数学建模实验指导.docx
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数学建模实验指导
综合实验一:
改进技术的最佳实施问题
一、实验目的及意义
1.学习由实际问题去建立数学模型的全过程;
2.训练综合应用经营管理、函数拟合和非线性规划的知识分析和解决实际问题;
3.熟练应用matlab软件的优化工具箱、函数拟合等功能,设计matlab程序来求解其中的数学模型;
4.提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力;
5.培养团结协作的精神。
通过多人合作完成该实验,学习如何分工合作,学习如何从模糊而不太精确的信息中,经查阅资料、分析和讨论,弄清受制约的因素,与其他方面之间的关系,各种可行方案,特别要弄清要达到的目标,以及公司现阶段的总体经营目标和策略。
学习在做出对任务及其目标的精确陈述的基础上,建立数学模型,确定求解方法求出结果,对模型及结果进行检验。
这对于培养团队精神,提高学生综合处理问题的能力是很有意义的。
二、实验内容
1.数学建模的基本要素和步骤;
2.函数拟合与优化技术的灵活应用;
3.熟悉使用MATLAB语言的编程要领;
三、实验步骤
1.归纳提炼问题,给出简练而精确的问题重述;
2.根据问题的条件和要求作出合理假设;
3.建立函数拟合与优化模型;
4.编写M文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形),并进行误差分析和灵敏度分析;
5.分析模型的优缺点,提出改进思路,进一步还可实现对模型的改进思路;
6.写出论文。
四、实验要求与任务
学生2——3人自由组合解决下述问题,写出论文,论文应包括:
1.摘要(300字左右);
2.问题的重述
3.模型假设及符号说明;
4.问题的分析及模型的设计(可设计多个模型);
5.求解方法、结果的分析和检验;
6.模型的优缺点及改进方向;
7.作为附录附上必要的计算机程序。
改进技术的最佳实施问题
维那高技术研究所是开发军用光学仪器的机构。
它所属的公司也生产民用照相机,该研究所开发了一种新的军用数字技术被允许商用。
公司对新老两种类型的相机拥有专利,老型号为W100,新型号为W200X。
公司计划将它现有的工厂升级,以便能生产W200X型的相机。
公司现在拥有三个生产企业,都生产普通的W100型相机。
这些企业需要一定费用才能升级(技术革新和工人培训)。
工人数和升级费用如下:
工厂 工人数 升级费
Gotham 30 $100,000
Bludhaven 40 $175,000
Metropolis 60 $200,000
Gotham离维那高技术研究所很近,Metropolis是最新最大的工厂。
升级涉及到添置新机器,机器改造和工人培训。
升级过程要花一个星期,在此期间,工厂将停产。
一旦工厂升级,将能生产两类相机。
升级只在一个月的第一个星期进行。
公司在过去几个月进行了大量市场调研,W100型相机现在的批发价为$50,他们对W200X新型相机的需求进行了预测,收集到以下每种相机一个月需求随价格变化的数据:
W100:
价格 需求量 W200X:
价格 需求量
30 15850 40 27000
50 11300 75 16500
60 9350 95 12100
75 6650 125 5400
100 1950 150 2950
市场部现在用一个线性模型来表示这个价格—需求关系。
公司现在是以$15/小时付给工人工资,工厂一个星期运作40小时。
由于合同的关系,工人数不能改变。
一个W100型相机的零件成本为$5,需要1.5人小时的工作量;一个W200X型相机的零件成本为$8,需要1.75人小时的工作量。
这些费用是原材料费用的平均值,它也包括从精密相机零件和镜头到组装,测试和包装全过程的费用。
另外,每个相机还利用大量由维那计算机工业公司提供的计算机芯片,芯片的费用已包括在材料费中了。
每个W100型相机要用两个老芯片,每个W200X型相机要用两个新芯片,维那计算机工业公司按照下列生产方程来提供这些芯片:
8*老芯片数+3*新芯片数£100,000/月
公司老板想知道下一个月可达到的最大利润,在下个月的第一周几个工厂升级,每种相机的产量和定价。
他想在引入新的生产线后得到尽可能高的利润。
他的指导思想是让生产与需求相适应,使手上的发明尽量少,反对由于会有额外的费用,把任何有意义的发明束之高阁。
两位副总裁.提出了他们各自的观点。
瑞克认为只让Gotham厂升级,这样可使新技术离研究基地近,减少不可预期的问题,公司慢慢向新技术过渡。
他建议优先保证这个新工厂的材料,制造尽量多(不超过需求)的新相机。
凯尔则比较激进,想让所有工厂都立即升级,她认为最初的投入可使他们以引人注目的方式导出新产品,打好一个坚实的基础以保持成功。
一旦所有工厂都升级,她建议建立在剩余时间内产品的最佳搭配。
假设你是决策部的成员,你必须研究每一个提案,包括你自己的提案至少一个,总裁希望你基于你的研究推荐一个你认为最好的方案,他也关注非货币损失和利益。
你的报告应包括问题陈述,方案(至少三个)的模型和分析,寻求最佳策略的方法,问题的详细解答,结果的分析。
实验二:
人口增长模型及其数量预测
一、实验目的及意义
1.学习由实际问题去建立数学模型的全过程;
2.训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题;
3.应用matlab软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能,设计matlab程序来求解其中的数学模型;
4.提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力;
通过完成该实验,学习和实践由简单到复杂,逐步求精的建模思想,学习如何建立反映人口增长规律的数学模型,学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时,如何调整初值,变换函数和数据使优化迭代过程收敛。
二、实验内容
1.数学建模的基本方法;
2.查阅资料理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型;
3.Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理;
4.误差分析与模型检验。
三、实验步骤
1.分析理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型;
2.利用Matlab软件求解上述两个模型;
3.设计数据拟合方法;
4.编写M文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形),并进行误差分析;
5.利用至少两种模型预测人口数量;
6.分析、整理和总结,写出实验报告。
四、实验要求与任务
从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示:
表综2.1
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
人口(×106)
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
年份
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
人口(×106)
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
年份
1930
1940
1950
1960
1970
1980
人口(×106)
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进,并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。
提示1:
Malthus模型的基本假设是:
人口的增长率为常数,记为r。
记时刻t的人口为x(t),(即x(t)为模型的状态变量)且初始时刻的人口为x0,于是得到如下微分方程:
提示2:
阻滞增长模型(或Logistic模型)由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,人口增长到一定数量后,增长率会下降,假设人口的增长率为x的减函数,如设r(x)=r(1-x/
),其中r为固有增长率(x很小时),
为人口容量(资源、环境能容纳的最大数量),于是得到如下微分方程:
实验三:
River-bay系统水污染问题
一、实验目的及意义
1.学习由实际问题去建立数学模型的全过程;
2.综合应用数学模型、高等数学、微分方程以及河流污染的知识建立河湾中水污染状况的数学模型;
3.熟练应用matlab软件求微分方程数值解和解析解的功能,设计matlab程序来求解其中的数学模型;
通过该实验,学习如何根据对象的特征和建模目的,抓住问题的本质,忽略次要因素,作出必要的、合理的理想化假设,并根据假设建立数学模型的方法。
加强对数学概念的实际意义和实际问题的数学描述的训练,培养对事物的洞察力和判断力都是很有意义的。
二、实验内容
1.数学建模的基本要素和步骤;
2.用Matlab软件求微分方程的数值解和精确解;
3.分析微分方程解的性态及其实际意义。
三、实验步骤
1.归纳提炼问题,给出简练而精确的问题重述;
2.根据问题的条件和要求作出合理假设;
3.建立微分方程模型;
4.编写M文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形);
5.分析模型的优缺点,提出改进思路,进一步还可实现对模型的改进思路;
6.写出论文。
四、实验要求与任务
解决下述问题,写出论文,论文应包括:
1)摘要;2)问题的重述3)模型假设及符号说明;4)问题的分析及模型的设计;5)求解方法、结果的分析和检验;6)模型的优缺点及改进方向;7)作为附录附上必要的计算机程序。
River-bay系统水污染问题:
一条河流和河湾与大湖相连,位于湾上游的小河是造成湾污染的主要因素,另有一座铝厂恰好建在湾旁,也造成污染。
当湾中污染物平均浓度达到1.6mg/l时,铝厂将被迫暂时关闭。
假使该湾的容量为4,000,000公升,流入和流出河湾的水流速度均为40,000公升/天,若当前该河湾水中的污染物浓度为0.8mg/l,河水中污染物的浓度为0.5mg/l。
要求
1.建立湾中水污染状况的模型;
2.计算30天后该河湾水的污染物浓度;
3.该河湾水的污染物浓度是否能达到一个稳定值?
4.如将4,000,000mg污染物瞬间排入河水中,求铝厂最多在多长时间之后必须关闭;
列出并讨论影响河湾污染的模型中未考虑到的因素至少四种。
实验四:
炮弹发射角的确定
一、实验目的及意义
1.学习由实际问题去建立数学模型的过程;
2.训练综合应用物理学、解析几何、高等数学和微分方程的知识分析和解决实际问题;
3.熟练应用matlab软件的作图,方程求解,微分方程求解等功能来求解其中涉及的数学问题;
4.提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力
通过该实验,学习如何灵活应用力学、运动学及数学的知识建立数学模型,学习和实践由简单到复杂,逐步求精的建模思想。
这对于学生深入理解数学、物理概念,掌握数学的思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容
1.建立两种描述炮弹发射轨迹的数学模型(忽略和考虑空气阻力两种情况);
2.用Matlab软件求解方程和微分方程;
3.结合实际对解的合理性进行分析。
三、实验步骤
1.建立描述在忽略空气阻力情况下炮弹发射轨迹的数学模型;
2.借助Matlab软件,用图形放大法和迭代法求解方程组模型;
3.建立描述在考虑空气阻力情况下炮弹发射轨迹的数学模型;
4.编写Matlab程序,求解第二个模型;
5.结合实际对解的合理性进行分析;
6.编写动态模拟炮弹发射过程的Matlab程序;
7.分析、整理和总结,写出实验报告。
四、实验要求与任务
炮弹发射视为斜抛运动,已知初始速度为200m/s,问要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标,当忽略空气阻力时,发射角应多大?
此时炮弹的运行轨迹如何?
试进行动态模拟。
进一步思考:
如果要考虑水平方向的阻力,且设阻力与(水平方向)速度成正比,系数为0.1(1/s),结果又如何?
此时炮弹的运行轨迹如何?
试进行动态模拟。
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