1 集合与绝对值不等式.docx
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1集合与绝对值不等式
集合
1.集合
点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.一般用大括号表示集合。
例如“汽车，飞机，轮船”等交通运输工具组成的集合可以写成｛汽车、飞机、轮船｝为了方便.我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C……表示集合，例如A＝｛a,b,c｝。
2.集合中的元素
集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：
北京、上海、天津、重庆.
集合中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c，…表示.
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a
A.
3.集合中元素的特性
（1）确定性
对于集合A和某一对象x，有一个明确的判断标准是x∈A，还是x
A，二者必成其一，不会模棱两可.
例如：
“著名的数学家”，“漂亮的人”这类对象，一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准.
（2）互异性
对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；因此，集合中的相同元素只能算作一个。
如方程x2-2x+1=0的两个等根，x1＝x2＝1，用集合记为｛１｝，而不写为｛1，1｝，如果把集合｛１，２，３｝，｛2,3,4｝的元素合并起来构成一个新集合，那么新集合只有1，2，3，4这四个元素.
（3）无序性
集合中的元素是不排序的。
如集合｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合，但实际上在书写时还是按一定顺序书写的，如｛-1，0，1，2｝而不写成｛0，1，-1，2｝，这样写不方便，其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”.
4.集合表示法
（1）列举法 将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内.
（2）描述法 用描述表示的集合，对其元素的属性要准确理解.
例如，集合｛y｜y=x2｝表示函数y值的全体，即｛y｜y≥0｝；集合｛x｜y＝x2｝表示自变量x的值的全体，即｛x｜x为任一实数｝；集合｛x,y｜y=x2｝表示抛物线y=x2上的点的全体，是点集（一条抛物线）；而集合｛y=x2｝则是用列举法表示的单元素集，也就是只有一个元素（方程y=x2）的有限集.
（3）图示法 为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个集合。
例如，如图可表示集合｛1,2,3,4｝
5.特定集合表示法
自然数集（或非负整数集），记作N，自然数集内排除0的集，也称正整数集，记作N*或N+（注意，自然数集包括0）；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；
Z，Q，R等数集内排除0的集，分别表示为Z*（或Z+），Q*（或Q+），R*（或R+）.
6.集合的分类
①有限集：
含有限个元素的集合叫做有限集.例如：
A＝｛1,2,3,4｝
②无限集：
含有无限多个元素的集合叫做无限集.例如：
集合N+
③空集：
不含任何元素的集合称为空集.例如：
集合方程x2+2x+3=0在实数范围内的解集.
典型例题
题型一：
集合概念的理解及表示方法
例：
下列对象能否构成一个集合?
指出其中的集合是无限集还是有限集?
并用适当的方法表示出来.
（1）直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；
（2）高一数学课本中所有的难题；
（3）方程x4+x2+2＝0的实数根；
（4）图甲中阴影部分的点（含边界上的点）.
图甲 图乙
解：
（1）是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.
可用两种方法表示这个集合：
描述法：
｛（x,y）｜y＝x｜｝；
图示法：
如图乙中直线l上的点.
（2）不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.
（3）是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：
或者｛x∈R｜x4+x2+2=0｝.
（4）是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分（包括边界上的点）.
图甲本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合；
｛（x,y）｜-1≤x≤2，-
≤y≤2，且xy≤0｝
评析 只要对象是确定的，看作一个整体，便形成一个集合，否则，不然.
例：
下面六种表示法：
（1）｛x＝-1，y=2｝，
（2）｛（x,y）｜x=-1,y=2｝，（3）｛-1，2｝，（4）（-1，2），（5）｛（-1，2）｝，（6）｛（x,y）｜x＝-1或y＝2｝，能正确表示方程组
的解集的是：
A.
（1）
（2）（3）（4）（5）（6） B.
（1）
（2）（4）（5）
C.
（2）（5） D.
（2）（5）（6）
分析 由于此方程组的解是
因而写成集合时，应表示成一对有序实数（-1，2）.
解：
因为｛（x,y）｜
＝｛（x,y）｜
＝｛（-1，2）｝故选C.
评析 集合
（1）既非列举法，又非描述法.集合（3）表示由-1和2两个数组成的集合.（4）是一个点.（6）中的元素是（-1，y）或（x,2），x,y∈R是一个无限集.以上均不合题意.
题型二：
元素与集合关系的考查
例：
用符号∈或
填空.
（1）3.14 Q，0 N，
Z，（-1）0 N，0
（2）2
｛x｜x＜
＝，3
｛x｜x＞4｝，
+
｛x｜x≤2+
｝；
（3）3 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝，5 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝；
（4）（-1，1） ｛y｜y＝x2｝,（-1,1） ｛（x,y）｜y＝x2｝
解：
（1）∈、∈、
、∈、
（空集不含任何元素）；
（2）2
＝
＞
，3
＝
＞
＝4，
+
＝
＝
＜
＝
＝2+
，故填
、∈、∈；
（3）令n2+1=3，n＝±
n
N.令n2+1＝5，
n＝±2，2∈N，故填
、∈；
（4）
，∈.（因为｛y｜y＝x2｝中元素是数而（-1，1）代表一个点）
题型三：
集合表示方式的转换
例：
用另一种形式表示下列集合
（1）｛绝对值不大于3的整数｝
（2）｛所有被3整除的数｝
（3）｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝
（4）｛x｜（3x-5）（x+2）（x2+3）＝0，x∈Z｝
（5）｛（x,y）｝｜x+y=6，x∈N+，y∈N+｝
解：
（1）绝对值不大于3的整数｝还可以表示为｛x｜｜x｜≤3，x∈Z｝，也可表示为｛-3，-2，-1，0，1，，2，3｝；
（2）｛x｜x＝3n，n∈Z｝；（说明：
｛被3除余1的整数｝可表示为｛x｜x=3n+1,n∈Z｝）；
（3）∵x＝｜x｜，∴x≥0，又∵x∈Z且x＜5，∴｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝还可以表示为｛0,1,2,3,4｝
（4）｛-2｝（注意x∈Z｝）
（5）｛（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）｝
例5：
用另一种形式表示下面的集合：
｛x｜（2x-1）（x+2）（x2+1）=0,x∈Z｝.、
错误解答 集合的元素x是由方程（2x-1）（x+2）（x2+1）＝0的根组成的，解方程，得x＝
，x＝-2，x＝
∴ 原集合可以表示为｛
，-2，
｝
错误存在于解方程的过程和最后的集合表示当中，解方程时应注意到x2+1≠0，x∈R，所以，方程的根为x＝
，x＝-2.注意到已知条件x∈z
R，才不致造成错误.
因为
Z 所以，
正确答案应为｛-2｝或写作｛x｜x=-2｝.
题型四：
集合元素唯一性的考查
例：
在数集
中，实数x的取值范围是------------------------
思考：
例：
已知A＝｛x｜x＝a+b
，a,b∈Z｝，分析判断下列元素x与集合A之间的关系：
（1）x＝0，
（2）x＝
，（3）x＝
.
分析 x与A的关系只有x∈A和x
A两种.判断x是不是A中的元素，即观察x能否写成a+b
（a,b∈Z）的形式.
解：
（1）因为0＝0+0×
，所以0∈A.
（2）因为x＝
＝
-
，无论a、b为何整数，a+b
＝
-
不能成立，所以x＝
A.
（3）因为x＝
＝
＝1+2
，
所以
∈A.
评析 研究元素与集合的关系，一要注意集合的表示方法（列举法或描述法），二要准确判断元素的属性.
例：
已知集合A＝｛p｜x2+2（p-1）x+1=0,x∈R｝，求一次函数y＝2x-1，x∈A的取值范围.
分析 关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2（p-1）x+1=0有实数根.
解：
由已知，Δ＝4（p-1）2-4≥0.得p≥2或p≤0.所以A＝｛p｜p≥2或p≤0｝.因为x∈A，所以x≥2或x≤0，所以2x-1≥3或2x-1≤-1，所以y的取值范围是｛y｜y≤-1或y≥3｝.
子集全集补集
1.子集
（1）集合与集合之间的“包含”与“相等”关系
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，记作
A
B（或A
B）；
B
A（或B
A）；
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B.即若A
B，又B
A，则A＝B.
（2）子集和真子集
①若A
B（或B
A），则A是B的子集.
空集是任何集合的子集，即
A.
任何一个集合是它本身的子集.即A
.
②对于两个集合A与B，若A
B，并且A≠B，则A是B的真子集，记作
A
B（或B
A）.
空集是任何非空集合的真子集.
③若A
B，B
C，则A
C；
若A
B，B
C，则A
C.
2.集合相等的概念
教材中是用“A
B且B
A，则A＝B”来定义的，实际上也可以说当集合A与B的元素完全相同时，则A＝B.教材中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等的方法：
即欲证A＝B，只需证A
B与B
A都成立即可.
3.全集
如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，由U来表示.全集具有相对性.
4.补集
（1）补集是以“全集”为前提而建立的概念，而全集又是相对于所研究的问题而言的一个概念；只要包含研究问题的全体元素的集合都可作为全集.
（2）所谓CUA＝｛x｜x∈U但x
A，A
U｝就是说从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合就是CUＡ.
（3）由定义有如下关系：
CU（CUA）＝A，CUU＝
，CU
＝U
典型例题
题型一：
集合间相互关系判定
例:
设全集为R，集合A＝｛x｜｜x｜＜1＝，B＝｛x｜
＞0｝则（ ）
A.A
B B.B
A C.CRA
B D.A
CRB
解：
解不等式｜x＜1得A＝｛x｜-1＜x＜1＝，
解不等式
＞0得B＝｛x｜x＞2｝.∴CRB＝｛x｜x≤2｝
∴A
CRB，选D.
评析 此题是基础题，主要考察了学生对子集、补集的概念及运算的认识.
题型二：
集合个数的计算
例:
已知集合M
｛1，2，3，4｝，且M中至多有二个奇数，求这样的集合M的个数.
分析 必须明确题意：
（1）“M
｛1，2，3，4｝”，说明M是｛1，2，3，4｝的子集；
（2）“M中至多有二个奇数”，说明集合M可以分为四类：
第一类是空集；第二类是不含奇数的集合；第三类是只含一个奇数的集合；第四类是含有二个奇数的集合.
明确以上二点，问题就能迎刃而解了.
解：
第一类：
；
第二类：
｛２｝，｛4｝，｛2，4｝；
第三类：
｛1，2｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛3，4｝，｛1｝，｛3｝，｛1，2，4｝，｛3，2，4｝；
第四类：
｛1，2，3｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝，｛1，3｝.
∴这样的集合M共有16个.
例：
已知集合
，则包含
的S的子集共有几个？
题型三：
补集与全集关系考查
例：
已知全集S＝｛1，3，x3+3x2+2x｝，A＝｛1,｜2x-1｜｝，如果CSA＝｛0｝，则这样的实数x是否存在?
若存在，求出x；若不存在，请说明理由.
分析 必须抓住问题的关键：
CSA＝｛0｝.它有两层意思，即0∈S，但0
A.这样，解题思路就清楚了.
解：
∵CSA＝｛0｝，
∴0∈S，但0
A.
∴x3+3x2+2x=0
x（x+1）（x+2）=0
即 x1=0，x2＝-1，x3＝-2.
当x＝0时，｜2x-1｜＝1，A中已有元素1；
当x＝-1时，｜2x-1｜＝3，3∈S；
当x=-2时，｜2x-1｜＝5，但5
S.
∴实数x的值存在，它只能是-1.
评析 解答此题时，我们由CSA＝｛0｝，求出x＝0或x=-1或x=-2之后，验证其是否符合题目的隐含条件A
S是很必要的，否则就会误认为x=0，或x=-2也是所求的实数x，从而得出错误的结论.集合概念及其基本理论是近、现代数学最基本的内容之一。
题型四：
利用集合相等的概念解题
例：
已知集合A＝｛m、m+d、m+2d｝，集合B＝｛m、mq、mq2｝，其中m≠0且A＝B，求q的值.
分析 根据两集合相等的定义和集合的属性，寻求方程，解出p的值.
解：
假设
则由
（2）-
（1）得：
d=m（q2-q），代入
（1）中，整理得q2-2q+1=0，即q=1，于是m=mq=mq2，与集合元素的互异性矛盾.
所以假设不成立；只能有
解之得q1＝-
，q2＝1（舍），所以q＝-
.
评析 在确定含参数集合问题时，一方面要根据条件，寻求等式；另一方面要注意充分利用集合元素的确定性、互异性、无序性，求参数q的值.
题型五：
利用集合包含概念求解字母参数范围
例:
关于实数的不等式｜x-
｜≤
与x2-3（a+1）x+2（3a+1）≤0（a∈R）的解集分别为A与B，求使A
B的a的取值范围.
解法1：
由已知，A＝｛x｜2a≤x≤a2+1｝.
设f（x）＝x2-3（a+1）x+2（3a+1）,A
B的充分必要条件是f（x）=0的根分别在区间（-∞，2a］与［a2+1,+∞］，于是
，解得1≤a≤3，或a=-1.
∴1≤a≤3，或a＝-1.
∴a∈｛a｜1≤a≤3，或a=-1｝.
解法2：
由已知，A＝｛x｜2a≤x≤a2+1｝，
∴a2+1≥2a恒成立，∴A≠.
若3a+1≥2，则B＝｛x｜2≤x≤3a+1｝.
若3a+1≤2，则B＝｛x｜3a+1≤x≤2｝.
Ａ
B的充分必要条件是：
或
解得1≤a≤3，或a＝-1.
∴a∈｛a｜1≤a≤3，或a＝-1｝.
交集并集
1.交集
由所有既属于集合A又属于集合B的元素所成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B｝.
可这样理解：
交集A∩B是由两集合A与B的“公有”元素所组成的集合.用韦恩图表示如图.
易知：
（1）若两集合A与B无公共关系，则A∩B＝
；
（2）A∩B
A，A∩B
B；
（3）A∩A＝A，A∩
＝
，A∩B＝B∩A；
（4）若A
B，则A∩B＝A；若A∩B＝A，则A
B；
（5）设U为全集，则A∩（CUA）＝
.
2.并集
由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B｝.
实际上，并集A∪B是由两集合A与B的“所有”元素组成的集合.用韦恩图表示如图.
易知：
（1）A
A∪B，B
A∪B；
（2）A∪A＝A，A∪
＝A，A∪B＝B∪A；
（3）若A
B，则A∪B＝B；若A∪B＝B，则A
B；
（4）设U为全集，则A∪（CUA）＝U.
3.德摩根（DeMorgan）法则
CU（A∩B）＝（CUA）∪（CUB）；CU（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）.
该法则可借助韦恩图帮助理解，其证明不作要求.
4.用文氏图表示交集、并集、补集有关关系
如果A
U，B
U，利用文氏图表示下面关系：
CU（A∩B）＝（CUA）∪（CUB）
CU（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）
典型例题
题型一：
交并集元素个数问题
例：
设集合A＝｛x∈Z｜-10≤x≤-1｝，B＝｛x∈Z｜｜x｜≤5｝，则A∪B中的元素个数是（ ）
A.11 B.10 C.16 D.15
分析 符号“∪”是“并集”，即指由A和B中元素合并在一起组成的集合，相同元素只计一次.用列举法知，A＝｛-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1｝，B＝｛-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5｝，因此，A∪B＝｛-10，-9，…，5｝，共含16个元素.∴选C.
例：
已知集合A和集合B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求A∪B的元素个数.
解：
设A∪B＝U，
因为 card（A）＝12，card（B）＝12，且card（A∩B）＝4，
所以 card（A∪B）＝card（A）+card（B）-card（A∩B）
＝12+12-4
＝20
说明 符号card（A）表示集合A中元素的个数，类似card（A∩B）等含义相同，它们之间有公式：
card（A∪B）＝card（A）+card（B）-card（A∩B）.
题型二：
图形法应用
例：
试证A∪（A∩B）＝A.
证明：
A∪（A∩B）＝（A∪A）∩（A∪B）
＝A∩（A∪B）＝A.
说明 ∵A
A∪B
∴ A∩（A∪B）＝A.
例：
在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知
（1）某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；
（2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；（4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题?
分析 本题的条件较多，利用文氏图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如右图，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b.
解：
根据已知条件
（1），
（2），（3），（4）可得
a+b+c+d+e+f+g＝25,①
b+f＝2（c+f）,②
a＝d+e+g+1,③
a＝b+c.④
②代入①得a+2b-c+d+e+g＝25,⑤
③代入⑤得2b-c+2d+2e+2g＝24,⑥
④代入⑤得3b+d+e+g＝25,⑦
⑦×2-⑥得4b+c＝26.⑧
由于c≥0，所以b≤6
.
利用②、⑧消去c，得f＝b-2（26-4b）＝9b-52.
因为f≥0，所以b≥5
.
则有b＝6，即只解出第二题的学生有6人.
题型三：
应用集合运算性质求解
例：
已知A＝｛x｜x2+x-6＝0｝,B＝｛x｜mx+1＝0｝，且B∪A＝A，求实数m的取值范围.
错解 ∵A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3，2｝，且B∪A＝A，
∴B＝｛-3｝，或B＝｛2｝，即-3m+1＝0，或2m+1＝0.
故m∈｛
-
｝.
分析 问题错在对集合B考虑的不全面，B＝｛x｜mx+1＝0｝代表方程mx+1＝0的解集，可以有一解，也可无解.而无解的情况是B＝
，这种情况又恰恰满足B∪A＝A的题设条件.错的原因有两个，其一是忽略了mx+1＝0会无解；其二是忽略了A∪B＝A
B
A及
是任何集合的子集.
正确解：
∵A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3,2｝,且B＝｛x｜mx+1＝0｝，B∪A＝A，
∴B＝｛-3｝，B＝｛2｝，或B＝，即-3m+1＝0，2m+1＝0，或m＝0.
故实数m∈｛
-
，0｝.
例：
填空题
（1）已集集合A＝｛y｜y＝x2-6x+6,x∈R｝,B＝｛y｜y＝-x2+6x-6,x∈R｝，则A∩B＝ .
（2）已知集合A＝｛（x,y）｜y＝x2-6x+6,x∈R｝，B＝｛（x,y）｜y＝-x2+6x-6,x∈R｝，则A∩B＝ .
（3）已知集合A的元素满足方程4a2+
＝4a-1，a,b∈R，集合B＝｛x｜x（x2-1）（4x2-1）＝0｝.则A∩B＝ .
点拨：
要特别注意分清楚每小题里的集合中元素是什么?
它们分别有什么特征?
（1）中集合A，B的元素都是函数y，它们分别表示两个函数的值域；
（2）中集合A，B的元素都是直角坐标系中点的坐标，它们分别表示两条抛物线上的点的集合；
（3）中集合A的元素要满足一个二元方程，它应该表示点（a,b）的集合；集合B中元素要满足一个一元方程，它表示这个方程的根的集合.
解：
（1）由A知，y＝（x-3）2-3≥-3；
由B知,y＝-（x-3）2+3≤3.
利用数轴不难看出：
A∩B＝｛y｜-3≤y≤3｝.
（2）A∩B应该是这两条抛物线的交点，即解方程组
解得方程组有两组解（3+
，0）和（3-
，0）.
∴ A∩B＝｛3+
0｝,（3-
0）｝.
（3）将方程4a2+
＝4a-1配方，得
（2a-1）2+
＝0.
∵ a、b∈R，∴ a＝
且b＝-1.
∴ A＝｛（a,b）｜（
，-1）｝.
解方程 x（x2-1）（4x2-1）＝0，得 x＝0，或x＝±1，或x＝±
.
∴ B＝｛-1，-
，0，
，1｝. ∴ A∩B＝
.
评析 解答第（3）小题，很容易出现下面错误解法，即误认为A＝｛-1，
｝，从而得出A∩B＝｛-1，
｝.应引起我们的重视.
例：
已知集合A＝｛1，3，-x3｝，B＝｛1，x+2｝.是否存在实数x，使得B∪（CSB）＝A?
实数x若存在，求出集合A和B；若不存在，请说明理由.
分析 解答本例的关键是两点：
（1）理解B∪（CSB）＝A的含义；
（2）学会分情况讨论或验证数学问题.
解：
∵ B∪（CSB）＝A，∴ B
A.
（1）若x+2＝3，则x＝1，符合题意；
（2）若x+2＝-x3，则x＝-1，但不合题意.
∴ 当x＝1时，A＝｛1，3，-1｝，B＝｛1，3｝.
含绝对值的不等式解法
1.不等式的性质
（1）a>b
a+c>b+c
（2）a>b,c>0
ac>bc （3）a>b,c<0
ac2.绝对值的意义
｜x｜＝
3.最基本绝对值不等式的解
利用数轴表示不等式的解
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