1997考研数二真题及解析.docx
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1997考研数二真题及解析
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题（本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
（1）
已知f（x）
（cosx）x2
x
0,在x0
处连续,则a
.
a,
x
0
（2）
设y
ln
1
x
则y
.
1
x
2
x0
（3）
dx
.
x（4
x）
（4）
dx
.
0
x2
4x
8
（5）
已知向量组
1（1,2,
1,1）,
2（2,0,t,0）,3（0,
4,5,
2）的秩为2,则t
.
二、选择题（本题共5
小题,每小题
3分,满分15分.每小题给出的四个选项中
只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
）
（1）
设x
0
时,
etanx
ex与xn是同阶无穷小,则n为
（）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
设在区间[a,b]上f（x）
0,f
（x）
0,f
（x）0,记S1
b
（2）
f（x）dx,S2
f（b）（b
a）,
a
S3
1
f（b）]（ba）,则
（
）
[f（a）
2
（A）
S1
S2
S3
（B）
S2
S3
S1
（C）
S3
S1
S2
（D）
S2
S1
S3
（3）
已知函数y
f（x）对一切x满足xf
（x）
3x[f（x）]2
1
ex,若f（x0）
0（x0
0）,
则
（）
（A）f（x0）是f（x）的极大值
（B）f（x0）是f（x）的极小值
（C）（x0,f（x0））是曲线yf（x）的拐点
（D）f（x0）不是f（x）的极值,（x0,f（x0））也不是曲线y
f（x）的拐点
（4）设F（x）
x2
esintsintdt,则F（x）
（）
x
（A）
为正常数
（B）
为负常数
（C）
恒为零
（D）
不为常数
2
x,
x
0
2
（5）设g（x）
x,
x
0,则g[f（x）]为
（）
x
2,
x
f（x）
0
x,
x
0
（A）
2
x2,x0
（B）
2
x2,x0
2
x,
x
0
2
x,
x0
（C）
2
x2,x0
（D）
2
x2,x0
2
x,
x
0
2
x,
x0
三、（本题共6小题,每小题5分,满分30分.）
（1）
求极限lim
4x2
2
x1
x
1.
x
x
sinx
（2）
设y
y（x）由
x
arctant
所确定,求dy.
2y
ty2
et
5
dx
（3）计算e2x（tanx1）2dx.
（4）
求微分方程（3x2
2xy
y2）dx（x2
2xy）dy
0的通解.
（5）
已知y1xex
e2x,y2
xex
ex,y3
xex
e2x
ex是某二阶线性非齐次微分方程
的三个解,求此微分方程.
1
1
1
（6）已知A0
1
1
且A2
AB
E,其中E是三阶单位矩阵
求矩阵B.
0
0
1
四、（本题满分8
分.）
2x1
x2
x3
1
取何值时,方程组
x1
x2
x3
2无解,有惟一解或有无穷多解？
并在有无穷
4x1
5x2
5x3
1
多解时写出方程组的通解.
五、（本题满分8
分）
设曲线L的极坐标方程为rr（）,M（r,）为L上任一点,M0（2,0）为L上一定点,
若极径OM0、OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一
半,求曲线L的方程.
六、（本题满分8分）
设函数f（x）在闭区间
[0,1]上连续
在开区间
（0,1）内大于零
并满足
xf（x）
f（x）
3ax2
（
a
为常数
）,
又曲线
y
f（x）与
x
1,y
0所围成的图形
S的面积值为
2,求函数
2
yf（x）,并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.
七、（本题满分8分.）
已知函数
f（x）连续,且limf（x）
2,设（x）
f（xt）dt,求
（x）,并讨论
（x）的
1
x0
x
0
连续性.
八、（本题满分8分）
就k的不同取值情况,确定方程xsinxk在开区间（0,）内根的个数,并证明你
22
的结论.
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题（本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.）
1
（1）【答案】e2
【解析】由于f（x）在x0处连续,故
f（0）limf（x）
x0
lncosx
limex2
x
0
sinx
lim
x
02xcosx
e
lnf（x）
lime
ln（cosx）x2
x2lncosx
lime
lime
x0
x
0
x
0
limlncosx洛必达
1
（sinx）
limcosx
2x
e
x0
x2
x0
e
1
e2
【相关知识点】
1.函数y
f（x）在点x0连续：
设函数f（x）在点x0的某一邻域内有定义
如果lim
f（x）
f（x0）,则称函数
f（x）在点
x
x0
x0连续.
2.如果函数在x0处连续,则有limf（x）
lim
f（x）
f（x0）.
x
x0
xx0
（2）【答案】
3
2
按照复合函数求导法则具体计算如下：
【解析】题目考察复合函数在某点处的高阶导数
y
1
ln（1
x）
ln（1
x2）
2
y
1（
1
1
2x2）
1
x）
x
2,
2
1
x
x
2（1
1
x
y
1
1
x2
y
3
.
2（1
x）
2
（1
2
）
2
x0
2
x
【相关知识点】
1.复合函数求导法则：
如果ug（x）在点x可导,而y
f（x）在点u
g（x）可导,则复合函数y
fg（x）
在点x可导,且其导数为dy
f（u）
g（x）或dy
dy
du.
dx
dx
du
dx
（3）【答案】arcsinx
2
2
C或2arcsin
x
C
2
【解析】题目考察不定积分的计算
分别采用凑微分的方法计算如下：
dx
d（x
2）
arcsinx2
方法1：
原式=
2）2
2
C.
4
（x
1
x2
）
2
2
（
2
x
dx
dx
d
x
方法2：
原式
2
2
2arcsin
2
2
C.
x4（x）
4（x）
2
1（x）2
2
2
（4）【答案】
8
【解析】题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下：
dx
1
d（x2）
原式
2
04（x2）2
2
0
x2
2
1
（
）
2
1
x
2
1
（
）
.
2
arctan
2
8
2
0
2
4
（5）【答案】3
【解析】方法1：
利用初等变换.
以1,2,3为行构成34矩阵,对其作初等变换：
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
A
2
2
0
t
0
0
4
t2
2
3
0
4
5
2
0
4
5
2
3
2
1
1
2
1
1
0
4
t
2
2,
0
0
3
t
0
1
因为rAr2
3
2,所以3t0,t3.
方法2：
利用秩的定义.
由于r
应有
1
2
3
1
2
3
rA2,则矩阵A中任一三阶子行列式应等于零.
1
2
1
1
2
0
t
0
0
4
5
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
0
t
0
4
t2
0
4t20,
0
4
5
0
4
5
0
0
3
t
解得t3.
方法3：
利用线性相关性.
因为r
1,
2,3
rA
2,故
1,2,3线性相关,
以
1T,2T,3T组成的线性齐次方
程组
1Tx1
2Tx2
3Tx3
BX
0有非零解,因
1
2
0
B
1T,
2T,
3T
2
0
4
1
t
5
1
0
2
1
2
0
2
1
2
1
2
4
3
t2
3
1
0
4
4
2
4
1
1
4
2
2
0
t2
5
0
2
2
故BX
0有非零解
t
3
.
1
2
0
0
1
1
0
0
t3
0
0
0
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）【答案】（C）
【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下：
lime
tanx
x
tanxx
x
n
e
limex
e
x
n
1
x0
x0
tanx
x
洛必达
sec2
1
tan2
xn3
x2
1
lim
xn
lim
lim
lim
x0
x0nxn1
x0nxn1
x03x2
3
etanx
ex与x3同阶,故应选（C）.
（2）【答案】（D）
【解析】方法1：
用几何意义.由f（x）0,f（x）0,f
上半平面的一段下降的凹弧,y
f（x）的图形大致如右图.
S1
b
f（x）dx是曲边梯形ABCD的面积；
a
（x）0可知,曲线yf（x）是
y
D
S2
f（b）（b
a）是矩形ABCE的面积；
S3
1[f（a）
f（b）]（b
a）是梯形ABCD的面积.
E
C
A
B
2
a
bx
由图可见S2
S1S3,应选（D）.
O
方法
2：
观察法.因为是要选择对任何满足条件的
f（x）都成立的结果,故可以取满足条件的
特定的f（x）来观察结果是什么
.例如取f（x）
1
x
[1,2],则
x2
S1
2
1
dx
1
1
5
S2
S1S3.
x2
S2
S3
8
1
2
4
【评注】本题也可用分析方法证明如下：
至少存在一个点
使
b
f（）（ba）,a
b成立,再由
由积分中值定理
f（x）dx
a
f（x）0,所以f（x）是单调递减的,故f（）
f（b）,从而
b
S1
f（x）dxf（）（b
a）
f（b）（ba）
S2.
a
为证S3
S1,令（x）
1
f（a）]（xa）
[f（x）
2
（x）
1
f（x）（x
a）
1（f（x）
2
2
x
f（t）dt,则（a）0,
a
f（a））f（x）
1
f（x）（x
a）
1（f（x）
f（a））
2
2
1
f（x）（x
a）
1f
（）（x
a）
（a
x）（拉格朗日中值定理）
2
2
1（f（x）
f（
））（x
a）,
2
由于f（x）0
所以f（x）是单调递增的,故f
（x）
f
（
）,
（x）0,即（x）在[a,b]上
单调递增的.由于
（a）
0,所以
（x）
0,x
[a,b],从而
1
b
（b）
[f（b）f（a）]（ba）
f（t）dt
0,
2
a
即S3S1.因此,
S2
S1
S3,应选（D）.
如果题目改为证明题
则应该用评注所讲的办法去证
而不能用图证.
【相关知识点】
1.积分中值定理：
如果函数
f（x）在积分区间[a,b]上连续,则在（a,b）上至
b
f（x）dx
f（
）（b
a）（a
b）.这个公式叫做积分中值
少存在一个点
使下式成立：
a
公式.
2.拉格朗日中值定理：
如果函数f（x）满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间a,b内可导,
那么在a,b内至少有一点（ab）,使等式f（b）f（a）f（）（ba）成立.
（3）【答案】（B）
【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：
由f（x0）0知xx0为f（x）的驻点.把xx0代入恒等式x0f（x0）1ex0,即
1
ex0
故f（x0）
0,因此驻点x
x0为极小值点.应选
f（x0）
.由于分子、分母同号
x0
（B）.
（4）【答案】（A）
【解析】由于函数esintsint是以2为周期的函数,所以,
x
2
sintdt
2
sintdt,
F（x）
esint
esint
x
0
F（x）的值与x无关.不选D,（
周期函数在一个周期的积分与起点无关
）.
2
sintdt的值有多种方法.
估计
esint
0
方法1：
划分esintsint取值正、负的区间.
2
esint
sintdt
esintsintdt
2
F（x）
esintsintdt
0
0
0
esintsintdt
esinu（
sinu）du
0
0
（esint
esint）sintdt
当0
t
时,sint0
esint
esint
0,所以F（x）
0.选（A）.
方法2：
用分部积分法.
2
esint
sintdt
2
F（x）
esintdcost
0
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