单招高中数学必备公式大全.docx

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单招高中数学必备公式大全

高中数学必备公式大全

一、集合

1.元素a属于（不属于）集合A记为a∈A（a∉A）.

2.A（BC）=（AB）（AC）.

3.A（BC）=（AB）（AC）.

4.若∀x∈A有x∈B，则有A⊆B（或B⊇A）.

5.若A⊆B,∃x∈B，且x∉A，则有A⇐B.

6.A⊆B,B⊆A⇔A=B.

7.空集是任何集合的子集，即φ⊆A（A为任意集合）；空集是任何非空集合的真子集.

8.含有n个元素的集合有2''个子集，有2''-1个真子集，有2n-2个非空真子集.

9.AB={xx∈A，且x∈B}.

10.AB={xx∈A，或x∈B}.

11.AA=A,Aφ=A;AA=A,Aφ=φ.

12.AB=A⇔B⊆A,AB=A⇔A⊆B.

13.UA={xx∈U，且x⊄A}.

14.U（AB）=（UA）（UB）；U（AB）=（UA）（UB）.

二、数列

⎧S1

（n=1），

⎩

1.数列的通项公式与前n项和的关系an=⎨S

n-Sn-1

（n≥2）.

2.等差数列

n+1n

（1）定义：

a-a=d（n∈N*，d为常数）.

（2）通项公式：

an=a1+（n-1）d.

（3）等差中项：

a，A，b成等差数列⇔2A=a+b（或A=

a+b）.

2

（4）性质：

m+n=k+l，则a+a=a+a（m,n,k,l∈N*）.

mnkl

（5）前n项和：

S

=（a1+an）n=na

+1n（n-1）d.

n212

3.等比数列

（1）定义：

an+1=q（n∈N*,q为非零常数）.

an

（2）通项公式：

an

=aqn-1

1

（3）等比中项：

a，G，b成等比数列⇔G2=ab.

（4）性质：

m+n=k+l，则aa=aa（m,n,k,l∈N*）.

mnkl

（5）前n项和：

Sn

⎧na1

=⎪a（1-qn）

（q=1）,

（q≠1）.

⎪1-q

三、基本成初等函数

1.指数

（1）根式（na）n=a（n∈N*，且n>1）；

=⎧⎪a

⎩

（n为大于1的奇数）,（n为大于0的偶数）.

（2）分数指数幂

m

正分数指数幂：

an=nam（a>0,m,n∈N*，且n>1）；

-m11*

负分数指数幂：

a

n==（a>0,m,n∈N,且n>1）.

an

（3）有理数指数幂的运算性质：

aras=ar+s（a>0,r,s∈Q）；

（ar）s=ars（a>0,r,s∈Q）；

（4）（ab）r=arbr（a>0,b>0,r∈Q）.

有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂aa（a>0,α是无理数）.

2.对数

（1）基本性质

①负数和零没有对数；

②logaa=1,log1=0（a>0,a≠1）.

（2）常用对数log10N记为lgN；自然对数logeN记为lgN.

（3）运算性质

设M>0,N>0,a>0,a≠1，则有

①loga（MN）=logaM+logaN；

②logaN=logaM-logaN；

aa

③logMn=nlogM（n∈R）.

（4）公式

对数恒等式：

alogan=N（N>0,a>0,且a≠1）.

换底公式：

log

b=logcb（a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0）.

c

aloga

1

b

特别地：

logab=log

（a>0,b>0,且a≠1,b≠1）.

a

四、三角函数

1.弧度制下扇形的弧长和面积公式

（1）弧长公式：

l=αr；

（2）扇形面积公式：

S=

1lr.

2

其中l为弧长，r为圆的半径，α为圆心角的弧度数.

2.同角三角函数的基本关系

平方关系：

sin2α+cos2α=1.

商数关系：

tanα=

sinαcosα

（α≠kπ+π

2

k∈Z）.

3.三角函数的诱导公式

sin（k⋅360︒+α）=sinα

sin（-α）=-sinα

cos（k⋅360︒+α）=cosαcos（-α）=cosα

tan（k⋅360︒+α）=tanαtan（-α）=-tanα

sin（90︒±α）=cosαsin（180︒±α）=sinα

cos（90︒±α）=sinαcos（180︒±α）=-cosα

tan（90︒±α）=cotαtan（180︒±α）=±tanα

五、三角恒等变换

1.两角和与差的三角函数、倍角公式

（1）两角和与差的三角函数

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ

tan（α±β）=tanα±tanβ

1tanαtanβ

（2）倍角公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

tan2α=2tanα

1-tan2α

2.积化和差与和差化积公式

（1）积化和差公式

2sinαcosβ=sin（α+β）+sin（α-β）2cosαsinβ=sin（α+β）-sin（α-β）2cosαcosβ=cos（α+β）+cos（α-β）2sinαsinβ=cos（α-β）-cos（α+β）

（2）和差化积公式

sinα+sinβ=2sinα+βcosα-β

22

sinα-sinβ=2cosα+βsinα-β

22

cosα+cosβ=2cosα+βcosα-β

22

cosα-cosβ=-2sinα+βsinα-β

22

3.半角公式

sinα=±

1-cosα

22

cosα=±

1+cosα

22

tanα=±

1-cosα

=1-cosα=sinα

21+cosα

4.辅助角公式

sinα

1+cosα

asinα+bcosα=

sin（α+ϕ）（ab≠0），其中ϕ满足tanϕ=.

a

六、解三角形

1.正弦定理

===2R（R为△ABC外接圆的半径）.

sinAsinBsinC

2.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC.

推论：

cosA=

b2+c2-a2

2bc

cosB=

c2+a2-b2

2ca

a2+b2-c2

cosC=.

2ab

3.三角形面积公式

（1）S∆ABC=2bcsinA=2acsinB=2absinC（A,B,C是△ABC的三角

a，b，c为其所对的边）.

（2）S∆ABC=

p（p-a）（p-b）（p-c）（p=

1

a+b+c）.

2

（3）S∆ABC=2r（a+b+c）（r为三角形内切圆半径）.

七、不等式

1.不等式的性质

（1）a>b⇔b

（2）a>b,b>c⇒a>c；

（3）a>b⇒a+c>b+c；（4）a+b>c⇒a>c-b；

（5）a>b,c>d⇒a+c>b+d；（6）a>b,c>0⇒ac>bc；

（7）a>b>0,c>d>0⇒ac>bd；

（8）a>b>0⇒an>bn（n∈N,n≥2）；

（9）a>b>0⇒>（n∈N,n≥2）.

2.不等式及其解法

（1）一元二次不等式及其解法

∆=b2-4ac

∆>0

∆=0

∆<0

ax2+bx+c>0（a>0）的解集

{xxx2}

（x1

{xx≠-b}

2a

R

ax2+bx+c<0（a>0）的解集

{xx

（x1

∅

∅

（2）分式不等式的解法

f（x）

g（x）

>0（<0）⇔f（x）⋅g（x）>0（<0）；

⎩

f（x）…0（„0）⇔⎧g（x）≠0，

g（x）

⎨f（x）⋅g（x）…0（„0）.

（3）绝对值不等式的解法

⎧f（x）…0，⎧f（x）<0，

①f（x）

⎩，⎩

f（x）

⎧f（x）…0，⎧f（x）<0，

②f（x）>g（x）⇔⎨f（x）>g（x）或⎨-f（x）>g（x）；

⎩，⎩

f（x）>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）.

③f（x）>g（x）⇔[f（x）]2>[g（x）]2.

④形如x-a+x-b

2.重要不等式

（1）a2+b2…2ab.其中a,b∈R，当且仅当a=b时等号成立.

（2）基本不等式：

a+b….其中a,b>0，当且仅当a=b时等号成立.

2

2

（3）11„

+

ab

号成立.

ab„

a+b„

2

.其中a,b>0，当且仅当a=b时等

（4）4ab„（a+b）2„2（a2+b2）.其中a,b∈R，当且仅当a=b时等号成

立.

（5）a2+b2+c2…1（a+b+c）2…ab+bc+ca.其中a,b,c∈R，当且仅

3

当a=b=c时等号成立.

（6）|b+a|…2，当且仅当a=b时等号成立.

ab

八、立体几何

1.空间几何体的侧面积公式

（1）S正棱柱侧=Ch

（2）S

1'（C为底面周长，h'为侧高）

正棱锥侧=2Ch

（3）S圆柱侧=2πrl

（4）S圆锥侧=πrl

（5）S圆台侧=π（r+r'）l

2.空间几何体的表面积公式

（1）S圆柱=2πr（r+l）

（2）S圆锥=πr（r+l）

（3）S圆台

π（r'2+r2+r'l+rl）

（4）

S球

=4πR2

3.空间几何体的体积公式

（1）V

=Sh

（2）V1

柱体

（3）V台体

=1（S++S'）h

3

锥体=3Sh

（4）V圆柱

=πr2h

（5）

V圆锥

=1πr2h

3

（6）V圆台

=1πh（r2+rr'+r'2）3

（7）

V球

=4πR3

3

4.平面的基本性质

公理1：

A∈l,B∈l，且A∈α,B∈α⇒l⊂α.

公理2：

A,B,C∈α,A,B,C∈β，且A，B，C三点不共线⇒α与β重合.公理3：

P∈α，且P∈β⇒αβ=l，且P∈l.

5.空间两直线平行的判定

a//b⎫

⎭

（1）b//c⎬⇒a//c

b⊥α⎬

a⊥α⎫⇒a//b

⎭

（2）

a//α

（3）a⊂β

⎫

⎪⇒a//b

（4）

αβ=b⎪

α//β⎫

⎬

αγ=a⎪⇒a//b

⎭

βγ=b⎪

6.空间两直线垂直的判定

a⊥α⎫

（1）b//α⎬⇒a⊥b

a//b⎫

（2）l⊥a⎬⇒l⊥b

（3）三垂线定理及其

逆定理

7.空间两直线异面的判定方法

（1）反证法；

（2）平面外一点与平面内一点的连线，与平面内不过该点的直线是异面直线.

8.直线与平面平行的判定

⎪

a⊄α⎫

（1）b⊂α⎬⇒a//α

a//b⎪

α//β⎫

（2）a⊂α⎬⇒a//β

9.直线与平面平行的性质

a//β

a⊂α

⎫

⎪⇒a//b

αβ=b⎪

10.平面与平面平行的判定

a⊂β,b⊂β⎫

⎪

a⊥α⎫

（1）ab=P⎬⇒β//α

（2）a⊥β⎬⇒α//β

（3）

⎭

a//α,b//α⎪⎭

β⎬//γ

α//γ⎫⇒α//β

⎭

11.平面与平面平行的性质

α//β⎫

⎬

αγ=a⎪⇒a//b

⎭

βγ=b⎪

12.直线与平面垂直的判定

a⊂α,b⊂α⎫

⎪

a//b⎫

⎭

（1）ab=A

l⊥a,l⊥b

⎬⇒l⊥α

⎪

⎭

（2）a⊥α⎬⇒b⊥α

13.直线与平面垂直的性质

l⊥α⎫

（1）l⊥β⎬⇒β//α

a⊥α⎫

（2）b⊥α⎬⇒a//b

14.平面与平面垂直的判定

l⊥α⎫

⎭

（1）l⊂β⎬⇒β⊥α

（2）二面角的平面角θ=90︒

15.平面与平面垂直的性质

α⊥β,αβ=CD⎫

A∈a,A∈α⎫

⎭

（1）AB⊂α,AB⊥CD⎬⇒AB⊥β

（2）⎬⇒a⊂α

α⊥β,a⊥β⎭

九、直线、圆与方程

1.直线与方程

（1）直线方程

①点斜式：

y-y0=k（x-x0）；

②斜截式：

y=kx+b；

③两点式：

y-y1

=x-x1（x

≠x,y

≠y）；

y-yx-x

1212

④截距式：

2121

+=1（a≠0,b≠0）；

ab

⑤一般式：

Ax+By+C=0（A，B不同时为0）

（2）直线的斜率公式

经过两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式：

k=y2-y1（x≠x）.

x-x12

21

（3）两条直线的位置关系

①l1（y=k1x+b1）与l2（y=k2x+b2）平行：

k1=k2且b1≠b2；

②l1（y=k1x+b1）与l2（y=k2x+b2）垂直：

k1k2=-1；

③l1（A1x+B1y+C1=0）与l2（A2x+B2y+C2=0）平行：

A1=B1≠C1（ABC≠0）；

A2B2C2

222

④l1（A1x+B1y+C1=0）与l2A2x+B2y+C2=0垂直：

A1A2+B1B2=0.

（4）距离公式

①两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）间的距离：

PP=（x-x）2+（y-y）2.特别地，原点O（0,0）与任意一点

122121

P（x,y）的距离OP=.

②点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：

d=.

③两平行直线：

l1:

Ax+By+C1=0和l2:

Ax+By+C2=0间的距离：

d=.

2.圆与方程

（1）圆与方程

①圆的标准方程：

（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心为（a,b），半径为r.

②圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，

圆心为（-,-），半径r=.

222

（2）直线与圆的位置关系

设直线l:

Ax+By+C=0，圆C:

（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心到

直线的距离为d，d=：

d>r⇔直线与圆相离；d=r⇔

直线与圆相切；d

（3）过圆上一点的切线方程

①与圆x2+y2=r2相切于点（x,y）的切线方程：

xx+yy=r2.

0000

00

②与圆（x-a）2+（y-b）2=r2相切于点（x,y）的切线方程：

（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r2.

00

（4）圆与圆的位置关系

设两圆C:

（x-a）2+（y-b）2=r2，C

:

（x-a）2+（y-b）2=r2，圆

心距

d=，则d>r1+r2

⇔两圆相离；d=r1+r2⇔两

圆外切；

r1-r2

⇔两圆内切；

d

⇔两圆内含.

（5）直线被圆所截弦的问题

设直线与圆相交于两点A（x1,y1）,B（x2,y2），则弦AB的长：

①AB=

x-x=

（k为直线AB的

12

斜率）.

②AB=2

（d为弦心距，r为圆的半径）.

3.空间直角坐标系

（1）空间两点间的距离公式

①空间中的任意一点P（x,y,z）与原点的距离：

OP=.

②空间中任意两点P1（x1,y1,z1）,P2（x2,y2,z2）间的距离：

P1P2=

（2）空间线段的中点坐标

在空间直角坐标系中，若A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2），则线段AB的中点坐标是：

（x1+x2,y1+y2,z1+z2）.

222

十、圆锥曲线与方程

1.椭圆的标准方程及几何性质

x2

标准方程：

a2

y2y2

b21（ab0）或a2

x2

b21（ab0）

焦点：

（±c,0）或（0,±c）

离心率：

e=c（0

a

2.双曲线的标准方程及几何性质

x2

标准方程：

a2

y2y2

b21（a,b0）或a2

x2

b21（a,b0）

焦点：

（±c,0）或（0,±c）

ba

渐近线：

y=±

a

x或y=±x

b

离心率：

e=c（e>1,c2=a2+b2）

a

3.抛物线的标准方程及几何性质标准方程：

y2=2px（p>0）

p

焦点：

（,0）

2

焦半径：

MF

=x+p

02

p

准线方程：

x=-

2

4.直线截圆锥曲线的弦长

设弦AB的端点坐标为A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的斜率为k，则

AB=

十一、平面向量

1.向量的概念

（1）向量的基本要素：

大小、方向.

（2）向量的表示：

字母的表示：

AB,a.坐标表示：

a=（x1,y1）

（3）向量的模：

向量的模即向量的大小，记作a.若a=（x1,y1），则

a=.

（4）特殊的向量：

①a=0⇔a=0.②单位向量：

a为单位向量⇔a=1.

③相等向量：

长度相等且方向相同的向量.

设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a=b⇔x1=x2,y1=y2.

2.向量的运算.

（1）向量的加减法

几何运算：

三角形法则或平行四边形法则.

坐标运算：

设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a±b=（x1±x2,y1±y2）.

（2）实数与向量的积

定义：

λa是一个向量，满足λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与

a反向；λ=0时，λa=0.λa=λa.

坐标运算：

λa=λ（x1,y1）=（λx1,y1）

（3）向量的数量积

定义：

a⋅b=abcosθ，其中θ是a与b的夹角，0„θ„π.

坐标运算：

a⋅b=x1x2+y1y2.

3.重要公式

（1）平面向量基本定理：

α=λ1e1+λ2e2，e1，e2不共线