高考理数全国卷2附答案与解析.docx

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高考理数全国卷2附答案与解析

-------------

------------- 绝密★启用前

5.演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原

在

2019 年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷

始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始

--------------------

理科数学

评分相比，不变的数字特征是                                       （    ）

A.中位数                                    B.平均数

_

__{}

__

__

__A. （–∞， B. （–2，

_卷

号--------------------3， 1）D. （3， ∞）

生 __

考 __2.设 z = –3 + 2i ，则在复平面内 z 对应的点位于（）

__

__A.第一象限B.第二象限

__

_ _

_ _A. –3B. –2

_ _

_ _C.2D.3

_

_

__地月拉格朗日 L 点的轨道运行. L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上 .设地球质

校

业

毕

本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

此

上 C.第三象限                                   D.第四象限

--------------------

4.2019

_ 事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与

探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕

2 2

--------------------M ，月球质量为 M ，地月距离为 R， L 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定

１ ２ 2

1

很小，因此在近似计算中 （    ）

无

C.方差                                       D.极差

6.若 a＞b ，则                                             （   ）

A. ln（a - b）＞0                           B. 3a ＜3b

C. a3 - b3 > 0                               D. a > b

7.设 α ， β 为两个平面，则α P β 的充要条件是                     （   ）

A. α 内有无数条直线与 β 平行

B. α 内有两条相交直线与 β 平行

C. α ， β 平行于同一条直线

D. α ， β 垂直于同一平面

y 2

（    ）

A.2                                         B.3

C.4                                         D.8

π ⎛ π π ⎫

2 ⎝ 4 2 ⎭

A. f （x ） = cos 2 x                     B. f （x ） = sin 2 x

C. f （x ） = cos x                      D. f （x ） = sin x

⎛ π

⎝ 2 ⎭

5

5                                       B. 5

2 5

3                                     D. 5

x2  y 2

11.设 F 为双曲线 C：

 -

a2 b2

-------------------- M

A.

M

2 R B.  M 2 R

2M

1                                                                             1

的圆与圆 x2 + y 2 = a 2 交于 P，Q 两点.若 PQ = OF ，则 C 的离心率为（   ）

A. 2                                   B. 3

效

---

M 3M

1 1

数学试卷 第 1 页（共 18 页）

C.2                                        D. 5

数学试卷 第 2 页（共 18 页）

12.设函数 f （ x） 的定义域为 R ，满足 f （x + 1） = 2 f （x） ，且当 x ∈ （0,1]时，f （x） = x（x - 1） .

8

9

⎛9 ⎤⎛7 ⎤

⎝⎝3 ⎦

⎛5 ⎤⎛8 ⎤

⎝⎝3 ⎦

二、填空题：

本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正

点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停

该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.

14.已知 f （ x） 是奇函数，且当 x < 0 时， f （ x） = -eax.若 f （ln2） = 8 ，则 a =.

3 ，则△ABC 的面积

为.

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方

体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多

面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 .半正多面体体现了数学的对称

美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，

且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.（本

题第一空 2 分，第二空 3 分.）

考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共 60 分。

17.（12 分）

如图，长方体 ABCD – A B C D 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA 上，BE ⊥ EC .

1 1 1 1 1 1

（1）证明：

 BE ⊥ 平面 EB C ；

1 1

（2）若 AE = A E ，求二面角 B – EC – C 的正弦值.

1 1

18.（12 分）

11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:

10 平后，每球交换发球权，先

多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时

甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双

方10:

10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.

（1）求 P （X = 2） ；

（2）求事件“ X = 4 且甲获胜”的概率.

图１图２

三、解答题：

共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 17～21 题为必

数学试卷第 3 页（共 18 页）

数学试卷 第 4 页（共 18 页）

-------------

-------------

在已知数列 {a }和 {b }满足 a = 1 ， b = 0 ， 4a

nn11n+1

= 3a - b + 4 ， 4b

n n n+1

= 3b - a - 4 .

n n

（二）选考题：

共 10 分。

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。

如果多做，则按所做

的第一题计分。

_

_

_

_

生 __

考 __

_

_ _

_ _

_ _

名 _

姓 _

_

（1）证明：

 {a + b }是等比数列，{a – b }是等差数列；

n n n n

（2）求 {a }和 {b }的通项公式.

n n

--------------------

20.（12 分）

卷

0 0 0

上          y = e x 的切线.

--------------------

--------------------）

22.[选修 4—4：

坐标系与参数方程]（10 分）

在极坐标系中，O 为极点，点 M （ρ ,θ ）（ρ > 0） 在曲线 C :

 ρ = 4sin θ 上，直线 l 过点

0 0 0

A（4,0） 且与 OM 垂直，垂足为 P.

π

0 3 时，求 ρ 0 及 l 的极坐标方程；

（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.

23.[选修 4—5：

不等式选讲]（10 分）

已知 f （ x） =| x - a | x+ | x - 2| （ x - a）.

（1）当 a = 1 时，求不等式 f （x） < 0 的解集；

（2）若 x ∈ （-∞,1） 时， f （x） < 0 ，求 a 的取值范围.

__

__

__

__

__

_

校

学

业

毕

1

2

M 的轨迹为曲线 C.

题

（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限， PE ⊥ x 轴，垂足为

E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.

（i）证明：

 △PQG 是直角三角形；

无

--------------------ii）求 △PQG 面积的最大值.

效

---数学试卷第 5 页（共 18 页）

数学试卷 第 6 页（共 18 页）

2019 年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷

理科数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1．【答案】A

【解析】因为 A = { | x2 - 5x + 6＞0}= {x | x＞3或x＜2}， B = {x | x - 1＜0 |=| x | x＜1} ，所

以 A I B = {x | x＜1}，故选 A.

【考点】不等式的求解，集合的交运算

【考查能力】运算求解

2．【答案】C

【解析】由题意，得z = -3 - 2i ，其在复平面内对应的点为（-3,-2） ，位于第三象限，故

选 C.

【考点】共扼复数，复数的几何意义

【考查能力】运算求解

uuuruuu uuuruuur

【解析】因为 BC = AC - AB = （1,t - 3） ，所以 BC = 1 + （t - 3）2 = 1 ，解得 t = 3 ，所以

uuuruuur uuur

BC = （1,0） ，所以 AB ⋅ BC = 2 ⨯1 + 3 ⨯ 0 = 2 ，故选 C．

【考点】平面向量的数量积，平面向量的坐标运算

【考查能力】运算求解

4．【答案】D

【解析】记 9 个原始评分分别为 a，b，c，d，e，f，g，h，i（按从小到大的顺序排列），

易知 c 为 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故

选 A.

【考点】样本的数字特征

【考查能力】分析问题和解决问题

6．【答案】C

【解析】通解 由函数 y = ln x 的图象（图略）知，当0＜a - b＜1时，ln （a - b ）＜0 ，故 A

不正确；因为函数 y = 3x 在 R 上单调递增，所以当 a＞b 时，3a > 3b ，故 B 不正确；

因为函数 y = 3x 在 R 上单调递增，所以当a＞b 时，3a > 3b ，即3a - 3b＞0 ，故 C 正

确；当 b < a < 0 时， | a |<| b | ，故 D 不正确。

故选 C.

优解 当 a = 0.3 ， b = -0.4 时， ln （a - b ）＜0 ， 3a > 3b ， | a |<| b | ，故排除 A，B，D，故

选 C.

【考点】函数的性质

【考查能力】逻辑思维，运算求解

7．【答案】B

【解析】对于 A，α 内有无数条直线与 β 平行，当这无数条直线互相平行时，α 与 β 可

能相交，所以 A 不正确；对于 B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B 正确；

对于 C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C 不正确；对

于 D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧

面都垂直于底面，但它们是相交的，所以 D 不正确.综上可知选 B..

【解析】由M1

（R + r ）

2

+

M

r 2

2 = （R + r ）

M

R3

1 ，得

ç ⎪

M

1 2

2

2

= （1+ r ）M ，因为 α =

1

r

R

，

【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系

【考查能力】逻辑思维，空间想象

M3α 3 + 3α 4 + α 53α 3 + 3α 4 + α 5

12 = （1+ α ）M ，2 ，

122

1

⎛ r ⎫3M

3

111

【考查能力】对背景材料的审读，逻辑思维，化归与转化，运算求解

5．【答案】A

数学试卷第 7 页（共 18 页）

≈ 3α 3 ，

8．【答案】D

⎛ p ⎫

⎭

p

【考点】抛物线与椭圆的几何性质

【考查能力】逻辑思维，运算求解

数学试卷 第 8 页（共 18 页）

9．【答案】A

⎛ π⎫

⎭

⎝ 4 2 ⎭

π

⎪

⎭

⎧sin x, x…

⎩- sin x, x < 0

由正弦函数图象知，在 x≥0 和 z＜0 时， f （ x） 均以 π为周期，但在整个定义域上

f （ x） 不是周期函数，故 D 不正确.故选 A.

【考点】三角函数的图像与性质

【考查能力】逻辑思维，运算求解

10．【答案】B

【 解 析 】 由2sin 2α = cos2α +1 ， 得 4sin α cosα = 1 - 2sin 2 α + 1 ， 即

⎛π ⎫

⎝2 ⎭

2sin α 1 - sin 2 α = 1 - sin 2 α ，解得 sin α =5

【考点】同角三角函数的基本关系，二倍角公式

【考查能力】运算求解，逻辑思维

11．【答案】A

⎛c ⎫2c2

⎪

⎝

x2 + y2 = a2 记为②式，①-②得 x = a2

⎛ a2 ⎫2

c， 所以 | PQ |= 2 a2 - ç c ⎭

⎛ a2 ⎫2

2 a2 - ç⎪ = c ，整理得 c4 - 4a2c2 + 4a4 = 0 ，即 e4 - 4e2 + 4 = 0 ，解得 e = 2 ，

⎝ c ⎭

故选 A.

数学试卷第 9 页（共 18 页）

【考点】双曲线的几何性质、圆与圆的位置关系

【考查能力】运算求解，逻辑思维

12．【答案】B

1

2

0＜x + 1≤1 ，则 f （ x） = 2 f （ x - 1） = 2（x - 1）（x - 2） ；当 2＜x≤3 时， 0＜x - 2≤1 ，则

f （ x） = 2 f （ x - 1） = 22 f （ x - 2） = 22 （ x - 2）（ x - 3） ，……由此可得

⎧L

⎪ 1

⎪ （ x + 1）x, -1 < x„ 0

⎪ 2

⎪

⎪2（ x - 1）（x - 2）,1 < x„ 2

⎪

⎪22（ x - 2）（ x - 3）,2 < x„ 3

⎩

8 8

9 3 或 x = 3 ，

7

3

⎛ 7 ⎤

⎝ 3 ⎦

数学试卷 第 10 页（共 18 页）

62 = （2c）2 + c2 - 2 ⨯ 2c ⨯ cos π

A = π

【考点】余弦定理，三角形的面积公式

【考查能力】逻辑思维，运算求解

16．【答案】26

2 - 1

1

2 ⨯ 2 3 ⨯ 6 = 6 3 .

【考点】函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题

【解析】依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6 个面都在正方体的

【考查能力】运算求解，化归与转化

第Ⅱ卷

表面上，且该半正多面体由 18 个正方形和 8 个正三角形围成，因此题中的半正多

面体共有 26 个面。

注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正

二．填空题

13．【答案】0.98

多面体的棱长为 x，则 2

2

【 解 析 】 经 停 该 站 高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为

10 ⨯ 0.97 + 20 ⨯ 0.98 + 10 ⨯ 0.99

10 + 20 + 10= 0.98 .

【考点】用样本估计总体

【考查能力】数据处理能力，运算求解能力

14．【答案】 -3

当 x＞0 时 ， - x < 0, f （- x） = -e-ax . 因 为 函 数 f （x ） 为 奇 函 数 ， 所 以 当 x＞0 时 ，

a

⎝ 2 ⎭

【考点】函数奇偶性

【考查能力】逻辑思维，运算求解

15．【答案】 6 3

【解析】解法一 因为 a = 2c ， b = 6 ， B = π

号，得 62 = （2c）2 + c2 - 2 ⨯ 2c ⨯ cos π

1π

2 a csin B = 2 ⨯ 4 3 ⨯ 2 3 ⨯ sin 3 = 6 3 .

解法二 因为 a = 2c ， b = 6 ， B = π

数学试卷第 11 页（共 18 页）

的棱长为 2 - 1 .

【考点】弧长的计算

【考查能力】运算求解，空间想象能力

三、解答题

（一）必考题

17．【答案】

（1）由已知得 B C ⊥平面 ABB A ， BE ⊂ 平面 ABB A ，故 B C ⊥ BE .

1 1 1 1 1 1 1 1

又 BE ⊥ EC ，所以 BE ⊥ 平面 EB C .

1 1 1

（2）由

（1）知 ∠BEB = 90︒ .由题设知 

 ABE ≅ 

 A B E ，所以 ∠AEB = ∠A EB ，

1 1 1 1 1

故 AE = AB ， AA = 2 AB ..

uuur uuur

以 D 为坐标原点， DA 方的方向为 x 轴正方向， DA 为单位长，建立如图所示的空间直

uur

角坐标系 D - xyz ，则 C（0,1,0） ， B（1,1,0）， C （0,1,2） ， E（1,0,1）， CB = （1,0,0） ，

1

CE = （1,-1,1）， CC = （0,0,2） .

1

⎧CB ⋅ n = 0， ⎧ x = 0,

设平面 EBC 的法向量为 n = （ x, y, z） ，则 ⎨uuur    即 ⎨

⎪CE ⋅ n = 0， ⎩ x - y + z = 0.

所以可取 n = （0, -1,-1） .

设平面 ECC 的法向量为 m = （x , y , z ） ，则 m = （x , y , z ） ，

1 1 1 1 1 1 1

数学试卷 第 12 页（共 18 页）

uuur

⎧CC ⋅ m = 0,⎧2 z = 0，

x - y + z = 0，

1 1

| n || m | =-

1

2

【解题思路】 1）由题意知 P （X = 2） 包括甲获胜的概率与乙获胜的概率，则利用互斥事

件的概率公式求解即可；

（2）利用相互独立事件与互斥事件的概率公式计算即可。

所以，二面角 B - EC - C 的正弦值为

1

3

2 .

【考点】互斥事件的概率，相互独立事件的概率

【考查能力】逻辑思维，数据获取与处理，运算求解

19.【答案】解：

（1）由题设得 4 （a

n+1

+ b

n+1

） = 2 （a

n

+ b ） ，即 a

n n+1

+ b

1 （a + b ） .

n n

1

11nn

由题设得 4 （a

n+1

- b

n+1

） = 4 （a

n

- b ） + 8 ，即 a

n n+1

- b

n+1

= a - b + 2 .

n n

又因为 a - b = 1 ，所以 {a - b

11nn

}是首项为 1，公差为 2 的等差数列。

（2）由

（1）知， a + b =

nn

1

2n-1

 a - b = 2n - 1 .

n n

所以 a =

n

1 （

n n n n

1     1

2n + n - 2 ，

b =

n

1 （

n n n n

1     1

2n - n + 2 .

【解析】

（1）首先将已知条件中两个等式相加，由等比数列的定义可证得数列{a + b

nn

为等比数列，然后将已知条件中两个等式相减，由等差数列的定义可证得数列

}

【解析】

（1）根据长方体的性质得出 B C ⊥平面 ABB A ，从而推出 B C ⊥ BE ，再结合

111111

BE ⊥ EC ，然后结合已知条件，利用线面垂直的判定定理即可使问题得证；

1

（2）以 D 为坐标原点建立恰当的空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标与相关向量，

求得平面 EBC 与平面 ECC 的法向量，最后利用向量的夹角公式求解即可.

1

【考点】直线与平面垂直的证明、几何体体积的求解

【考查能力】化归与转化能力、运算求解能力

18.【答案】解：

 1） X = 2 就是10：

 平后，两人又打了 2 个球该局比赛结束，则这 2 个

球均由甲得分，或者均由乙得分.因此 P （X = 2） = 0.5 ⨯ 0.4 + （1 - 0.5）x （1 - 0.4） = 0.5 .

（2） X = 4 且甲获胜，就是1010 平后，两人又打了 4 个球该局比赛结束，且这 4 个球

的得分情况为：

前两球是甲、乙各得 1 分，后两球均为甲得分。

因此所求概率为[0.5 （1 - 0.4）（1 - 0.5） 0.4] ⨯ 0.5⨯ 0.4 = 0.1 .

数学试卷第 13 页（共 18 页）

{a - b }为等差数列；

n n

（2）由

（1）分别求得数列{a + b }和 {a - b }的通项公式，然后将这两个通项公式进

n n n n

行加减运算即可求得{a }， {b }的通项公式。

n n

【考点】等差数列与等比数列的定义及通项公式

【考查能力】逻辑推理，运算求解

20.【答案】解：

（1） f （ x） 的定义域为 （0,1）⋃ （1, +∞） .

2

x +

e + 1 e2 + 1  e2 - 3

因为 f （e） = 1 -

1     ⎛ 1 ⎫         x + 1

1 1

1            1 1

一零点 1

1

数学试卷 第 14 页（共 18 页）

1

综上， f （ x） 有且仅有两个零点。

⎛1 ⎫

0

0

11x + 1

-0

0

ln x =0，连接 AB，则直线 AB 的斜率 k =000曲线

0

000-0

x - 1

0

⎛1 ⎫

y = ex 在点 B ç - ln x ,

0

的斜率也是一，所以曲线 y = 1nx 在点 A（x ,ln x ） 处的切线也是曲线 y = ex 的切线.