥P-ABCD的体积.
（2）如果E是PA的中点,求证:
PC∥平面BDE.
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?
证明你的结论.
创新应用组
8.
（2017辽宁大连一模,文19）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=2,E为棱PD中点.
（1）求证:
PD⊥平面ABE;
（2）求四棱锥P-ABCD外接球的体积.
9.（2017山西太原二模,文19）如图
（1）,在平面六边形ABFCDE中,四边形ABCD是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE=,BF=CF=,点M,N分别是AD,BC的中点,分别沿直线AD,BC将△ADE,△BCF翻折成如图
（2）的空间几何体ABCDEF.
（1）利用下面的结论1或结论2,证明:
E,F,M,N四点共面;
结论1:
过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个;
结论2:
过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个.
（2）若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°,求三棱锥E-BCF的体积.
图
（1）
图
（2）
答案：
1.证明
（1）∵ED⊥平面ABCD,
∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM.
∵AE=BE,
∴Rt△ADE≌Rt△BDE,
∴AD=BD.
连接DM,则DM⊥AB,
∵AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,
∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM.
又DE⊥CM,BD∩DE=D,
∴CM⊥平面BDE,
∵CM⊂平面CEM,
∴平面CEM⊥平面BDE.
（2）由
（1）知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,
在△EBA中,∵N为BE的中点,
∴NG∥AB且NG=AB,
又AB∥CD,且AB=2CD,
∴NG∥CD,且NG=CD,
∴四边形CDGN为平行四边形,
∴CN∥DG.又CN⊄平面ADE,DG⊂平面ADE,∴CN∥平面ADE.
2.证明
（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为B1D⊂平面B1DE,
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
3.
（1）证明∵AB⊥AC,AB=AC,
∴∠ACB=45°.
∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,
∴∠ACD=45°,∴AD=CD,
∴BC=AC=2AD.
∵AE=2ED,CF=2FB,
∴AE=BF=AD,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴AB∥EF.
又AB⊥AC,∴AC⊥EF.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF.
∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC.
∵EF⊂平面PEF,
∴平面PEF⊥平面PAC.
（2）解∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC,
∴PB=PC,
取BC的中点G,连接AG,则AG⊥BC,AG=CD=1.
设PA=x,连接PG,则PG=,
∵△PBC的面积是梯形ABCD面积的倍,
∴×2×PG=×（1+2）×1,即PG=2,求得x=,
∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,
∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC,
∴点E到平面PBC的距离为PA=.
4.
（1）证明连接AD1,BC1（图略）.
由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,
∴DA1⊥平面ABC1D1.
∵AE⊂平面ABC1D1,∴AE⊥DA1.
（2）解所求点G即为点A1,证明如下:
由
（1）可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH（图略）,由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,
可得DF⊥平面AHE.
∵AE⊂平面AHE,∴DF⊥AE.
又DF∩A1D=D,
∴AE⊥平面DFA1,
即AE⊥平面DFG.
5.解
（1）∵D,E分别是AB,BC边的中点,
∴DEAC,DE⊥BC,DE=1.
依题意,DE⊥EF,BE=EF=2,
∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF,
∵DE⊂平面ACED,
∴平面ACED⊥平面CEF.
作FM⊥EC于M,
则FM⊥平面ACED,
∵∠CEF=60°,∴FM=,
梯形ACED的面积S=（AC+ED）×EC=（1+2）×2=3.
四棱锥F-ADEC的体积V=Sh=×3×.
（2）（法一）如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQAC,
∴NQDE,四边形DEQN是平行四边形,DN∥EQ.
∵EC=EF,∠CEF=60°,
∴△CEF是等边三角形,EQ⊥FC,
又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ,
∴AC⊥EQ,
∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF,
∴DN⊥平面ACF,
又DN⊂平面ADF,
∴平面ADF⊥平面ACF.
（法二）连接BF,
∵EC=EF,∠CEF=60°,
∴△CEF是边长为2等边三角形.
∵BE=EF,
∴∠EBF=∠CEF=30°,
∴∠BFC=90°,BF⊥FC.
∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,
∴AC⊥平面BCF.
∵BF⊂平面BCF,∴AC⊥BF,
又FC∩AC=C,
∴BF⊥平面ACF,又BF⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.
6.
（1）证明取PD的中点N,连接AN,MN,则MN∥CD,且MN=CD,
又AB∥CD,AB=CD,
∴MN∥AB,MN=AB,
∴四边形ABMN是平行四边形,
∴AN∥BM,
又BM⊥平面PCD,∴AN⊥平面PCD,∴AN⊥PD,AN⊥CD,
由ED=EA,即PD=PA,及N为PD的中点,
得△PAD为等边三角形,
∴∠PDA=60°,
又∠EDC=150°,∴∠CDA=90°,
∴CD⊥AD,又AN∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
又CD⊂平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD.
（2）解设四棱锥P-ABCD的高为h,四边形ABCD的面积为S,
则VP-ABCD=Sh=2,
又S△BCD=S,四面体BCDM的底面BCD上的高为,
∴四面体BCDM的体积VBCDM=×S△BCD×Sh=.
7.
（1）解∵PA⊥底面ABCD,
∴PA为此四棱锥底面上的高.
∴V四棱锥P-ABCD=S正方形ABCD×PA=×12×2=.
（2）证明连接AC交BD于点O,连接OE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=OC.
又AE=EP,∴OE∥PC.
又PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,
∴PC∥平面BDE.
（3）解不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.
证明如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.
又PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
∵CE⊂平面PAC,∴BD⊥CE.
8.
（1）证明∵PA⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,∴PA⊥AB,
又底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD,
又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,
又PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,AD=AP,E为PD中点,
∴AE⊥PD,AE∩AB=A,AE⊂平面ABE,AB⊂平面ABE,
∴PD⊥平面ABE.
（2）解四棱锥P-ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O,
由已知BD=
==4,
设M为BD中点,
∴AM=2,OM=AP=1,
∴OA=
==3,
∴四棱锥P-ABCD外接球的体积是πOA3=36π.
9.
（1）证明由题意,点E在底面ABCD的射影在MN上,可设为点P,
同理,点F在底面ABCD的射影在MN上,可设为点Q,则EP⊥平面ABCD,FQ⊥平面ABCD,
∴平面EMP⊥平面ABCD,平面FNQ⊥平面ABCD,
又MN⊂平面ABCD,MN⊂平面EMP,MN⊂平面FNQ,
由结论2:
过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个,
得到E,F,M,N四点共面.
（2）解∵二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°,
∴∠EMP=∠FNQ=60°,
∴EP=EM·sin60°=,
∴三棱锥E-BCF的体积VE-BCF=VABCDEF-VE-ABCD=2××3-×（4×2）×.
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