最新高考高考数学复习双曲线 精品.docx
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8.2双曲线
●知识梳理
定义
1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹
2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹
方程
1.－=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）
2.－=1，c=，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c）
性质
H：
－=1（a＞0，b＞0）
1.范围：
|x|≥a，y∈R
2.对称性：
关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
3.顶点：
轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
4.渐近线：
y=x，y=－x
5.离心率：
e=∈（1，+∞）
6.准线：
l1：
x=－，l2：
x=
7.焦半径：
P（x，y）∈H，
P在右支上，
r1=|PF1|=ex+a，
r2=|PF2|=ex－a；
P在左支上，
r1=|PF1|=－（ex+a），
r2=|PF2|=－（ex－a）
思考讨论
对于焦点在y轴上的双曲线－=1（a＞0，b＞0），其性质如何？
焦半径公式如何推导？
●点击双基
1.双曲线－=1的渐近线方程是
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
解析：
由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3.
∴渐近线方程为y=±x=±x.
答案：
A
2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是
A.－=1B.－=1
C.－=1D.－=1
解析：
可设所求双曲线方程为－y2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2.
答案：
A
3.如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是
A.10B.C.2D.
解析：
利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=.
答案：
D
4.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.
解析：
由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±）.易求它到中心的距离为.
答案：
5.求与圆A：
（x+5）2+y2=49和圆B：
（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.
解析：
利用双曲线的定义.
答案：
－=1（x＞0）
●典例剖析
【例1】根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；
（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.
剖析：
设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.
解法一：
（1）设双曲线的方程为－=1，
由题意，得
=，
－=1，
解得a2=，b2=4.
所以双曲线的方程为－=1.
（2）设双曲线方程为－=1.
由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），
∴－=1.
又∵a2+b2=
（2）2，
∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：
（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），
将点（－3，2）代入得λ＝，
所以双曲线方程为－＝.
（2）设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
评述：
求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2=λ（λ≠0）.
【例2】（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.
剖析：
由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.
解：
设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0）.①
因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|=2.
∵||PM|－|PN||=2|m|>0，
∴0<|m|<1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上.
故－=1.②
将①代入②，并解得x2=，
∵1－m2>0，∴1－5m2>0.
解得0<|m|<，
即m的取值范围为（－，0）∪（0，）.
评述：
本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.
【例3】如下图，在双曲线－=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列.
（1）求y1+y3的值；
（2）证明：
线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.
剖析：
可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性，易知A′与C′也在双曲线上，且A′、B、C′满足题设条件，所以A′C′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.
（1）解：
c==5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|.①
分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，
即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.
于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有
2|BB2|=|AA2|+|CC2|，
此即2×6=y1+y3，可见y1+y3=12.
（2）证明：
AC的中垂线方程为
y－=－（x－），
即y－6=－x+.②
由于A、C均在双曲线上，
所以有－=1，－=1.
相减得=.于是有
=（y1+y3）=·12=13，
故②变为y=－x+，易知此直线过定点D（0，）.
评述：
利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.
●闯关训练
夯实基础
1.设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于
A.1或5B.6C.7D.9
解析：
由渐近线方程y=x，且a=2，
∴b=3.据定义有|PF2|－|PF1|=4，
∴|PF2|=7.
答案：
C
2.（2005年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析：
由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0.
由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然.
答案：
C
3.给出问题：
F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：
双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？
若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.
______________________________________________________.
解析：
易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|=2a，∴|PF2|=17.
答案：
|PF2|=17
4.过点A（0，2）可以作____________条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点.
解析：
数形结合，两切线、两交线.
答案：
4
5.已知双曲线的方程是16x2－9y2=144.
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
解：
（1）由16x2－9y2=144得－=1，
∴a=3，b=4，c=5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x.
（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2=
===0.
∴∠F1PF2=90°.
6.已知双曲线x2－=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.
（1）求直线AB的方程；
（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.
（1）解：
设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2=k（x－1），
代入双曲线方程得
（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1+x2=－，
由已知=xp=1，
∴=2.解得k=1.
又k=1时，Δ=16＞0，从而直线AB方程为x－y+1=0.
（2）证明：
按同样方法求得k=2，而当k=2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在.
培养能力
7.双曲线kx2－y2＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程.
解：
由题意k＞0，c=，
渐近线方程l为y=x，
准线方程为x=±，于是A（，），
直线FA的方程为y=，
于是B（－，）.
由B是AC中点，则xC=2xB－xA＝－，
yC=2yB－yA＝.
将xC、yC代入方程kx2－y2＝1，得
k2c4－10kc2＋25＝0.
解得k（1+）＝5，则k＝4.
所以双曲线方程为4x2－y2＝1．
8.（理）已知l1、l2是过点P（－，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.
（1）求l1的斜率k1的取值范围；
（2）若｜A1B1｜＝｜A2B2｜，求l1、l2的方程.
解：
（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1，则l1的方程为y＝k1（x＋）.
联立得
y＝k1（x＋），
y2－x2＝1，消去y得
（k12－1）x2＋2k12x＋2k12－1＝0.①
根据题意得k12－1≠0，②
Δ1＞0，即有12k12－4＞0.③
完全类似地有－1≠0，④
Δ2＞0，即有12·－4＞0，⑤
从而k1∈（－，－）∪（，）且k1≠±1.
（2）由弦长公式得
｜A1B1｜＝.⑥
完全类似地有
｜A2B2｜＝.⑦
∵｜A1B1｜＝｜A2B2｜，
∴k1＝±，k2＝.从而
l1：
y＝（x＋），l2：
y＝－（x＋）或l1：
y＝－（x＋），l2：
y＝（x＋）．
（文）在双曲线－＝1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为3∶2，并求M点到两准线的距离．
解：
设M（x1，y1），左右两焦点F1、F2，由双曲线第二定义得
｜MF1｜＝ex1＋a，｜MF2｜＝ex1－a，
由已知2（ex1＋a）＝3（ex1－a），
把e=，a=4代入，得x1＝16，y1＝±3.
∴点M的坐标为（16，±3）.
双曲线准线方程为x=±=±.
∴M（16，±3）到准线的距离为12或19．
探
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