圆锥曲线压轴题含答案.docx
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圆锥曲线压轴题含答案
22
I.已知点人(无,儿)为双曲线二-・=1(方为正常数)上任一点,耳为双曲线的右焦点,
Sb"b"
过片作右准线的垂线,垂足为A,连接F/并延长交y轴于点巴.
(1)求线段片人的中点P的轨迹E的方程:
(2)设轨迹E与x
分别交于y轴于M,
2•如图,已知圆G:
(x-2)2+y2=r2是椭圆—+/=1的内接△ABC的内切圆,其中A
16
为椭圆的左顶点.
(1)求圆G的半径r:
(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,证明:
直线EF与圆G相切.
切线PA,PB,切点为A.B,泄点M丄,()].加)
(1)过点A作直线x-y=0的垂线,垂足为N,试求△AMN的垂心G所在的曲线方
程;
(2)求证:
A、M、3三点共线.
4•作斜率驾的直线帥圆+交于心两点(如图所示),且PGQQ在直线/的左上方.
(1)证明:
APAB的内切圆的圆心在一条泄宜线上:
(2)若ZAPB=60°,求的而积.
5.如图,椭圆C1:
4+p-=l(«>^>0)的离心率为*,兀轴被曲线C?
:
〉,」—/,截得的线段长等于C]的长半轴长.
(1)求C「C?
的方程:
(2)设C?
与y轴的焦点为过坐标原点O的直线I与C?
相交于点A.B,直线MA.MB分别与C】相交与D£・
1
证明:
MD丄ME;
2记AMAB,AMDE的而积分别是S「S?
•问:
是
6.已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点K(70)的直线/与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.
(1)证明:
点F在直线3D上;
――8
(2)设FA・FB=_,求MDK的内切圆M的方程・
7.P(x^yo)(xo^±a)是双曲线E:
二一二=l(a>0">0)上一点,M、N分别是双曲线cr\r
E的左.右顶点,直线PM,PN的斜率之积为丄・
5
(1)求双曲线的离心率:
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于人3两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足OC=aOA+OB,求;I的值.
8.已知以原点O为中心,F(>/5,0)为右焦点的双曲线C的离心率e=£.
(1)求双曲线C的标准方程及英渐近线方程:
(2)如图,已知过点M(x,,)的直线厶:
召.丫+4)卩=4与过点^(x2,y2)(其中心工州)
的直线厶:
x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上,直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点,求△OGH的面积.
Q
码Gho),A-b,凡)
1•解:
(1)由已知得3
ffJ尹二-竺(x_%)
则直线2的方程为:
b
,则
2
九+映
7=
=5^0
勺=2x
"弋代入丽
22
X尹
即P的轨迹E的方程为乃"2场2
只才-1
(2)在/2〃中令歹=0得戏=2歹,则不妨设肌血加),£(施,0)
=1
于是直线QB的方程为厂悬叶血
y=—纭a-屉)直线QD的方程为:
无呵力
込競),念於
则\xL-<2b
*_卫笔)3,坐外)=0
则以泗为直径的圆的方程为:
①"72b
彳_2护
X
令尹=0得
7?
y1J而a勺必)在矛一25?
=上,
于是x=±5b,
即以MN为直径的圆过两定点(一%,0),(如0)。
2.解:
⑴设+,过圆心G作GD丄AB于D,BC交长轴于H,
GD_HB尹二_K必二还EE
由NDAH得©6-*阳尸,即Q屈°,①
/J(厂_2)(厂+6)
而点B(2+FjJ在椭圆上,°U1$16②
=2=_6
由①、②式得1》'+%—吃=0”解得一E或—§(舍去);
-9+阿?
(2)设过点M(0,l)与H](J~2)Q一§相切的直线方程为:
y-l=kx,③
解得萨
32^
X=
则异于零的解为
32氐
16^2+1
FO]片1+1)卫0批2勺+1)
3%
16拧+1
3・・解:
(1)垂线AN的方程为:
》一乃二一兀十再,
设重心G(x,y),
(3x-3八丄)(3卄划-丄)=2
mm
(x-——y-K=-
即%9为重心g所在曲线方程。
(2)设力(心必)』(勺化),
由已知得到汐2=0”且彳_甘二h#二],
设切线PA的方程为:
歹一”=上(兀一花)”
\y-y\=k^-
由i/-於=1得(1-疋)只-2必例-炳)「0]-佥护-1=0从而"4/仇—炳尸+4(1—P)仙—心尸+4(1-卩)=0,
解得必,
因此PA的方程为:
型二號-1,同理PB的方程为:
户(忍必'),
又帥加在叭PB上,所以皿二阿J财二哪一1,
即点虫(心刃』尙必)都在直线射二楓一1上,
M(—,°)yy=1
又尬也在直线兀V™±,所以三点A、M、B共线。
1
y=-x+W“sn/s
4.
(1)设直线『:
3,
1+XIh1将尸代入站中,化简整理得
(X_3屈)(花_3^2)
_(”_\总)(勺_3庞)+(”,_血)(8-3庞)
上式中,
厂/=〔]小+型一佢)(為一3切+〔?
孔+力一宓(旺一3奶分了33
x.+(ra-2J2)(xt+兀)-6五⑴-^5)
QT/J>*
—+(m-2j2')(-3m)-6、伍@_血)
=3椀2-12-3用'+6屁-6屈2+12=0,从而,・+5=°.
又戸在直线」的左上方,因此,的角平分线是平行于#轴的直线,
所以△加的内切圆的圆心在直线上.
(2)若厶円=妙时,结合
(1)的结论可知取广思5=・屈.
直线刊的方程为:
厂血=血「3爲),代入才盯1中,消却得
14x2+9岳(1-3^)x+18(13-3^)=0
■方_18(137石)
它的两根分别是“和3^,所以1"「―H—,即
3优13-3扬
14
所以吨时-如竿也
•同理可求得
所以
S"詁円||丹|sin60。
_13阿3屈1)3旋(3鸽-1)屆
2772
117語
-49
5.
解(I)由IE意知"n*^*.从而a=2&,又2五=4,解得a=2,6=1・
故C,・C,的方程分别为弓于才包.y^e-l・
’得
y=rJ-]
x2-Aar-!
«0•
设期切爪丿山宀),则和&是上述方程的两个实根.于堆
X,+X,二&■片屯55■
又点财的坐标为(0.-1),所以
k/二H+1儿+1二(H+lXg+l>_F”丙十*(〔+鬲)+1
故血丄M3.即MD丄ME.
则点M坐标为(窃•告詁).
又直线磁的斜睾为--J-,同理可得点E的坐标为(7爭,圭务).于恥=吐翔網•勺
因此寻吉(*+-p-+17)•
由題意知,吉(硯十寺讨72绘,*?
得心4,或*、+・
耳_+
又由点儿8的坐标可知,*=——詁-+,所以*=±|・
百+&
敏满足条件的岂线/存在,且有两条,其方穆分别为严討和厂-寺工・
6.解:
⑴设A(Xi,yi),B(x2,y2),D(Xi,-yi),I的方程为x=my-l(m#0)将x=my-l代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0从而yi+y2=4m,yiy2=4①
0He+A5xcn・0寸+XCO只®如s-1
HEl^6丿E寸—8档
—+1I
寸co
rMlu寸—8=寸+VH+(ZX+TX)=xtxhz>ta+(T=x)(ILX)n
1=(IhAUJ)(叩tAiu)nsx、CNdlu寸"(叩」lu)+(ihAuj)ax+tx■眾㊀ffl(CN)
(ofp=
66只腮如g乏§£
戈£1)
(笊如)6巴槪g—t寸〔¥寸。
⑺
117-L丄-2I二+汙-LI7-E-L+Z-W
S22一而(0二)三・(1>1二二(0打)ZQ凰翅&轻•述lco7只只因
dug—r^—c^o=e—b^+x^shhsS塩価医回
只珂,几)在双曲线上,m,N分别为双曲线E的左右顶点,
所以M(-arO)fN(af0),
直线PM,PN斜率之积为帀+a兀一a帀一a〉
聲—昇=1沪丄—彳+心/亠厶迈
而133,比较得55135
(2)设过右焦点且斜率为1的直线L:
y=x-cr交双曲线E于A,B两点,则不妨设"%,丁1"(抵,力)又OC二AOA^OB二(加]+花,划+儿),点c在双曲线E上:
伽]+兀2『一5(初+乃)J疋=>护(厲2_»*+2怖2-10如2+kJ—W)=a
又联立直线L和双曲线E方程消去y得:
4严_]0cx+无2+么2=0”
5?
+a2f、2E+护5?
2
砂2二一-—丹乃內一。
(心+心)+&=——_丁+巴由韦达走理得:
442
+a1-—Aa1^a,1=a1^A=O
代入①式得:
22或入一。
&
22
£__2L=1
解:
(1)设C的标准方程为厦歹一(a,b>0),
则由题意。
=怎,
C75
°二一=2
又aZ
因此a=2,hJ=1
亡-2_]
C的标准方程为4y~
y=±—x
C的渐近线方程为2
即x-2y=0和x+2y=0。
(2)如图,由题意点E(xe,yE)在直线11:
xix+4yiy=4和h:
X2X+4y2y=4上r因此有xiXE+4yiyE=4,X2XE+4y2yE=4f
故点M,N均在直线xEx+4yEy=4上,
因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4
设G,H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点,
及
4
.=
-2
解得
12
X&-2yg
4
Xg一2九%+2ysxE一2ys矗一4堆
x
因为点E在双曲线可一》
亦筋二一T=3
所以九一4出