③若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇(t2-t0=t0-t1)
匀速追
匀加速
匀减速追
匀加速
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以a开始行驶,恰在这一时刻一辆自行车以v自=6m/s的速度匀速驶来,从旁边超过汽车。
试求:
(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?
此时距离是多少?
(2)什么时候汽车能追上自行车?
此时汽车的速度是多少?
(1)追上前汽车和自行车相距最远的条件是什么?
提示:
汽车和自行车速度相等。
(2)追上时汽车和自行车的位移关系是什么?
提示:
位移相等。
尝试解答
(1)2_s__6_m__
(2)4_s__12_m/s
(1)解法一:
(物理分析法)
如图甲所示,汽车与自行车的速度相等时相距最远,设此时经过的时间为t1,汽车和自行车间的距离为Δx,则有v自=at1
所以t1==2s
Δx=v自t1-at=6m。
解法二:
(相对运动法)
以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0=v汽初-v自=0-6m/s=-6m/s
末速度vt=v汽车-v自=0
加速度a′=a-a自=3m/s2-0=3m/s2
所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为
t1==2s
最大距离Δx==-6m
负号表示汽车在后。
注意:
利用相对运动的方法解题,要抓住三个关键:
①选取哪个物体为研究对象;②选取哪个物体为参考系;③规定哪个方向为正方向。
解法三:
(极值法)
设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距为Δx,则Δx=v自t1-at
代入已知数据得Δx=6t1-t
由二次函数求极值的条件知:
t1=2s时,Δx有最大值6m。
所以经过t1=2s后,汽车和自行车相距最远,为Δx=6m。
解法四:
(图象法)
自行车和汽车的vt图象如图乙所示。
由图可以看出,在相遇前,t1时刻汽车和自行车速度相等,相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积,所以有
t1==s=2s
Δx==m=6m。
(2)解法一:
(物理分析法)
当汽车和自行车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,则有v自t2=at
解得t2==s=4s
此时汽车的速度v1′=at2=12m/s。
解法二:
(图象法)
由前面画出的vt图象可以看出,在t1时刻之后,当由图线v自、v汽和t=t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时,汽车与自行车的位移相等,即汽车与自行车相遇,所以t2=2t1=4s,v1′=at2=3×4m/s=12m/s。
追及相遇问题的解题思路及技巧
(1)解题思路
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”,即:
过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。
③若被追的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动,另外还要注意最后对解进行讨论分析。
④紧紧抓住速度相等这个关键点。
⑤遇到此类选择题时,图象法往往是最便捷的解法,如例2中
(1)的解法四。
[变式2-1] (2019·福建高三上校级联考)自行车b经过摩托车a的旁边时,摩托车a从静止开始运动,从该时刻开始计时,它们的vt图象如图所示,已知两车始终在同一条平直公路上行驶,则关于两车的运动情况,下列说法正确的是( )
A.8s末自行车开始调头,加速度开始反向
B.6~8s内摩托车的加速度比自行车的大
C.两车相距最远时,距离为12m
D.t=8s时,自行车在摩托车前方
答案 D
解析 自行车在8s前速度为正,8s后速度为负,所以是8s末开始调头,速度开始反向,vt图象的斜率的正负表示加速度方向,所以8s末加速度方向不变,A错误;6~8s内摩托车的加速度为:
a摩=m/s2=1m/s2,自行车的加速度为:
a自=m/s2=-2m/s2>a摩,B错误;当自行车与摩托车速度相等时,即t=6s时,两者相距最远,自行车的位移为:
x自=m=22m,摩托车的位移为:
x摩=m=12m,所以两者的最大距离为:
Δx=x自-x摩=10m,C错误;t=8s时,自行车的位移为:
x自′=m=26m,摩托车的位移为:
x摩′=m=22m[变式2-2] 蓝牙(Bluetooth)是一种无线技术标准,可实现固定设备、移动设备之间的短距离数据交换(使用2.4~2.485GHz的ISM波段的UHF无线电波)。
现有两同学用安装有蓝牙设备的玩具车甲、乙进行实验:
如图所示,甲、乙两车开始处于同一直线上相距为d=4.0m的O1、O2两点,甲车从O1点以初速度v0=4m/s、加速度a1=1m/s2向右做匀加速运动,乙车从O2点由静止开始以加速度a2=2m/s2向右做匀加速运动,已知当两车间的距离超过s0=10m时,两车无法实现通信,忽略信号传递的时间。
已知=2.4。
(1)求甲、乙两车在相遇前的最大距离;
(2)求甲、乙两车在相遇前能通信的时间。
答案
(1)12m
(2)0~2s和6~8.8s,共4.8s
解析
(1)设当经过t0时间两车速度大小相等,此时两车相距最远,
即v0+a1t0=a2t0
解得t0=4s
甲、乙两车在相遇前的最大距离为
Δsm=d+v0t0+a1t-a2t
解得Δsm=12m。
(2)设经过时间t1两车相遇,
则有d+v0t1+a1t=a2t
解得t1=(4±2)s
舍去负根,可得t1=8.8s
设经过时间t两车相距为s0,则有
d+v0t+a1t2-a2t2=s0
解得t2=2s,t3=6s
甲、乙两车在相遇前能通信的时间为0~2s和6~8.8s,共4.8s。
高考模拟随堂集训
1.(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。
已知两车在t2时刻并排行驶,下列说法正确的是( )
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.t1时刻甲车在后,乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
解析 vt图象中图象与t轴所包围的面积代表运动的位移,两车在t2时刻并排行驶,利用逆向思维并借助于面积可知在t1时刻甲车在后,乙车在前,故A错误,B正确;图象的斜率表示加速度,所以甲的加速度先减小后增大,乙的加速度也是先减小后增大,故C错误,D正确。
2.(2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动。
甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。
下列说法正确的是( )
A.在t1时刻两车速度相等
B.从0到t1时间内,两车走过的路程相等
C.从t1到t2时间内,两车走过的路程相等
D.从t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等
答案 CD
解析 根据位移图象的物理意义可知,在t1时刻两车的位置相同,速度不相等,乙车的速度大于甲车的速度,A错误;从0到t1时间内,乙车走过的路程大于甲车,B错误;从t1到t2时间内,两车都是从x1位置走到x2位置,两车走过的路程相等,C正确;根据位移图象的斜率等于速度可知,从t1到t2时间内的某时刻,有甲图线的切线与乙图线平行、斜率相同,两车速度相等,D正确。
3.(2016·江苏高考)小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动。
取小球的落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向。
下列速度v和位置x的关系图象中,能描述该过程的是( )
答案 A
解析 设小球从H高处由静止下落,则下降过程,位置
为x时,下落的高度为h=H-x,由v2=2gh,得v2=2g(H-x),式中v的方向向下。
小球落地时速度为v0,则v=2gH,上升阶段:
得v2=2gH-2gx,式中v的方向向上。
因此上升和下降阶段速度大小随x的变化规律相同,速度方向相反,且v与x的关系不是线性关系,A项正确。
4.(2016·全国卷Ⅰ)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其vt图象如图所示。
已知两车在t=3s时并排行驶,则( )
A.在t=1s时,甲车在乙车后
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
答案 BD
解析 由题中vt图象得a甲=10m/s2,a乙=5m/s2,两车在t=3s时并排行驶,此时x甲=a甲t2=×10×32m=45m,x乙=v0t+a乙t2=10×3m+×5×32m=52.5m,所以t=0时甲车在前,距乙车的距离为L=x乙-x甲=7.5m,B项正确;t=1s时,x甲′=a甲t′2=5m,x乙′=v0t′+a乙t′2=12.5m,此时x乙′=x甲′+L=12.5m,所以另一次并排行驶的时刻为t=1s,故A、C两项错误;两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′=x乙-x乙′=40m,故D项正确。
=3m/s2的加速度