初三数学圆专题综合.docx

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初三数学圆专题综合

圆的综合

（一）

【例1】如图，在0O中，弦AE丄3C于D,BC=6,AD=1,ZBAC=45°

（1）求0O的半径，

（2）求的长.

E

【难度】3星

【解析】第一问利用的是圆周角的度数为圆心角的一半，第二问利用的是垂径定理

E

【答案】

（1）连接BO、CO,作OF丄BC、OG丄AE,VOB=OC,ZBOC=2ZBAC=90P,

（2）9：

OF=-BC=39天打ZOGF=ZOFB=ZGDF=90。

，

2

；•四边形OGDF是矩形,:

・GD=OF=3、:

.AG=AD-DG=7-3=49

•IDE=GE-GD=-AE-GD=4-3=\

2

【巩固】（2010・珠海）如图，AABC内接于0O,AC=4.D是AB边上一点，P是优弧BAC的

中点，连接PA、PB、PC、PD・

（1）当BD的长度为多少时，是以AD为底边的等腰三角形？

并证明；

（2）去BC的中点£,连接PG若冀=2求Q4的长.

【难度】3星

【解析】

（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;

（2）根据相似三角形的知识和垂径定理进行求解.

【答案】

（1）当BD=AC=4时，△EU）是以AD为底边的等腰三角形.

TP是优弧BAC的中点、,

/.PB=PC・

/.PB=PC•

:

.当BD=AC=4，乙PBD=/PCA,APBD环PCA.

:

.PA=PD,即是以AD为底边的等腰三角形・

（2）由

（1）可空口，当血=4时，PD=PA,AD=AB-BD=6-4=2,过点P作PS于E,则AE=1aD=1.

•:

入PAFs/\PCE

CEAFq..CE45—=人•—=—

PCPAPC5

:

.PA=*•

【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.

【例2】（2005・内江）如图所示，G）O半径为2,弦BD=2*,A为BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上,求四边形ABCQ的而积.

【难度】3星

【解析】由A是加的中点，根据垂径定理，可知OF丄BD,且BF=DF吕BD二艮在Rt/\BOF中，利用勾股定理，可求出OF=\,即AF=1,那么，Szd=+xDBxAF=*，而E是AC中点，会出现等底同高的三角形，因而有S咖形=2S,,⑷=2石.

【答案】连接OA交加于点F,连接03,

•••OA在直径上且点A是3D中点

/•€14丄3D,BF=DF=4^在R2BOF中

由勾股定理得OF，=OB2-BF2

rz

••»ABD=—5一=3

'：

点E是AC中点

•••AE=CE

又丁/\ADE知八CDE同高

•£一,

••讥CDE一%ADE

同理S&CBE=SabE

【点评】本題利用了垂径定理、勾股定理，还有等底同商的三角形面枳相等等知识.

【巩固】（2010•南平）如图所示，0O的直径加长为6,弦AC长为2,ZACB的平分线交0O于点D,求四边形ABCD的面积.

【难度】3星【解析】四边形ADBC可分作两部分：

®AABC,由圆周角定理知ZACB=90°,RtMCB中，根扌松勾股定理即可求得直角边的长,进而可根据直角三角形的面积计算方法求出/\ABC的面积；

②AABD,由于CD平分ZACB,则AD=BD,由此可证得是等腰直角三角形.即可根損斜边的长求出两条直角边的长，进而可得到的面积；

上述两个三角形的面积和即为四边形ADBC的面积，由此得解.

【答案】JAB是直径，•••ZACB=ZA£0=9O。

，

在中，AB=6,AC=2f:

.BC=jAB'-AC2=加-廿=4迈:

VZACB的平分线交0O于点D,:

.ZDCA=ZBCD:

:

.AD=DB,:

.AD=BD\

【点评】此题主要考查了圆周角定理•圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合应用能力.

【例3】（2011•肇庆）己知：

如图，/VWC内接于0O,加为直径，ZCBA的平分线交AC干点F,交0O于点D,DF丄AB于点E,且交AC于点P,连接AD・

（1）求证：

ZDAC=ZDBA

（2）求证：

点P是线段AF的中点

（3）若0O的半径为5,AF=—＞求丝的值.

【难度】3星【解析】

（1）根据圆周角定理得出ZDAC=ZCBD,以及ZC7?

D=ZDBA得出答案即可；

（2）首先得出ZA£於=90°,再根据ZDFA+ZDAC=ZADE+ZPDF=9O°9且ZADB=90。

得出"DF="FD,从而得出"=PF;

（3）利用相似三角形的判定得出△FDAs/mqb即可得出答案.

【答案】

（1）•••BD平分乙CBA,

:

.ZCBD=ZDBA,

JZDAC与ZCBD都是CD所对的圆周角，

•••ZDAC=ZCBD,:

.ZDAC=ZDBA:

（2）TAB为直径，•••ZADB=90。

，

VDE丄AB于E,

:

.ZDEB=90。

•••ZADE+ZEDB=ZABD+ZEDB=网,

:

.ZADE=ZABD=^DAP.

•••PD=PA,

VZDM+ZmC=ZADE+ZPDF=90°,JLZADB=90°,

•••"DF="FD,

•••PD=PF9

•••PA=PF,

即：

P是AF的中点：

（3）VZDAI^=ZDBA9ZADB=ZFDA=90°9

:

・MDAs/\ADB、

•AD_AF

15Q

•••在Rt/\ABD中，tanZABD=—^10=-,

即：

tan"肿斗

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理和等腰三角形的性质.根据证明P£）=Q4以及PD=PF,得出答案是解决问題的关键.

【巩固】（2011・宜宾）已知：

在公ABC中，以AC边为直径的0O交于点D，在劣弧ADh取一点E使ZEBC=ZDEC,延长依次交AC于点G=,交©O于H・

（1）求证：

AC丄阳：

（2）若ZABC=45°,OOO0的直径等于10,BD=8,求CE的长.

【难度】3星

【解析】

（1）连接AD9由圆周角定理即可得出ZDAC=ZDEC,ZAPC=90°,再根据直角三角形的性质即可得出结论：

（2）由ZBZM=180°-ZADC=90%ZABC=45。

可求出ZBAD=45°9利用勾股定理即可得出DC的长，再由相似三角形的判定定理与性质可求出CG的长，连接AE由圜周角定理可得出

EG丄AC,进而得出△CEGs/XGAE,由相似三角形的性质即可得出结论.

【答案】

（1）连接AD,

B1）-

JADAC=ADEC,AEBC=ZDEC9

•••ZmC=ZEBC,

IAC是G）O的直径，

•••ZADC=90°,

•••ZDC4+ZZ^4C=90°,

•••ZEBC+Z£）C4=90o,

•••ZBGC=180。

一（ZEBC+ZDG4）=180。

一90°=90°,

•••AC丄BH;

（2）VZBZM=180°-ZADC=90°,ZABC=45°,

•••ZBAD=45°,

•••BD=AD,

VBD=8,

AA£>=8,

IZADC=90°MC=10,

•••DC=>/AC2-AD2=7102-82=6f

•••BC=B£）+ZX?

=8+6=14,

IZBGC=ZADC=90。

ZBCG=ZACD9

:

.ZZBAD=45°9

.CGBC

**DC=ACJ

.CG14

••=—,

610

・・.cg=¥,

连接AE,

IAC是直径，

/.ZAEC=90°,

IEG丄ACf

：

•/\CEGs/\CAE,

.CECG

，e7c=CE*

47

•••EC2=ACCG=yxl0=84,

CE=x/84=2Vn・

【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根扌居题意作出辅助线是解答此题的关键.

【例4】（201b孝感）如图，等边△ABC内接于0O,P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP、过点C作CW〃肿交Q4的延长线于点M・

（1）填空：

ZAPC=度，ZBPC=度：

（2）求证:

△AGW环BCP：

（3）若PA=\,PB=2,求梯形P3CM的而积.

【难度】3星

【解析】

（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；

（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；

（3）利用上题证得的两三角形全等判定APCM为等边三角形，进而求得的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可.

【答案】

（1）ZAPC=60°,ZBPC=60°:

H

（2）•:

CM〃BP、

•••ZBPM+ZyV/=180°,

ZPGW=Z5PC=60°r

•••ZM=180°-ZBPM-（ZAPC+ZBPC）=180。

一120°=60°,•••如=ZBPC=60。

;

（3）JMCM^/\BCP,

:

・CM=CP.AM=BP

XZA/=60°,

•••厶PCM为等边三角形，

:

.CM=CP=PM=\+2=39

作PH丄CM于

在Rt/\PMH中，如PH=30P,

/.PH=N,

2

.・.梯形PBQW的面积为：

l（PB+GW）xP/7=l（2+3）x-^-=l|V3.

【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题.

【巩固】（2011•桂林）如图，在锐角/MBC中，AC是最短边：

以AC中点O为圆心，AC长为直径作OO,交BC于E.过O作OD〃BC交OO于D,连接AE、AD.DC・

（1）求证：

D是AE的中点：

（2）求证：

ZDAO=ZB+ZBAD;

（3）若丄空匚=丄，且AC=4,求CF的长.

S®2

【难度］3星

【解析】

（1）由AC是OO的直径，即可求得OD〃BC,又由AE丄OD,即可证得D是人£的中点：

（2）首先延长OD交于G,则OG〃BC\可得OA=OD,根据等腰三角形的性质，即可求得ZAMO=ZB+ZE4D:

（3）由AO=OC9S/Js皿，即可得孕竺又由MCDsaFCE,根据相似三角

2^£.ACD°

形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF的长.

【答案】

（1）VAC是OO的直径，

•••AE丄BC,

•：

OD〃BC,

:

.AE丄OD,

•••D是AE的中点;

（2）方法一：

如图，延长OD交AB于G,则OG〃BC,

•••ZAGD=AB9

•••ZADO=ZBAD+ZAGD,

又°：

OA=OD、

:

.zdao=zado9

:

.ZDAO=ZB+ZBAD;

方法二：

如图，延长AQ交BCBC于H,

則ZADO=ZAHC9

IZAHC=AB+ZBAD9

:

.zado=zb+zbad9

XVQ4=OD,

•••ZDAO=ZB+^BAD：

（3）VAO=OC9

•C—J_c

••74OCD一3A4CD»

..'cEF二］

•S_2，

J/.OCQ厶

•Sw_i

ZADC=ZFEC=9CP9

•:

zacd=zfce9

:

.MCDs^FCE

£

■■5

:

.CF=2.

【点评】此题考查了垂径定理，平行线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.此题综合性较强，难厦适中，解题的关键是数形结合思想的应用.

【例5】（201b广州）如图1,OO中加是直径，C是0O上一点，ZABC=45°,等腰直角三角形DCE中ZDCE是直角，点D在线段AC上・

（1）证明：

B、C三点共线：

（2）若M是线段BE的中点，N是线段Q的中点，证明：

MNWOM；

（3）

将/\£>CE绕点C逆时针旋转a（0°

若是，请证明：

若不是，说明理由.

【难度】4星

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角为直角得到Z5C4=90°,ZDCE是直角，即可得到

ZfiC4+ZDCE=90o+90o=180o；

（2）连接BD,AE,ON,延长3D交于F,先证明Rt/\BCD竺R2ACE,得到BD=AE,ZEBD=ZCAE,»«JZCAE+ZADF=ZCBD+ZBDC=9（rt即BD丄AE,再利用三角形的中位线的性质得到ON=^BD,OM=^AE,ON//BD,AE//OM,于是有ON=OM,ON丄OM,即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；

（3）证明的方法和

（2）一样.

【答案】

（1）证明：

•••加是直径.

•••Z5C4=90°,

而等腰直角三角形DCE中ZDCE是直角，

:

.ZfiC4+Z£）CE=90o+90o=180o,

:

.B、C、E三点共线:

（2）连接BD,AE9ON9延长BD交AE于F,如图，

VCB=C4,CD=CE

:

.Rt^BCD竺RtMCE,

ABD=AE9ZEBD=ZCAE,

:

.ZCAE+ZADF=ZCBD+ABDC=9^9即BD丄AE9

又TM是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，

：

・ON=LbD,OM=^AE、ON〃BD.AE//OM:

22

:

.ON=OM,ON丄OM,即/\ONM为等腰直角三角形，

•••MN=^2OM；

（3）成立.理由如下：

和

（2）—样，易证得R2BCD岸ReACE、,同里可证丄AE{9AON{M}为等腰直角三角形,从而有

【点评】本題考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质.

【巩固】（2010・三明）正方形ABCD的四个顶点都在OO上，E是OO上的一点.

（1）如图①，若点£在AB上，F是QE上的一点，DF=BE・求证：

Z^ADF^ABE;

（2）在

（1）的条件下，小明还发现线段£）£、BE.AE之间满足等量关系：

DE-BE=^AE.请你说明理由：

（3）如图②，若点E在AD上.写出线段DE、BE,AE之间的等量关系.（不必证明）

【难度］3星

【解析】

（1）中易证AD=AB9EB=DF,所以只需证明ZADF=ZABE9利用同弧所对的圆周角相等不难得出.从而证明全等；

（2）中易证ZVIEF是等腰直角三角形，所以EF=yf2AE,所以只需证明DE-BE=EF即可,由BE=DF不难证明此问题：

（3）类比

（2）不难得出（3）的结论.

【答案】

（1）在正方形ABCD中，AB=AD

IDF=BE,Z1=Z2,

:

.AADF^ABE.

（2）由

（1）有

:

.AF=AE,Z3=Z4.

在正方形ABCD中，ZBAD=90°.

:

.ZBAF+Z3=90。

・

：

•ZE4F+Z4=90°・

:

.ZE4F=90°.

ZSE4F是等腰直角三角形.

•••EF2=AE2+AF2・

•••EF2=2AE2・

•••EF=近AE・

即DE-DF=>J2AE・

•••DE-BE=yflAE・

（3）BE-DE=dE・理由如下：

在BE上取点、F,使BF=DE,连接AF・易证zMDE也△ABF,

:

.AF=AE,ZDAE=ZBAF,

在正方形ABCD中，ZBAD=90°・

:

.ZE4F+ZZMF=90。

.

:

.ZDAE+ZDAF=90°.

:

.ZE4F=90。

.

ZSE4F是等腰直角三角形.

•••ef2=ae2+af2.

•••EF2=2AE2・

•••EF=近AE・

即BE—BF=y/2AE・

：

•be—deWae・

【点评】本題主要考查圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，难度适中.

【例6】（2010・日照）如图，在/\4BC中，AB=AC,以加为直径的0O交AC与£,交BC与D.求证：

（1）D是BC的中点：

（2）ABECcoaADC：

（3）BC2=2ABCE・

B*6C

【难度】3星

【解析】

（1）要证D是BC的中点，已知AB=AC9即证ADLBC即可，根据圆周角定理，初是直径，所以ZADB=90°,即可得证.

（2）欲证ABECsAADC,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即ZAEB=ZAZX?

=90°,此吋，再求另一角对应相等即可.

（3）由△BECs/vipc可证CDBC=ACCE,又D是BC的中点，AB=AC,即可证BC2=2ABCE・

【答案】

（1）•••/W是OO的直径，

:

.ZADB=90%

即AD是底边上的离，

5LVAB=AC9

:

./\ABC是等腰三角形，

•••D是BC的中点;

（2）•:

乙CBE与ZC4D是同弧所对的國周角，

•••ZCBE=ZCAD,

又IZBCE=ZACD9

:

•厶BECs/\aDC;

r\a「

（3）由Z\BECs/\adc,知—=—,

CEBC

即CDBC=ACCE,

ID是BC的中点、,

:

.CD=-BC9

2

又TAB=AC9

:

.CDBC=ACCE=；BCBC=ABCE,

2

即BC"=2ABCE・

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质.识别两三角形相似，除了要掌握定狡外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等.

【巩固】（2009・内江）如图，四边形ABCQ内接于圆，对角线AC与3D相交于点E，F在AC上，AB=AD^ZBFC=ZBAD=2ADFC・求证：

（1）CD丄DF：

（2）BC=2CD・

【难度】3星

【解析】

（1）利用在同圆中所对的弧相等，弦相等，所对的圆周角相等，三角形内角和可证得ZCDF=90%

则CDIDF;

（2）应先找到BC的一半，证明的一半和CD相等即可.【答案】

（1）9：

ab=ad9

•••AB=AD9ZADB=ZABD・

•••ZACB=ZADB,ZACD=ZABD,

•••ZA（M=ZA£）〃=Z/U?

£）=ZACQ・

•••ZADB=（180°-ZBAD）^2=90°-ZDFC.

：

•ZADB+ZDFC=90Q^卩ZACD+ZDFC=90°,

:

.CD丄DF・

（2）过F作FG丄BC,

VZACB=ZADB,

沢ZBFC=ZBAD,

•••ZFBC=ZABD=ZADB=ZACB・

:

.FB=FC・

•••FG平分3C,G为BC中点，ZGFC=；ZBAD=/DFC.

2

•••ZGFC=ZDFC、FC=FC,ZACB=ZACD

•••△FGC^ADFC）.

:

.CD=GC=-BC.

2

•••BC=2DC・

【点评】本题用到的知识点为：

同圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆周角相等，注意把所求角的度数进行合理分割；证两条线段相等，应证这两条线段所在的三角形全等.

【巩固】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O,对角线AC是直径，对角线AC和3D的交点AB=BD,且PC=0・6,求四边形ABCD的周长.

【考点】圆内接四边形,

【难度】4星

【題型】解答

【关键词】

c'P—

【解析】连30并延长交AP于H,则阳丄AD,ACD//BHt——=——，得CD=\MD=2>/2,BOPO

AH=y[i,OH=*,BH=2,AB=y/6,BC=羽,所求四边形的周长为1+2血+的+石.

【答案】1+2>/2+V3+x/6

1.圆内接四边形ABCD.AC丄BD,AC交BD于E,EG丄CD于G,交于F.求证：

AF=BF・

【难度】3星

【解析】证法一：

如图，9：

ZCDB+ZGCE=90°9ZC£G+ZGCE=90°,

•••ZCDB=乙CEG・

久AEAF=ZCDB,ZAEF=ZCEG,:

.ZEAF=ZAEF,

:

.AF=EF9

同理BF=EF・•••AF=BF•

证法二：

如图，过F作阳丄AE于

•：

ZGDE=ZHAF,ZGEC=ZHEF9

•••RtAGEC^RtAAMF,

RtAGEC^RtAHEF・

.AH_HFHE_HF

，eDG"GE1GE^GC9

皿#」、时人pAHDG-GC

两式相除得：

——=・

HEGE2

而GE是RtADEC斜边上的商，:

.GE2=DGGC・

AU

•••一=1,即AH=HE・

HE

又•:

BE丄AE,FH丄AE,

:

•FH〃BE・•••AF=BF・

证法三：

如图，过A作AH丄庖交肪的延长线于连接BH・

Fj~jAp

IRtAAfWsRtAGEC,

ECGE

•・・EH=电竺,

GE

又IBEED=AEEC,

•AEEC•EH_BE

BEEDGE

•••ZHEB=ZDEG,

:

・SBEHsMED,

:

.ZEBH=AEGD=90。

:

.AHBE是矩形.•••AF=BF・

【答案】见解析

2.已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线/的同侧，分别过这两点作/的垂线，垂足为RC,E是BC上一动点，连结AD、AE、DE.且ZA£D=90。

.

（1）如图

（1）,如果AB=6,BC=16,且BE:

CE=1:

3,求AD的长；

（2）如图

（2）,若点E恰为这段圆弧的圆心