系统的能控性与能观性分析及其状态反馈极点配置.docx
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系统的能控性与能观性分析及其状态反馈极点配置
实验报告
课程自动控制原理实验日期12月26日
专业班级姓名学号
实验名称系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置评分
批阅教师签字
一、实验目的
加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；
2、系统的最小实现；
3、进行状态反馈系统的极点配置；
4、研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验内容
1.能控性、能观测性及系统实现
（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,mineral；
（b）已知连续系统的传递函数模型，
，当a分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
（c）已知系统矩阵为
，
，
，判别系统的能控性与能观测性；
（d）求系统
的最小实现。
2.实验内容
原系统如图1-2所示。
图中，X1和X2是可以测量的状态变量。
图1-2系统结构图
试设计状态反馈矩阵
使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:
（1）已知：
K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：
σ%≤20%，ts≤1秒。
（2）已知：
K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：
σ%≤5%，ts≤0.5秒。
状态反馈后的系统，如图1-3所示：
图1-3状态反馈后系统结构图
分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能
指标是否满足设计要求。
三、实验环境
1、计算机1台；
2、MATLAB6.5软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤
1、系统能控性、能观性分析
设系统的状态空间表达式如下：
（1-1）
其中A为n×n维状态矩阵；B为n×m维输入矩阵；C为p×n维输出矩阵；D为p×m维传递矩阵，一般情况下为0。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式（1-2）所示：
（1-2）
式（1-2）中，
表示传递函数阵的分子阵，其维数是p×m；
表示传递函数阵的分母多项式，按s降幂排列的后，各项系数用向量表示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是：
对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u（t），在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x（t0）转移至预期的终端x（t1），则称此状态是能控的。
若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
状态能控性判别方法分为2种：
一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能控性判别式为：
（1-3）
系统状态能观测性的定义：
对于线性连续定常系统（1-1）,如果对t0时刻存在ta，t0，根据[t0,ta]上的y（t）的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。
状态能观测性判别方法也分为2种：
一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能观测性判别式为：
（1-4）
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有（1-2）式所示关系。
已知系统的传递函数阵表述，求其满足（1-2）式所示关系的状态空间表达式，称为实现。
实现的方式不唯一，实现也不唯一。
其中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。
2、状态反馈极点配置
一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。
极点配置有两种方法：
①采用变换矩阵T，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵K；②基于Carlay-Hamilton理论，它指出矩阵状态矩阵A满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式
的值，可以推出增益矩阵K，这种方法推出增益矩阵K的方程式叫Ackermann公式。
五、程序源代码
1.
>>num=[1-1];den=[1102718];[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）;
>>Qc=ctrb（a,b）
Qc=
1-1073
01-10
001
>>rank（Qc）
ans=
3
>>Qo=obsv（a,c）
Qo=
01-1
1-10
-11-27-18
>>rank（Qo）
ans=
3
>>num=[10];den=[1102718];[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）;
>>Qc=ctrb（a,b）
Qc=
1-1073
01-10
001
>>rank（Qc）
ans=
3
>>Qo=obsv（a,c）
Qo=
010
100
-10-27-18
>>rank（Qo）
ans=
3
>>num=[11];den=[1102718];[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）;
>>Qc=ctrb（a,b）
Qc=
1-1073
01-10
001
>>rank（Qc）
ans=
3
>>Qo=obsv（a,c）
Qo=
011
110
-9-27-18
>>rank（Qo）
ans=
2
2.
>>a=[6.666-10.667-0.333;101;012];b=[011]';c=[102];
>>Qc=ctrb（a,b）
Qc=
0-11.0000-84.9920
1.00001.0000-8.0000
1.00003.00007.0000
>>rank（Qc）
ans=
3
>>Qo=obsv（a,c）
Qo=
1.000002.0000
6.6660-8.66703.6670
35.7686-67.4392-3.5528
>>rank（Qo）
ans=
3
3.
>>num=[11];den=[1102718];[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）
A=
-10-27-18
100
010
B=
1
0
0
C=
011
D=
0
>>[Am,Bm,Cm,Dm]=minreal（A,B,C,D）
1stateremoved.
Am=
-17.2017-8.5677
18.56778.2017
Bm=
0.5774
-0.5774
Cm=
1.00001.0000
Dm=
0
4.
（1）
>>A=[-1/110/1;-10];B=[0;1];C=[10];
>>p=[-5+sqrt（-75）;-5-sqrt（-75）]
p=
-5.0000+8.6603i
-5.0000-8.6603i
>>k=place（A,B,p）
k=
8.10009.0000
>>[num,den]=ss2tf（A,B,C,D）
num=
00.000010.0000
den=
1.00001.000010.0000
>>t=0:
0.05:
12;sys=tf（num,den）;step（sys,t）;grid;
>>[num,den]=ss2tf（A-B*k,B,C,D）
num=
0010.0000
den=
1.000010.0000100.0000
>>t=0:
0.05:
12;sys=tf（num,den）;step（sys,t）;grid;
（2）
>>A=[-1/0.051/0.05;-10];B=[0;1];C=[10];
>>p=[-7+sqrt（-51）;-7-sqrt（-51）]
p=
-7.0000+7.1414i
-7.0000-7.1414i
>>k=place（A,B,p）
k=
10.0000-6.0000
>>[num,den]=ss2tf（A,B,C,D）
num=
0020
den=
12020
>>t=0:
0.05:
12;sys=tf（num,den）;step（sys,t）;grid;
>>[num,den]=ss2tf（A-B*k,B,C,D）
num=
00.000020.0000
den=
1.000014.0000100.0000
>>t=0:
0.05:
12;sys=tf（num,den）;step（sys,t）;grid;
六、实验数据、结果分析
1.
（1）系统能观，能控
（2）系统能观，能控
（3）系统能观，能控
2.
系统能观，能控
3.
Am=
-17.2017-8.5677
18.56778.2017
Bm=
0.5774
-0.5774
Cm=
1.00001.0000
Dm=
0
4.
（1）状态反馈前
状态反馈后
（2）状态反馈前
状态反馈后
思考题：
1.输出反馈能使系统极点任意配置吗？
不能，对完全能控的单输入单输出系统，不能采用输出线性反馈来实现闭关系统极点的任意配置。
2.若系统的某个状态不能直接测量，能用什么办法构成全状态反馈？
根据图可得状态观测器方程：
式中，
为状态观测器的状态矢量，是状态x的估计值；
状态观测器的输出矢量；G为状态观测器的输出误差反馈矩阵。
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