16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
证明:
∠BAC=-(∠ABC+∠C=-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为,∠1=∠2,BE⊥AE
所以,△ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,D
AC=7,求DC
CF
A资料WordB
E
证明:
作AG∥BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
ABCBDDCADBC.⊥,求证:
1=∠2(18.5分)如图,在△中,=,∠
证明:
延长AD至H交BC于H;BD=DC;
所以:
∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;
资料Word
∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠DBC+∠ACB;
所以:
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:
AD垂直BC
OMPOQMAOPMBOQABABOMN.为垂足,,于点⊥交19.如图,,平分∠、,⊥OABOBA=求证:
∠∠证明:
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB
所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA
ADBCPABCBAECEAP于∥,∠,的平分线与∠的连线交20.如图,已知的平分线相交于DADBCAB.+.求证:
=证明:
做BE的延长线,与AP相交于F点,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=°,PC的角平分线CBA和∠,BE均为∠PAB又∵,AEEABF为直角三角形在三角形,EAB°∴∠AEB=90°∴∠EAB+∠EBA=90FAB的角平分线,且AE为∠中,AE⊥BFD与三角形DEFFAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形∴三角形与三∴三角形DEF∠BE=EF,∠DEF=CEB,EBC=BEC中,∠∠DFE,且BAAB=AF=AD+DF=AD+BC
DF=BC∴角形BEC为全等三角形,∴
BCADCABABACCDABC是∠的平分线,且∠中,=,求证:
∠+=221.如图,△
,∠CAD,,使AE=AC∵AE=AC∠EAD=AB证明:
在上找点E,DE=CD∴△AD=ADADE≌△ADC。
A,∠C∵AB=AC+CDAED=∠EDB∠∠B=∠EDBC=∠B+∠∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEB=2∠CBD
资料Word
CDABBFACFEFACDEAC,⊥分别为线段若上的两个动点,且于⊥=于E22.如图①,,、,MACAFCEBD=,于点交.MFMEMBMD=)求证:
=,(1FE两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请、
(2)当给予证明;若不成立请说明理由.
以及垂线的性质得出四边形BFARt△Rt△DEC≌分析:
通过证明两个直角三角形全等,即是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.BEDF,∥BFBFA=90°,DEAC于F,,∴∠DEC=∠⊥解:
(1)连接BE,DF.∵DEAC于E,BF⊥解答:
四边.∴,∴DE=BFRt△DEC≌Rt△BFAAF=CE在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵,AB=CD,∴ME=MF;∴MB=MD,形BEDF是平行四边形.DEC△,在Rt°,DE∥BF,,BF⊥AC于F,∴∠DEC=∠BFA=90E,
(2)连接BEDF.∵DE⊥AC于是平BEDF∴四边形,∴DE=BF.BFA,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△Rt和△BFA中,∵AF=CEME=MF.行四边形.∴MB=MD,ABAEEDCABDC23.已知:
如图,,∥的中点,,且为=EBCAED)求证:
△.≌△(1AEDEBC的面积相除△请再写出两个与△外,
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,:
等的三角形.(直接写出结果,不要求证明)A
DOE
BC
,所以四边形AECDDC=AE是平行四边形。
证明:
(1)DC∥AE,且于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE,所以△AED≌△EBC。
(2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
ABCBACABACBDABCBD的延长线垂直.如图,△是∠中,∠=90度,=的平分线,,24CECEBAF.的延长线于于过点的直线于,直线交资料Word
CEBD=2求证:
.°∠BEC=90F∵BE⊥CE∴∠BEF=、证明:
延长BACE,两线相交于点FBECBEF=∠∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠△在BEF和△BEC中ACF=2CEEF=EC∴∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CDE∠CDE=90°又∵∠ADB=∠∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+EAB=AC,ACF,中∠ABD=∠和∴∠ABD=∠ACF在△ABD△ACFDBD=2CE≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴∴△∠BAD=∠CAF=90°ABDCB≌△D=∠C。
求证:
△AED25、如图:
DF=CE,AD=BC,∠BFC。
EFDC
BABE上,点在AM、如图:
AE、BC交于点M,F26ABE=CF。
∥CF,FABC的中线。
求证:
AM是△BCMBE=CF
∵EBM=∠FCM∠BE证明:
∵‖CF∴∠E=∠CFM,ECFM
∴△BEM≌△.
是△ABC的中线AM∴BM=CM∴
AC。
,BA=BCD是AC的中点。
求证:
BD⊥、如图:
在△27ABC中,A的三条边都相等,它们全等,所以角和三角形ADB和证明:
三角形ABDBCDDAC
BD垂直180度,所以都是90度,CDB角相等,它们的和是BC
28、AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
求证:
BF=CF
资料Word
证明:
在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=ADA在FDC∴∠BDF=∠ACD∴∠ADB=∠ADCABD∴△≌△中FDCBDF与△△DBF=FFCD∴∠FDCDF=DF∴△FBD≌△BD=DC∠BDF=CBC
F
。
求证:
AF=DEAE=DF,CE=FB。
29、如图:
AB=CD,ABF
E证明:
因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所CD以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE
ABCDABCDABCD,”字形道路,在,如图所示,其中,∥30.公园里有一条“Z
BCEFMBECFMBC在,且,三段路旁各有一只小石凳,,=EFM恰好在一条直线上,的中点,试说明三只石凳,.
证明:
∵AB平行CD(已知)∴∠B=∠C(两直线平行,错角相等)∵M在BC的中点(已知)∴EM=FM(中点定义)在△BME和△CMF中BE=CF(已知)
∠B=∠C(已证)EM=FM(已证)∴△BME全等与△CMF(SAS)∴∠EMB=∠FMC资料Word
(全等三角形的对应角相等)
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=°(等式的性质)
∴E,M,F在同一直线上
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,
BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
证明:
∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF(SAS)
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别D
E
=AF。
DC、BC的中点,求证:
AE是CA
F
和等腰三角形连结证明:
BD,得到等腰三角形ABDB
BDC,由等腰△两底角相等得:
角ABC=角ADC在结合已知条件证得:
△ADE≌△ABF
得AE=AF
ABCDEAC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证.如图,在四边形33:
中,是∠5=∠6.
资料Word
角2∠3=∠4所以角ADC=证明:
因为角1=角DADCAAS==>三角形又因为AC是公共边,所以ABC.513AC462E等于角DCBC等于,角3全等于三角形ABC.所以B6
∠∠5=4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以
ABDEBCEFDCAFAD=CFABCDEF..已知上,∥,且∥△,≌△,求证:
在,34
证明:
因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE,BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA=角F(两直线平行,错角相等)然后SSA(角角边)三角形全等
ABACBDACCEABDEBDCE相交=,垂足分别为,,?
,、?
.35已知:
如图,、FBECD.=于点,求证:
C
D
所以∠EBC=∠DCB证明:
因为AB=AC,
F
所以∠BEC=∠CDBABAC因为BD⊥,CE⊥
EBA
全等于三角形EBC公共边)则有三角形BC=CB(CD
所以BE=DCB
ACDFABBACABCADDEE⊥为∠,的平分线,⊥于如图,在△、36中,F。
于A
DE.求证:
=DFWord资料
EF
C
B
D
解析:
(AAS)证△ADE≌△ADF
ACBCCDEACEADABA,
37.已知:
如图,于于于,,?
?
?
A
ADABBCAE的长?
.若=5,求=D
EC=角E=90度证明:
角C
B
BAC角EAD=90角B=角度-BC=AE
DAE≌△△ABCAD=AB=5
A
FE,FE、,ABMF⊥AC,垂足分别为38.如图:
AB=AC,ME⊥BMCMB=MC。
求证:
ME=MFAB=AC
∵证明:
C
B=∠ABC∴△是等腰三角形∴∠CEM是直角三角形BEM和△ME=MF又∵,△MB=MC∴全等于△CEM∴△BEM
④①②③39.如图,给出五个等量关系:
CDE?
?
D?
?
BCAD?
?
ACBDCE.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个⑤CBA?
?
?
DAB资料Word
,并加以证明.正确的结论(只需写出一种情况)已知:
DC
E
求证:
A
B
证明:
全ADBAB所以△因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中,连已知1,2求证4C
角所以角D=等于△BCA
,求∠BC,∠A=中,以4,5为条件,1为结论。
即:
在四边形ABCD∠D=∠
所以∠B,∠D=360∠D=C,∠A=∠明证:
AD=BC因为∠A+B+∠C+∠AB//DC°,所以∠A+∠D=°2(∠A+∠D)=360,
ABC于,且,中,,直线经过点40.在△CMNMN?
AD?
?
ACBC90?
ACB?
的位置时,旋转到图绕点1于求证:
①,.
(1)当直线CMNMN?
BEADC?
ED;②;≌CEB?
BEAD?
DE?
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请CMN
资料Word
.给出证明;若不成立,说明理由
MN⊥D,BE,而AD⊥MN于BCE=90
(1)证明:
∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠°ADC△在Rt∴∠ACD=∠CBE.∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,ADC=于E,∴∠CEBRt△Rt△ADC≌∠ADC=∠CEB∠ACD=CBEAC=CB,∴中,和Rt△CEB{∠DE=DC+CE=BE+AD;DC=BE,∴AD=CE(AAS),∴,CBE∠°∠ACD=中,{∠ADC=∠CEB=90CEB
(2)不成立,证明:
在△ADC和△;∴DE=CE-CD=AD-BE∴AD=CE,DC=BE,≌△AC=CB,∴△ADCCEB(AAS),
;EC=BF
(1)。
求证:
AF⊥AC,AE=AB,AF=AC,.如图所示,已知41AE⊥ABBF⊥2)EC(F
角角所以角EAB=EAC+垂直证明
(1);因为AEABA
E
角所以角CAF=角CAB+ACAFCAB=90度因为垂直M
C
B
资料Word
BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F
(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证)所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF
42.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
A证明:
(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°,N43∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,FECN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=ANM21CB
(2)∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN
43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
连接BF、CE,
证明:
△ABF全等于△DEC(SAS),
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
资料Word
44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
证明:
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=而∠ANE+∠ENB=
所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD
45、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
证明:
∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE,∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF
ABCDDEACBFACEF,46=,⊥、已知:
如图,⊥,,C
D
.是垂足,BF?
DEF
E
A
B
Word资料
.求证:
CD∥AB中,BFA和Rt△∠AFB=90°,在Rt△DECAC证明:
∵DE⊥,BF⊥AC,∴∠DEC=∥CD.C=∠A,∴AB,DE=BF,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA∴∠
4,求证:
AB=CD∠2,∠3=∠1=47、如图,已知∠
DA
.1234BC
,=BE⊥AB,AC,48、如图,已知AC⊥ABDBC
的大小与位置关DE,试猜想线段CE与AE=BDD
.
系,并证明你的结论越小。
越小,则DE结论:
CE>DE。
当∠AEBB
A
E
为平行四边由已知条件知AFDE交于F,连接FBD证明:
过作AE平行线与AC为锐角,即∠BAE中,AEB,且形,ABEC为矩形△DFB为等腰三角形。
RT△中°∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°△DFBAEB<90∠°°-∠DBF<45∠RT-DFB=∠∠DBF=(°∠FDB)/2>45°△AFB中,FBA=90CE>DE
∴∴-∠AFB=90°∠FBA>45°AB>AF∵AB=CEAF=DE
DE.
AE=,求证:
=,=,=如图,已知、49ABDCACDBBECE资料Word
ADCB
角BDC的出角ABC=≌△解析:
先证明△ABCD
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DEB
E
C
资料Word
边上的中BCAD是ACB=90°,50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠C,F,交AD于点C过作AD的垂线,交AB于点E线,D
FBDE.=∠求证:
∠ADCB
A
E
9
图于ACB交AD平分证明:
作CG∠ACB=90ACB=90G∵∠°∴∠ACG=∠DCG=45°∵∠°
DCF=90∠∴∠ACF+ACG∵CF⊥AD∠∴∠B=AC=BC∴∠∠BAC=45°B=∠DCG=∠CAF=90°∵∠ACF+∠°∴∠CAF=DCF∵AC=CB
CDGCD=BD∴△BDCG=CG=BECBEACGBACG=∠∠∴△≌△∴∵∠∠
BDE≌△BDE∠∴∠ADC=
资料Word