Matlab笔记层次分析法020.docx
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Matlab笔记层次分析法020
20、层次分析法
一、概述
层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHD）就是将要决策的问题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次,进而进行定性与定量分析的决策方法。
它的特征就是合理地将定性与定量决策结合起来,按照思维、心理的规律把决策过程细致化（层次化、数量化）。
层次分析法广泛地应用到处理复杂的决策问题,而决策就是基于该方法计算出的权重,所以也常用来确定指标的权重。
层次分析法的基本思路与人们对一个决策问题的思维、判断过程大体上就是一样的。
例如,选购一台笔记本电脑,假设有三种不同品牌款式的笔记本电脑A、B、C供选择。
我们一般会根据价格、外观、重量、用途、功耗、品牌等一些准则去反复比较这个三个候选。
首先,会确定这些准则在自己心目中各占多大比重,不同的人这种比重会有很大差异（喜欢玩游戏的人瞧重硬件性能与散热、预算有限的人瞧重价格等）。
其次,还会就每一个准则将A、B、C进行对比,比如A最便宜,B次之;C性能最好,B次之;C的品牌最知名等。
最后,将这两个层次的比较判断进行综合,在A、B、C中确定一台作为最符合自己需求的电脑。
二、算法步骤
1、将问题条理化、层次化,建立层次结构模型
1）最高层（目标层）——只有一个元素:
决策目标;
2）中间层（准则层）——考虑的因素,决策的准则、子准则;
3）最底层（方案层）——决策时的备选方案、措施。
层次分析法要解决的问题就是,求出最底层对最高层的相对权重,以此对最底层的方案、措施进行排序,选择最优方案。
注1:
为了避免两两比较判断过于复杂,每层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个,否则应划分为若干子层;
注2:
层次分析法只考虑相邻两个层次间自上向下的支配作用,认为同一层次的元素间相互独立,若考虑进来需要网络分析法（ANP）。
例如前文提到的选购笔记本电脑的决策模型,可以建立如下的层次结构:
2、构造判断矩阵（成对比较矩阵）
构造好层次模型后,针对某一层来讲,在比较第i个元素与第j个元素相对于上一层某个因素的重要性时,使用数量化的相对权重aij来表示,假设共有n个元素参与比较,则矩阵
称为判断矩阵（或成对比较矩阵）。
Saaty根据绝大多数人认知事物的心理习惯,建议用1~9及其倒数作为标度来确定aij的值。
其中,2,4,6,8分别介于1,3,5,7,9对应的重要程度之间。
显然,A中的元素满足:
i）aij>0;ii）aji=1/aij;iii）aii=1
称为正互反矩阵。
例如,选购笔记本电脑模型中,可以根据实际三台电脑的重量得到电脑对准则层B3的判断矩阵（aij可以取笔记本电脑j与i的重量之比,重量越轻越好）:
3、层次单排序及判断矩阵的一致性检验
通常用特征根法从判断矩阵导出,单一准则下元素相对排序权重。
定义若n阶正互反矩阵（aij）n×n满足aikakj=aij（对应aij=wi/wj,故需要aikakj=（wi/wk）/（wk/wj）=aij）,则称（aij）n×n为一致性矩阵。
特征根法的基本思想就是,当正互反矩阵（aij）n×n为一致性矩阵时,对应于判断矩阵的最大特征根λmax的特征向量,经归一化后（使向量中各元素之与等于1）即为排序权向量,记为w,w的元素为同一层次因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序。
能否进行层次单排序,就瞧判断矩阵就是否为一致性矩阵,有如下定理:
定理n阶正互反矩阵A为一致性矩阵的充要条件就是,A的最大特征值λmax=n、
在实际操作中,由于客观事物的复杂性以及人们对事物判断比较时的模糊性,很难构造出完全一致的判断矩阵。
因此,Satty在构造层次分析法时,提出了一致性检验,所谓一致性检验就是指判断矩阵允许有一定不一致的范围。
一致性检验步骤如下:
1）计算判断矩阵A的最大特征值λmax;
2）求出一致性指标（ConsistenceyIndex）:
C、I、=0表示完全一致,C、I、越大越不一致;
3）用随机模拟取平均的方法,求相应的平均随机一致性指标R、I、,或者直接用Satty模拟1000次得到的R、I、表:
4）计算一致性比率:
5）判断,当C、R、<0、1时,认为判断矩阵A有满意的一致性;若C、R、≥0、1,应考虑修正判断矩阵A、
4、计算各元素对目标层的合成权重（层次总排序）
为了实现层次分析法的最终目的,需要从上而下逐层进行各层元素对目标合成权重的计算。
设已计算出第k-1层nk-1个元素相对于目标的合成权重为:
再设第k层的nk个元素关于第k-1层第j个元素（j=1,…,nk-1）的单一准则排序权重向量为:
上式对k层的nk个元素就是完全的,若某些元素不受k-1层第j个元素支配,相应位置用0补充,于就是得到nk×nk-1阶矩阵:
从而可以得到第k层的nk个元素关于目标层的合成权重向量:
按递归展开得
写成分量形式为
各层元素对目标层的合成排序权重向量就是否可以满意接受,与单一准则下的排序问题一样,需要进行综合一致性检验:
当C、R、（k）<0、1时,则认为层次结构在第k层以上的判断具有整体满意的一致性。
注:
实际应用中,整体一致性检验常不予进行。
主要原因就是,整体考虑十分困难;其次若每个单一准则下的判断矩阵具有满意的一致性,而整体达不到满意的一致性时,调整起来非常困难。
另外,整体一致性的背景也不如单一准则下的背景清晰,它的必要性有待进一步研究。
三、Matlab实现
实现层次分析法的Matlab函数:
ahp、m
function[W,ahpResult]=ahp（C）
%层次分析法
%C为n×1的元胞数组,存储整个层次模型结构:
第2层对第1层、第3层对第2层、、、、第n+1层对第n层
%假设第k层有m_k个元素,从左到右依次编号1,、、、,m_k
%C{k}也就是元胞数组,k=1,、、、,n
%C{k}{1,j}存储受第j元素支配的第k+1层各元素的判断矩阵（j=1,2,、、、,m_k）
%C{k}{2,j}存储第k+1层各元素就是否受第k层第j元素支配的（m_k+1）*1的逻辑数组,1表示支配,0表示不受支配
%W返回方案层对目标层的最终权重向量
%ahpResult为n×1的元胞数组,存储层次分析过程各层的结果信息,ahpResult{k}也就是元胞数组
%ahpResult{k}{1,j}返回第k+1层所有元素相对第k层j元素的权重向量,第k+1层元素不受第k层j元素支配的权重为0
%ahpResult{k}{2,j}返回第k+1层所有元素相对于第k层第j元素的判断矩阵的最大特征值
%ahpResult{k}{3,j}返回第k+1层所有元素相对于第k层第j元素的判断矩阵的一致性比率C、R、
RI=[000、580、901、121、241、321、411、451、491、51];%平均随机一致性指标
n=length（C）;%得到C的长度n,于就是知道模型总层数为n+1
ahpResult=cell（n,1）;%´存储各层结果信息
fork=1:
n
m_k=size（C{k},2）;%k层的元素个数
ahpResult{k}=cell（m_k,1）;
forkk=1:
m_k
%求第k+1层各元素对第k层kk元素的成对比较矩阵的特征值与特征向量
[V,D]=eig（C{k}{1,kk}）;
[maxD,ind]=max（diag（D））;%求最大特征值与其位置
%为存储第k+1层所有元素相对k层kk元素的权重预留出空间,长度应等于C{k}{2,kk}的长度
ahpResult{k}{1,kk}=zeros（length（C{k}{2,kk}）,1）;
%将相应正互反矩阵属于最大特征值的特征向量归一化后赋给ahpResult{k}{1,kk}中相应位置
%这些位置由逻辑数组C{k}{2,kk}决定
ahpResult{k}{1,kk}（C{k}{2,kk}）=V（:
ind）/sum（V（:
ind））;
ahpResult{k}{2,kk}=maxD;%C{k}{1,kk}正互反矩阵的最大特征值
nn=size（C{k}{1,kk},1）;%C{k}{1,kk}的阶数
ahpResult{k}{3,kk}=（maxD-nn）/（nn-1）/RI（nn）;%相应的一致性比率C、R、
end
end
W=ahpResult{1}{1,1};
fork=2:
n
%cat（2,ahpResult{k}{1,:
}）把k+1层所有元素相对k层各个元素的权重向量横向排在一起生成权重矩阵U^（k）
W=cat（2,ahpResult{k}{1,:
}）*W;
end
用该函数实现层次分析法的关键就是,把整个层次结构存入嵌套元胞数组C中（见程序注释）:
C{k}——存储第k+1层与第k层的结构（k=1,…,n）;
设第k层有mk个元素,其中第j元素与第k+1层的结构关系存储到C{k}{…,j}中（j=1,…,mk）,需要存储的信息有:
1受第j元素支配的第k+1层各元素的判断矩阵
2第k+1层各元素就是否受第k层第j元素支配（即有没有连线）
所以需要两个位置,即C{k}{1,j}与C{k}{2,j}、
例1某工厂有一笔企业留成利润,需要决定如何分配使用。
已经决定有三种用途:
奖金、集体福利措施、引进技术设备。
考察准则也有三个:
就是否能调动职工的积极性、就是否有利于提高技术水平、考虑改善职工生活条件。
建立如下层次模型:
经过工厂决策人员讨论,得到如下判断矩阵:
1、第2层对第1层
三个元素C1,C2,C3都受A支配,判断矩阵C{1}{1,1}为
相应的逻辑数组C{1}{2,1}为[truetruetrue]、
2、第3层对第2层
（1）第3层对第2层第1个元素C1
受C1支配的只有两个元素P1与P2,判断矩阵C{2}{1,1}为
相应的逻辑数组C{2}{2,1}为[truetruefalse]、
（2）第3层对第2层第2个元素C2
受C2支配的只有两个元素P2与P3,判断矩阵C{2}{1,2}为
相应的逻辑数组C{2}{2,2}为[falsetruetrue]、
（3）第3层对第2层第3个元素C3
受C3支配的只有两个元素P1与P2,判断矩阵C{2}{1,3}为
相应的逻辑数组C{2}{2,3}为[truetruefalse]、
3、有了上面的分析,层次模型的元胞数组表示C已经确定,调用函数ahp、m即可
C=cell（2,1）;%共n+1=3层,故n=2
C{1}{1,1}=[11/51/3;513;31/31];%第2层（C层）关于第1层（目标层A）的判断矩阵
C{1}{2,1}=[truetruetrue];%相应的逻辑数组
C{2}{1,1}=[11/3;31];%第3层（P层）关于第2层第1元素C1的判断矩阵
C{2}{2,1}=[truetruefalse];%相应的逻辑数组
C{2}{1,2}=[11/5;51];%第3层（P层）关于第2层第2元素C2的判断矩阵
C{2}{2,2}=[falsetruetrue];%相应的逻辑数组
C{2}{1,3}=[12;1/21];%第3层（P层）关于第2层第3元素C3的判断矩阵
C{2}{2,3}=[truetruefalse];%相应的逻辑数组
[W,ahpResult]=ahp（C）;%调用ahp求解
W%输出总排序的权重向量
运行结果:
W=0、19840、27080、5308
W就就是方案层各个方案所占的比重,可见引进技术设备所占比重最大,改善员工福利次之。
体现在奖金分配上,即用全部留成利润的53、08%引进技术设备,27、08%改善员工福利,19、84%发奖金。
例2假设某人在制定食谱时有三类食品可选:
肉、面包、蔬菜。
这三类食品所含营养成分及单价如下表所示:
假设该人体重为55kg,每天对各类营养的最小需求为
维生素A7500IU
维生素B21、6338mg
热量Q8548、5kJ
问题就是:
应如何制定食谱使得在保证营养的前提下支出最小？
单纯考虑问题条件,容易建立如下的线性规划模型:
设选择肉x1,面包x2,蔬菜x3,则有
用Matlab求解线性规划问题的函数linprog,可以求出最优解:
f=[0、0275;0、006;0、007];
A=-[0、35270、000525;0、00210、00060、002;11、9311、511、04];
b=-[7500;1、6338;8548、5];
options=optimset（'LargeScale','off','Simplex','on'）;
[x,fval,flag]=linprog（f,A,b,[],[],[0;0;0],[infinfinf],[],options）
运行结果:
x=0687、5267610、6420
fval=8、3997
flag=1%表示算法成功
求解出的结果就是,每天不吃肉,吃面包687、5267g,蔬菜610、642g,最低支出为8、40元。
但实际考虑的话,这个方案就是难以让人接受的,只考虑了营养够、价格低,没有考虑到营养均衡（需要吃一定量的肉）。
为此,我们先用层次分析法确定每天需要肉、面包、蔬菜的比重,再重新线性规划。
建立如下的层次模型:
注意:
由于第2层支出因素D2直接支配第4层,需要在第3层补上一个因素“补项B”（仍当作“支出”瞧待）,它只受D2支配,并且支配D2的每个支配因素（第4层的肉Me,面包Br,蔬菜Ve）。
有了上面的层次结构,再根据偏好建立判断矩阵（当然偏好因人而异）:
1、第2层对第1层
判断矩阵:
逻辑数组:
C{1}{2,1}=[truetrue]、
2、第3层对第2层
（1）第3层对第2层第1元素D1
判断矩阵:
逻辑数组:
C{2}{2,1}=[truetruetruefalse]、
（2）第3层对第2层第2元素D2
判断矩阵:
C{2}{1,2}=[1]
逻辑数组:
C{2}{2,2}=[falsefalsefalseture]、
3、第4层对第3层
（1）第4层对第3层第1元素A
判断矩阵（用数据直接做比得到）:
逻辑数组:
C{3}{2,1}=[truetruetrue]、
（2）第4层对第3层第2元素B2
判断矩阵（用数据直接做比得到）:
逻辑数组:
C{3}{2,2}=[truetruetrue]、
（3）第4层对第3层第3元素Q
判断矩阵（用数据直接做比得到）:
逻辑数组:
C{3}{2,3}=[truetruetrue]、
（4）第4层对第3层第4元素B
判断矩阵（用单价比的倒数,因为单价越高越不重要）:
逻辑数组:
C{3}{2,4}=[truetruetrue]、
4、有了上面的分析,层次模型的元胞数组表示C已经确定,调用函数ahp、m即可
C=cell（3,1）;
C{1}{1,1}=[11/3;31];
C{1}{2,1}=true（2,1）;
C{2}{1,1}=[112;112;1/21/21];
C{2}{2,1}=[truetruetruefalse];
C{2}{1,2}=1;
C{2}{2,2}=[false,false,false,true];
C{3}{1,1}=[1,0、3527/0、0005,0、3527/25;0、0005/0、3527,1,0、0005/25;25/0、3527,25/0、0005,1];
C{3}{2,1}=true（3,1）;
C{3}{1,2}=[1,0、0021/0、0006,0、0021/0、002;0、0006/0、0021,1,0、0006/0、002;0、002/0、0021,0、002/0、0006,1];
C{3}{2,2}=true（3,1）;
C{3}{1,3}=[1,11、93/11、51,11、93/1、04;11、51/11、93,1,11、51/1、04;1、04/11、93,1、04/11、51,1];
C{3}{2,3}=true（3,1）;
C{3}{1,4}=[1,0、006/0、0275,0、007/0、0275;0、0275/0、006,1,0、007/0、006;0、0275/0、007,0、006/0、007,1];
C{3}{2,4}=true（3,1）;
[W,ahpResult]=ahp（C）;
W
运行结果:
W=0、23760、22930、5331
该结果表明,按这个人的情况,肉、面包、蔬菜的比例取0、2376,0、2293,0、5331比较合适。
引入参变量k,令x1=0、2376k,x2=0、2293k,x3=0、5331k,将其代入前文的线性规划模型,得到
用linprog求解:
f=[0、0116];
A=-[13、4116;0、0017;6、0282];
b=-[7500;1、6338;8548、5];
W=[0、23760、22930、5331];
options=optimset（'LargeScale','off','Simplex','on'）;
[k,fval,flag]=linprog（f,A,b,[],[],[0],[inf],[],options）
x=k*W
运行结果:
k=1、4181e+03
fval=16、4498
flag=1
x=336、9370325、1669755、9811
故k=1418、1,x1=336、94,x2=325、17,x3=755、98、每天食品支出16、45元。
注:
对于不同的人可以有不同的判断矩阵C{1}{1,1},即营养与支出的相对重要程度,例如,修改为[11/3;31],可以得到x1=188、88,x2=497、82,x3=567、04、每天食品支出12、14元。
主要参考文献:
吴鹏,《Matlab高效编程技巧与应用:
25个案例分析》第11章。
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