答案:
17
22
@以椭圆X+y-—1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为
43
2
解析:
设要求的双曲线方程为X2—
a
222
¥=1(a>0,b>0),由椭圆X+"3—1,得焦点为(±,
0),顶点为(±,0)•
所以双曲线的顶点为(±,0),焦点为(±,0).
所以a—1,c—2,所以b2—c2—a2—3,
所以双曲线标准方程为
2答案:
x2—3—1
双曲线的定义(多维探究)
口角度一利用定义求轨迹方程
已知圆C1:
(X+3)2+y2—1和圆C2:
(X—3)2+y2—9,动圆M同时与圆6及圆
C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为
【解析】如图所示,设动圆M与圆Ci及圆C2分别外切于
|MCi|-|ACi|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,所以
|MCi|-|ACi|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MCi|=|BC2|-|ACi|=2,所以点M到两定点Ci、C2的距离的差是常数且小于
CiC2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与Ci
的距离小),
2
【答案】X2-y=i(xw—i)
8
口角度二利用定义解决“焦点三角形”问题
理2已知Fi,F2为双曲线C:
x2-y2=2的左,右焦点,点P在C上,|PFi|=2|PF2|,则cos/FipF2=
【解析】由双曲线的定义有
|PFi|-|PF2|=|PF2|=2a=2^2,
所以|PFi|=2|PF2|=W2,
则cos/FiPF2=
|PFi|2+|PF2f-|FiF2|2
2|PFi||PF2|
(4返)2+(2问2-423
【答案】3
4
[迁移探究i](变条件)将本例中的条件“|PFi|=2|PF2|”改为“/FiPF2=60°”,则
△FiPF2的面积是多少?
解:
不妨设点P在双曲线的右支上,则|PFi|-|PF2|=2a=W2,
在^FiPF2中,由余弦定理,得
|PF1|2+|PF2|2—|F1F2|21cos/F1PF2==2,
2|PFi|IPF2I
所以PFi||PF2|=8,
1
所以S^^1PF2=2|PF1|PF2|sin6O°=2V3.
[迁移探究2](变条件)将本例中的条件“|PF1|=2|PF2|”改为“弗1-PF2=0”,则
△F1PF2的面积是多少?
解:
不妨设点P在双曲线的右支上,则
|PF1|—|PF2|=2a=2返,由于PF1PF2=0,
所以PF1IPF2,所以在△F1PF2中,有
|PFi|2+|PF2|2=|FiF2|2,
即|PFi2+|PF2|2=16,所以|PFi|PF2|=4,
1
所以saF1pf2=2|pf1|pf2|=2.
口角度三利用定义求解最值问题
22
M3若双曲线X4—y=1的左焦点为F,点
P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则|PF|
+|FA|的最小值是()
C.10
D.12
22
【解析】由题意知,双曲线X—12=1的左焦点F的坐标为(一4,0),设双曲线的右
焦点为B,贝yB(4,0),由双曲线的定义知|PF|+|FA|=4+|PB|+|PA|》4+AB|=4+
寸(4-1)2+(0—4)2=4+5=9,当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等
号.
所以|PF|+|PA|的最小值为9.
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.
⑵在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PFi|—|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PFi|与PF2|的关系.
[提醒]在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线,还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.
2
i.设双曲线X—y=i的两个焦点为Fi,F2,P是双曲线上的一点,且|PFi|:
|PF2|=3:
4,
8
则^PFiF2的面积等于()
A.
B.8^3
D.i^/5
i^3
C.8^5
解析:
选C.依题意|FiF2|=6,|PF2|-|PFi|=2,因为|PFi|:
|PF2|=3:
4,所以|PFi|=6,|PF2|
=8,所以等腰三角形PF1F2的面积S=2X8X§2—毎)=8yf5.
2.AABC的顶点A(—5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是.
解析:
如图,△ABC与内切圆的切点分别为G,E,F.
|CE|=|CF|,
|AG|=|AE|=8,|BF|=|BG|=2,
所以|CA|-|CB|=8—2=6.
2
由双曲线方程x2—y=1可知,a=1,c=3,
8
故F(3,0),Fi(—3,0).
当点P在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF|—|PFi|=2,
所以PF|=|PFi汁2,从而△APF的周长为|AP汁|PF|+|AF|=|AP汁|PFi|+2+AF|.
因为|AF|=p32+(6品2=15为定值,
所以当AP|+|PFi|最小时,
△APF的周长最小.
由图象可知,此时点P在线段AFi与双曲线的交点处(如图
由题意可知直线AF1的方程为y=2寸6x+6^/6,
jy=^/6x+6^/6,由$2V2
[x2-y8=1,
得y2+^6y—96=0,解得y=2*6或y=—级/6(舍去),所以S/apf=S/AFiF—S^PFiF
11
=尹6X6承—[X6X2yJ6=12承.
双曲线的标准方程(师生共研)
2
妙」④(一题多解)
(1)与椭圆x+y2=1共焦点且过点p(2,1)的双曲线方程是()
22
X2.oX2.
A.4—y=1B.^—y=1
222
尙-Vt1D.x2-Vt1
⑵若双曲线的渐近线方程为y=gx,且经过点(4,73),则双曲线的方程为
222
【解析】
(1)法一:
椭圆7+y2=1的焦点坐标是(±3,0).设双曲线方程为^2—*=
4ab
2
1(a>0,b>0),所以4—古=1,a2+b2=3,解得a2=2,b2=1,所以所求双曲线方程是专—
y2=1.
⑵法一:
因为双曲线的渐近线方程为y=gx
所以可设双曲线的方程为X2—4y2=20).
1
法二:
因为渐近线y=-X过点(4,2),而需<2,
【答案】
(1)B
(2)X^—y2=1
规〕律防需
(1)求双曲线标准方程的答题模板
植擔条件判断双曲蜿的焦点在X轴上.还是在y軸上,还是两个址标轴都有可能規据上述判新设标堆方程*或设出含其他待
完系数的方程
根据已知条件,強立方程(组},求出特定系软
(2)
利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
②若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程可设为
③若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为
1(mn<0).
以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程
2.经过点P(3,2羽),Q(—6迄,7)的双曲线的标准方程为
22
答案:
25-75=1
22
xy、22
—+L=1(mn<0)或mx+ny=mn
22
得A5,所以所求双曲线的标准方程为7—y;—1.
520
22
答案:
1-茅1
考点③1
双曲线的几何性质(多维探究)
b>0)的左、右焦点分别为Fi,F2,
S角度一求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长页⑥已知离心率为¥的双曲线C:
予-b2=1(a>0,
M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM丄MF2,O为坐标原点,若OMF2=16,则
双曲线的实轴长是()
B.16
C.84
【解析】由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=上,由题意可知|F2M|=—bC
aV
=b,所以|OM|=#C2—b2=a.由S8MF2=16,可得2ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,|=¥,所以a=8,b=4,c=4寸5,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
【答案】B
口角度二求双曲线的渐近线方程
3HB
(1)(2019武汉调研)已知双曲线C:
mjz-*=1(m>0,n>0)的离心率与椭圆
1的离心率互为倒数,则双曲线C的渐近线方程为()
4x±3y=0
3x±4y=0
B,双曲线左顶点为C,若/ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为()
A.y=±3x
【解析】⑴由题意知,椭圆中a=5,b=4,所以椭圆的离心率-后15
所以双曲线的离心率为、=3所以m=3所以双曲线的渐近线方程为y=芈
=±3x,即卩4x±3y=0.故选A.
⑵如图所示,连接OA,OB,
设双曲线a?
-b7=l(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),贝UC(—a,0),F(—c,0).
11
由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于X轴对称,则/ACO=/BCO=^/ACB=㊁
X120°=60°.
因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO为等边三角形,所以/AOC=60°
因为FA与圆O切于点A,所以OA丄FA,
在Rt△AOF中,/AFO=90°-/AOF=90°-60°=30。
,所以|OF|=2|OA|,即卩c=2a,
所以b=pc2-a2(2a)2—a2=J3a,
22
故双曲线字—b?
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为
y=±bx,l卩y=±3X.
【答案】
(1)A
(2)A
口角度三求双曲线的离心率(或范围)
则双曲线C的离心率为(
D.
V5
B.
A.V2
C.2
B
da/5
【解析】⑴由题意得,双曲线C的渐近线方程为y=±ax,得a=2,又a2+b2=c2,所以心4c2,所以e=a=¥,故选A.
⑵如图,由题意,知以OF为直径的圆的方程为(X—1)+y2=7①,将X2+y2=a2记为
2
②式,①一②得x=a-,则以OF为直径的圆与圆X2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x
c
=0,即e4—4e2+4=0,解得e=72,故选A.
【答案】
(1)A
(2)A
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围):
依据题设条件,将问题转化为关于a,c的等式(或不等式),解方程(或不等式)即可求得.
(2)求双曲线的渐近线方程:
依据题设条件,求双曲线中a,b的值或a与b的比值,进
而得出双曲线的渐近线方程.
的方程.
O为坐标原点.若|P0|=|PF|,则^PFO的面积为()
B.普
D.W2
解析:
选A.不妨设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,所以|OF|=^/6.
又tan/POF=a=¥,所以等腰三角形POF的高h=¥^¥=¥,所以Szpfo=〉{6
2.(2019四省八校双教研联考)已知Fi,F2是双曲线E的左、右焦点,点P在双曲线E
以|PFi|=273c,由双曲线的定义,可得^3c—2c=2a,所以双曲线E的离心率e=-=
故选D.
的垂线与双曲线交于B,C两点.若AiB丄A2C,则该双曲线的渐近线方程为(
y=爭
解析:
选C.
所以AiB=(c+a,
因为AiBIA2C,所以AiBA2C=0,
b2b2
即(c+a)(c—a)—=0,
即c2—a2—》=0,
b4b2
即-=i.
a
所以b2—与=0,故i,
aa
[基础题组练]
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
k>25,
2
所以k<9”是“方程^―+—J=1表示双曲线”的充分不必要条件,故选A.
25—kk—9
解析:
选A.法一:
由题意知,e=a=萌,所以c=75a,所以b=pc2—a2=屆,所以
:
二^/^所以该双曲线的渐近线方程为y=±bx=±7!
x,故选A.
=^3,得a={2,所以该双曲线的渐近线方程为y=拿=±2
X,故选A.
4,则n的取值范围是()
A.(—1,3)
C.(0,3)
B.(—1,73)
D.(0,V3)
解析:
选A.法一:
由题意可知:
c2=(m2+n)+(3m2—n)=4m2,其中c为半焦距,
所以2c=2X|2m|=4,所以|m|=1,
因为方程冷J——=1表示双曲线,
m+n3m—n
所以(m2+n)(3m2—n)>0,
所以—m'vn<3m2,所以—1法二:
因为原方程表示双曲线,且焦距为4,
2
l:
m+n>0,
所以{3m2—n>0,
Im2+n+3m2—n=4,
2
rm+n<0,
或{3m2—n<0,
1—(3m2—n)—(m2+n)=4,
由①得m2=1,n€(—1,3).②无解.故选A.
22
4.若双曲线C1:
y—匚
22
8=1与C2:
拿一*=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的
焦距为4近,则b=(
C.6
解析:
选B.由题意得,b=2?
b=2a,C2的焦距2c=4^/5?
c=\/a27b2=2^5?
b=4,
a¥
故选B.
22
5.(一题多解)(2019开封模拟)过双曲线^2—占=1(a>0,b>0)的左焦点ab
x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交双曲线于点P,若E为线段FP
F(—c,0)作圆O:
的中点,则双曲线
的离心率为()
A血
B.2
的中点,所以|OE|=JPF'|,又|OE|=a,所以|PF|=2a,根据双曲线的性质,|PF|—|PF'=2a,
222222
所以|PF|=4a,所以|EF|=2a,在Rt△DEF中,|OE|2+|EF|2=|OF|2,即卩a2+4a2=c2,所以e=75,故选A.
法二:
连接OE,因为|OF|=c,|OE|=a,OElEF,所以|EF|=b,设F为双曲线的右焦
点,连接PF',因为O,E分别为线段FF',FP的中点,所以|PF|=2b,|PF'|=2a,所以|PF|
—|PF'=2a,所以b=2a,所以e^J1+
C.2^/3
所以|MN|=V3|OM|=3,故选B.
曲线C的方程为x2-y4=1故选D.
22
&(2019河北邯郸联考)如图,F1,F2是双曲线C:
予—古=1(a>0,b>0)的左、右两个
焦点,若直线y=x与双曲线C交于P,Q两点,且四边形PFiQF2为矩形,则双曲线的离心
率为(
解析:
选D.由题意可得,矩形的对角线长相等,将直线y=x代入双曲线C方程,可得
切线FM(切点为M),交y轴于点P,若PM=2MF,则双曲线的离心率为()
C.V3
解析:
选B.设P(0,3m),由PM=2mF,可得点M的坐标为身c,m)因为OM丄PF,
所以m如=—1,所以m2=|c2,所以皿影土寸2”)由|OM|2+|MF|2=OF|2,|OM|=a,3C
of|=C得,a2+gj+号=C2,a2=|c2,所以e=;=芈,故选B.
解析:
选A.由题意可知Fi(—C,0),设A(0,yo),因为A是FiB的中点,所以点B的
2
横坐标为C,又点B在双曲线的右支上,所以B(C,牛)因为直线FiB的倾斜角为30°,所
b!
—02
—a申,化简整理得=申,又b2=C2—a2,所以3c2—3a2—^pac=0,两边
c—(—C)32ac3同时除以a2得3e2—2j3e—3=0,解得e=Q3或e=—誓(舍去),故选A.
2x2
11.已知M(X0,y。
)是双曲线C:
2—y2=1上的一点,F1,F2是双曲线C的两个焦点.若
MFi•MF2B.16,6丿
D.I3,3丿
A.(-净豹
C(—攀晋)
解析:
选A.由题意知a=寸2,b=1,c=寸3,
设Fi(—逅,0),F2(V3,0),
则MFi=(—羽—Xo,—yo),MF2=(羽一xo,—yo).
因为MFiMF2<0,
所以(一^/3—xo)(>/3—xo)+y0<0,
即x2—3+y0<0.
因为点M(xo,yo)在双曲线C上,
2
所以号一y0=1,即卩x2=2+2y2,
所以2+2y0—3+y0<0,所以一習<『0<曾.
22
12.(2019四川南充模拟)过双曲线x^—*=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,D为虚轴上的一个端点,且△ABD为钝角三角形,则此双曲线离心
率的取值范围为()
A.(1,迈)
B.(逅心+也)
C.(逅2)
D.(1,问U&2+72,+8)
^2=i(a>0,b>0)的左焦点为Fi(—C,0),
22
解析:
选D.设双曲线:
x2—
a
222令x=—C,可得y=±a,可设A(—c,b^}B(—c,—号)
2
又设D(0,b),可得AD=Gb—牛)
22aB=(O,—警)DB=(—c,—b—y
由^ABD为钝角三角形,可得/DAB为钝角或/ADB为钝角.
当/dab为钝角时,可得ADAb<0,即为0—2b•b—7)<0,化为a>b,即有a2>b2=