数学建模实验指导.docx

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数学建模实验指导

综合实验一：

改进技术的最佳实施问题

一、实验目的及意义

1.学习由实际问题去建立数学模型的全过程；

2.训练综合应用经营管理、函数拟合和非线性规划的知识分析和解决实际问题；

3.熟练应用matlab软件的优化工具箱、函数拟合等功能，设计matlab程序来求解其中的数学模型；

4.提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；

5.培养团结协作的精神。

　　通过多人合作完成该实验，学习如何分工合作，学习如何从模糊而不太精确的信息中，经查阅资料、分析和讨论，弄清受制约的因素，与其他方面之间的关系，各种可行方案，特别要弄清要达到的目标，以及公司现阶段的总体经营目标和策略。

学习在做出对任务及其目标的精确陈述的基础上，建立数学模型，确定求解方法求出结果，对模型及结果进行检验。

这对于培养团队精神，提高学生综合处理问题的能力是很有意义的。

二、实验内容

1.数学建模的基本要素和步骤；

2.函数拟合与优化技术的灵活应用；

3.熟悉使用MATLAB语言的编程要领；

三、实验步骤

1.归纳提炼问题，给出简练而精确的问题重述；

2.根据问题的条件和要求作出合理假设；

3.建立函数拟合与优化模型；

4.编写M文件,保存文件并运行观察运行结果（数值或图形），并进行误差分析和灵敏度分析；

5.分析模型的优缺点，提出改进思路，进一步还可实现对模型的改进思路；

6.写出论文。

四、实验要求与任务

　　学生2——3人自由组合解决下述问题，写出论文，论文应包括：

1.摘要（300字左右）；

2.问题的重述

3.模型假设及符号说明；

4.问题的分析及模型的设计（可设计多个模型）；

5.求解方法、结果的分析和检验；

6.模型的优缺点及改进方向；

7.作为附录附上必要的计算机程序。

改进技术的最佳实施问题

　　维那高技术研究所是开发军用光学仪器的机构。

它所属的公司也生产民用照相机，该研究所开发了一种新的军用数字技术被允许商用。

公司对新老两种类型的相机拥有专利，老型号为W100，新型号为W200X。

公司计划将它现有的工厂升级，以便能生产W200X型的相机。

　　公司现在拥有三个生产企业，都生产普通的W100型相机。

这些企业需要一定费用才能升级（技术革新和工人培训）。

工人数和升级费用如下：

　　　工厂　　　　　　工人数　　　　　升级费

　　　Gotham　　　　　　30　　　　　$100,000

　　　Bludhaven　　　　40　　　　　　$175,000

　　　Metropolis　　　　60　　　　　　$200,000

　　Gotham离维那高技术研究所很近，Metropolis是最新最大的工厂。

升级涉及到添置新机器，机器改造和工人培训。

升级过程要花一个星期，在此期间，工厂将停产。

一旦工厂升级，将能生产两类相机。

升级只在一个月的第一个星期进行。

　　公司在过去几个月进行了大量市场调研，W100型相机现在的批发价为$50，他们对W200X新型相机的需求进行了预测，收集到以下每种相机一个月需求随价格变化的数据：

　　　W100：

　　价格　　需求量　W200X：

　价格　　需求量

　　　　　　　　　30　　15850　　　　　　　40　　　27000

　　　　　　　　　50　　11300　　　　　　75　　　16500

　　　　　　　　　60　　9350　　　　　　　95　　　12100

　　　　　　　　　75　　6650　　　　　　　125　　　5400

　　　　　　　　　100　1950　　　　　　150　　　2950

　　市场部现在用一个线性模型来表示这个价格—需求关系。

　　公司现在是以$15/小时付给工人工资，工厂一个星期运作40小时。

由于合同的关系，工人数不能改变。

一个W100型相机的零件成本为$5，需要1.5人小时的工作量；一个W200X型相机的零件成本为$8，需要1.75人小时的工作量。

这些费用是原材料费用的平均值，它也包括从精密相机零件和镜头到组装，测试和包装全过程的费用。

另外，每个相机还利用大量由维那计算机工业公司提供的计算机芯片，芯片的费用已包括在材料费中了。

每个W100型相机要用两个老芯片，每个W200X型相机要用两个新芯片，维那计算机工业公司按照下列生产方程来提供这些芯片：

　　　　　　8*老芯片数+3*新芯片数￡100,000/月

　　公司老板想知道下一个月可达到的最大利润，在下个月的第一周几个工厂升级，每种相机的产量和定价。

他想在引入新的生产线后得到尽可能高的利润。

他的指导思想是让生产与需求相适应，使手上的发明尽量少，反对由于会有额外的费用，把任何有意义的发明束之高阁。

　　两位副总裁.提出了他们各自的观点。

瑞克认为只让Gotham厂升级，这样可使新技术离研究基地近，减少不可预期的问题，公司慢慢向新技术过渡。

他建议优先保证这个新工厂的材料，制造尽量多（不超过需求）的新相机。

凯尔则比较激进，想让所有工厂都立即升级，她认为最初的投入可使他们以引人注目的方式导出新产品，打好一个坚实的基础以保持成功。

一旦所有工厂都升级，她建议建立在剩余时间内产品的最佳搭配。

假设你是决策部的成员，你必须研究每一个提案，包括你自己的提案至少一个，总裁希望你基于你的研究推荐一个你认为最好的方案，他也关注非货币损失和利益。

你的报告应包括问题陈述，方案（至少三个）的模型和分析，寻求最佳策略的方法，问题的详细解答，结果的分析。

实验二：

人口增长模型及其数量预测

一、实验目的及意义

1.学习由实际问题去建立数学模型的全过程；

2.训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；

3.应用matlab软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab程序来求解其中的数学模型；

4.提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；

　　通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。

二、实验内容

1.数学建模的基本方法；

2.查阅资料理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型；

3.Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理；

4.误差分析与模型检验。

三、实验步骤

1.分析理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型；

2.利用Matlab软件求解上述两个模型；

3.设计数据拟合方法；

4.编写M文件,保存文件并运行观察运行结果（数值或图形），并进行误差分析；

5.利用至少两种模型预测人口数量；

6.分析、整理和总结，写出实验报告。

四、实验要求与任务

　　从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示：

表综2.1

年份

1790

1800

1810

1820

1830

1840

1850

人口（×106）

3.9

5.3

7.2

9.6

12.9

17.1

23.2

年份

1860

1870

1880

1890

1900

1910

1920

人口（×106）

31.4

38.6

50.2

62.9

76.0

92.0

106.5

年份

1930

1940

1950

1960

1970

1980

人口（×106）

123.2

131.7

150.7

179.3

204.0

226.5

　　用以上数据检验马尔萨斯（Malthus）人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。

　　提示1：

Malthus模型的基本假设是：

人口的增长率为常数，记为r。

记时刻t的人口为x（t），（即x（t）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x0，于是得到如下微分方程：

　　提示2：

阻滞增长模型（或Logistic模型）由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设r（x）=r（1-x/

），其中r为固有增长率（x很小时），

为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：

 实验三：

River-bay系统水污染问题

一、实验目的及意义

1.学习由实际问题去建立数学模型的全过程；

2.综合应用数学模型、高等数学、微分方程以及河流污染的知识建立河湾中水污染状况的数学模型；

3.熟练应用matlab软件求微分方程数值解和解析解的功能，设计matlab程序来求解其中的数学模型；

　　通过该实验，学习如何根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的理想化假设，并根据假设建立数学模型的方法。

加强对数学概念的实际意义和实际问题的数学描述的训练，培养对事物的洞察力和判断力都是很有意义的。

二、实验内容

1.数学建模的基本要素和步骤；

2.用Matlab软件求微分方程的数值解和精确解；

3.分析微分方程解的性态及其实际意义。

三、实验步骤

1.归纳提炼问题，给出简练而精确的问题重述；

2.根据问题的条件和要求作出合理假设；

3.建立微分方程模型；

4.编写M文件,保存文件并运行观察运行结果（数值或图形）；

5.分析模型的优缺点，提出改进思路，进一步还可实现对模型的改进思路；

6.写出论文。

四、实验要求与任务

　　解决下述问题，写出论文，论文应包括：

1）摘要；2）问题的重述3）模型假设及符号说明；4）问题的分析及模型的设计；5）求解方法、结果的分析和检验；6）模型的优缺点及改进方向；7）作为附录附上必要的计算机程序。

River-bay系统水污染问题：

　　一条河流和河湾与大湖相连，位于湾上游的小河是造成湾污染的主要因素，另有一座铝厂恰好建在湾旁,也造成污染。

当湾中污染物平均浓度达到1.6mg/l时，铝厂将被迫暂时关闭。

假使该湾的容量为4,000,000公升，流入和流出河湾的水流速度均为40,000公升/天，若当前该河湾水中的污染物浓度为0.8mg/l，河水中污染物的浓度为0.5mg/l。

要求

1.建立湾中水污染状况的模型；

2.计算30天后该河湾水的污染物浓度；

3.该河湾水的污染物浓度是否能达到一个稳定值？

4.如将4,000,000mg污染物瞬间排入河水中，求铝厂最多在多长时间之后必须关闭；

　　列出并讨论影响河湾污染的模型中未考虑到的因素至少四种。

实验四：

炮弹发射角的确定

一、实验目的及意义

1.学习由实际问题去建立数学模型的过程；

2.训练综合应用物理学、解析几何、高等数学和微分方程的知识分析和解决实际问题；

3.熟练应用matlab软件的作图，方程求解，微分方程求解等功能来求解其中涉及的数学问题；

4.提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力

　　通过该实验，学习如何灵活应用力学、运动学及数学的知识建立数学模型，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想。

这对于学生深入理解数学、物理概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容

1.建立两种描述炮弹发射轨迹的数学模型（忽略和考虑空气阻力两种情况）；

2.用Matlab软件求解方程和微分方程；

3.结合实际对解的合理性进行分析。

三、实验步骤

1.建立描述在忽略空气阻力情况下炮弹发射轨迹的数学模型；

2.借助Matlab软件，用图形放大法和迭代法求解方程组模型；

3.建立描述在考虑空气阻力情况下炮弹发射轨迹的数学模型；

4.编写Matlab程序,求解第二个模型；

5.结合实际对解的合理性进行分析；

6.编写动态模拟炮弹发射过程的Matlab程序；

7.分析、整理和总结，写出实验报告。

四、实验要求与任务

　　炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？

此时炮弹的运行轨迹如何？

试进行动态模拟。

　　进一步思考：

如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s），结果又如何？

此时炮弹的运行轨迹如何？

试进行动态模拟。

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