09年康健鑫赵腾马福超D.docx
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09年康健鑫赵腾马福超D
会议筹备问题的数学模型
摘要：
本文讨论的是会议筹备的问题，我们本着经济划算，交通方便，便于管理等原则，分别分析讨论了关于住房、交通、会议室的分配问题，并针对实际情况给出了宾馆房间安排、会议室挑选、交通管理的具体方案。
首先我们对于往届代表的回执要求和宾馆的住房情况基于抽样分析法建立了数学模型，预测本届实际与会代表人数，利用已知的宾馆数量与价位，以极小化费用函数为目标，且满足代表们的价位需求要求，建立线性规划数学模型，借助数学软件，求得最优解，给出最经济的住房分配方案。
在此基础上，兼顾会场安排的集中与管理，对住房分配方案进行合理的调整，达到所选宾馆数量尽可能的少，并且距离尽可能的靠近，使得与会代表能够满意。
在给出宾馆住房分配方案后，从较集中的宾馆中挑选出6个分组会议室，使得代表们从各自下榻的宾馆到达会议室都比较方便。
集中的宾馆住房安排也为用车接送代表们提供了方便。
在论文中，我们将给出具体的接送路线图，并根据调查的数据实验模拟接送全过程花费的总时间。
模型最后还讨论了包括宾馆住宿和行车的总花费，模型结果合理有效。
论文中的数学模型适用于大中型会议筹划工作安排，经济费用合理、代表满意、交通方便、便于管理。
本文利用线性规划方法，可以得出模型中根据题型中的为了满足代表们的入住要求等，得出了理论上的符合住房要求的理论数据。
关键词：
线性规划最优化抽样分析法住房分配会议筹备
一、问题重述
某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。
由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。
为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。
我们的目标是通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。
二、模型的建立与分析
为了简化实际问题，我们给出下列假设：
（1）各界与会的代表数量占发来回执的代表数量的比例大致相同；
（2）发来回执中合住1的人数占总人数的比例与实际与会人合住1的人数占实际总人数的比例相同；类似地，合住2、合住3、独住1、独住2、独住3都有这样的同比例特点；
（3）参会代表的人数在会议开始之后不会出现增加或减少；
（4）参加各个分组会议的人数大致相同；
（5）车辆运送代表的路途交通顺畅，不受天气影响，没有堵车现象；
（6）客车均以相同的速度匀速行驶
（7）假设所租用的车辆能够把代表们一次性（不倒车）送到指定的开会地点；
（8）当天没有任何的意外发生，会议的时间都是指定的时间开，这样的话客车都能够准时的到达会场，不会耽误任何代表的时间，能够让代表们满意。
首先，我们需要计算出本次会议与会人数的数量情况，由于从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执（相关数据见附表3），那么，根据前四届回执与与会人数的关系，加上假设各界与会的代表数量占发来回执的代表数量的比例是大致相同的，由此，可以先计算出该比例，其计算方法：
与会代表数量=发来回执的代表数量-发来回执但未与会的代表数量
+未发回执而与会的代表数量
与会的代表数占发来回执的代表数的比例=与会代表数量/发来回执的代表数量
表1与会的代表数量占发来回执的代表数量的比例
第一届
第二届
第三届
第四届
发来回执的代表数量
315
356
408
711
发来回执但未与会的代表数量
89
115
121
213
未发回执而与会的代表数量
57
69
75
104
与会的代表数占发来回执的代表数的比例
89.84%
87.08%
88.73%
84.67%
四届比例取平均值
87.58%
由计算结果可以发现，以往四届与会的代表数量占发来回执的代表数量的比例确实是大致相同，我们的假设是合理的，从而，取这四届比例的平均值，得到与会的代表数量占发来回执的代表数量的比例约为87.58%。
另外，根据附表2可以统计得到本届会议的代表回执总数为：
154+104+32+107+68+41+78+48+17+59+28+19=755（人）
那么，利用与会的代表数量占发来回执的代表数量的比例约为87.58%，可以预测本届与会的实际人数为：
755×87.58%=661（人）。
根据假设
（2），发来回执中独住1的人数占总人数的比例与实际与会人独住1的人数占实际总人数的比例相同，于是我们需要的实际独住1人数应该是
（人），四舍五入得到独住1的人数约为94人；
同样的计算可以得到各类住宿情况的人数预测，给出下表显示（单位：
人）：
表2本届会议与会代表人数预测
合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
男
134
90
28
94
60
36
女
68
42
14
52
25
17
基于预测的数据，我们开始对宾馆住房安排问题、会议室选配问题、接送代表行车安排问题进行分析讨论。
1.宾馆住房安排问题
宾馆住宿安排的原则以经济为主，首先考虑满足代表在价位方面的需求。
由于已知各类住宿的人数和房间数，也有了各宾馆房间的价位和数量，所以可以采用线性规划方法来求解房间安排。
根据附表2的六种不同情况我们分别对其进行最优求解，即使每一种情况都给出费用最省的可行解，设宾馆1~10安排的房间数为x0,x1,x2,…,x9,根据表3的6种情况，我们设每个宾馆符合每种情况的房间总数为x011,x111,x211,…,x911，因为宾馆里可能会有两种或两种以上的房间价位符合情况，所以我们还可以把同时符合情况的两种或两种以上的房间分开假设，如宾馆2里有普通双标间（140元/天）和商务双标间（160元/天）满足合住1的情况，我们将其数量分别设为x1111,x1112，下面以合住1的最优化求解来说明模型的求解方法：
变量假设：
x1111、x1112表示宾馆2中合住1的两种不同类型房间数，他们的总和为x111，即x111=x1111+x1112；
x2111、x2112表示宾馆3中合住1的两种不同类型房间数，他们的总和为x211，即x211=x2111+x2112；
……
最优化问题的目标函数为：
极小化费用函数
140*x1111+160*x1112+150*x211+140*x311+140*x4111+160*x4112+150*x611+160*x711;
约束条件：
x111+x211+x311+x411+x611+x711=101;
x1111+x1112=x111;
x4111+x4112=x411;
x111<=85;
x211<=50;
x311<=50;
x411<=70;
x611<=50;
x711<=40;
x1111<=50;
x1112<=35;
x4111<=35;
x4112<=35;
利用软件求解上述带约束线性规划问题，得到合住1的最优住宿安排为：
宾馆2——普通双标间50间；
宾馆4——普通双标间16间；
宾馆5——普通双标间A35间；
一共安排住宿101间，并且都是价位最优惠的房间，与原计划相符！
需要说明的是，该线性规划的最优解并不是唯一的，因为同等价位的房间，挑选哪一间都可以，而计算机软件给出的只是一组最优解，所以，我们仍然可以在同等价位的不同宾馆之间挑选和调换房间，为的是更集中地管理代表们的住宿，也为了更好地为分配交通接送代表服务。
下面我们先用表格的形式给出各种不同住宿情况的规划最优解，然后再根据实际情况进行调节。
表3：
合住1最优化的结果
宾馆代号
规格
间数
2
普通双标间
50
4
普通双标间
16
5
普通双标间A
35
总费用：
14140（元/天）
表4：
合住2的最优化结果：
宾馆代号
规格
间数
2
豪华双标间A
2
3
商务双标间
24
6
普通双标间A
40
总费用
11480（元/天）
表5：
合住3的最优化结果：
宾馆代号
规格
间数
6
精品双标间
21
总费用
4620元（元/天）
表6：
独住1的最优化结果：
宾馆代号
规格
间数
2
普通双标间
50
3
普通单标间
11
4
普通双标间
50
5
普通双标间A
35
总费用
20550元（元/天）
表7：
独住2的最优化结果：
宾馆代号
规格
间数
3
商务双标间
15
6
普通双标间
40
6
商务单标间
30
总费用
14900元（元/天）
表8：
独住3的最优化结果：
宾馆代号
规格
间数
1
商务双标间
3
1
商务单标间
20
6
精品双标间A
30
总费用
11660元（元/天）
将最优化结果统计在一张表格中，并且通过计算每个宾馆的入住率来反映代表们的住宿集中情况，于是，我们给出下表：
宾馆代号
客房
规格
使用间数
价格（天）
入住率
①
普通双标间
0
180元
17.7%
商务双标间
3
220元
普通单人间
0
180元
商务单人间
20
220元
②
普通双标间
100
140元
85%
商务双标间
0
160元
豪华双标间A
2
180元
豪华双标间B
0
200元
③
普通双标间
0
150元
49.5%
商务双标间
39
180元
普通单人间
11
150元
④
普通双标间
66
140元
69.5%
商务双标间
0
200元
⑤
普通双标间A
70
140元
63.6%
普通双标间B
0
160元
豪华双标间
0
200元
⑥
普通单人间
0
160元
115%
普通双标间
80
170元
商务单人间
30
180元
精品双人间
51
220元
⑦
普通双标间
0
150元
0
商务单人间
0
160元
商务套房（1床）
0
300元
⑧
普通双标间A
0
180元
0
普通双标间B
0
160元
高级单人间
0
180元
⑨
普通双人间
0
260元
0
普通单人间
0
260元
豪华双人间
0
280元
豪华单人间
0
280元
⑩
经济标准房（2床）
0
260元
0
标准房（2床）
0
280元
在只考虑费用为极小化函数的优化问题求解中，上述表格给出了最优的一组安排情况，此时代表们在住宿一项的花费总费用就达到了77350元/天。
为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。
我们将对一些宾馆中的住房进行调整，调整的原则：
（1）尽量在同等价位级别的范围内进行调整，使得代表们可以接受；
（2）尽可能使得宾馆的入住率得到提高，便于管理；
（3）使代表人便于到达会场，减少不必要的等待时间；
（4）根据最优结果先把各个宾馆的房间合理安排好，如果有多出来的再往别的宾馆安排；
例如：
根据最优解首先把宾馆2合理安排好，在宾馆2中合住1与独住1同时都需要宾馆2的普通双标间50间，而这种房间一共只有50间，所以需要分出去一部分人，合住2需要豪华双标间A2间，这个可以满足，所以不需要从新安排了。
独住的人需要自己付全部房费，合住的人可以平分房费，为减轻独住的人的付费压力，我们把同等价位级别中的较便宜的房间分给独住的人，较贵的分给合住的人。
由此独住1的人全部安排到普通双标间，此时50间全满，然后再把合住1的人安排到相对较贵的商务双标间，此时35间全满，合住1的人还需要15个房间，然而宾馆2里已经没有客房的价位符合合住1的代表们的需要了，这时候就要把多出的合住1的代表们安排到符合他们所需要的宾馆里去，根据最优解宾馆7里没有人入住，我们把宾馆2多出的合住1的代表们安排到宾馆7里的普通双标间，这样宾馆2就安排合理了。
注：
（1）最优解给出的宾馆1入住率太低，可以考虑将宾馆1中商务单间独住3的20名代表调至宾馆9的普通单间中。
（2）宾馆3，4，10交通位置太分散，不利于代表集中开会，可考虑将其代表调至相对集中的宾馆7，8，9中，具体为宾馆3中商务双间的合住2的48名代表及独住2的15名代表调至宾馆8的普通双间A中。
（3）宾馆5，6可以仿宾馆2安排。
宾馆代号
客房
规格
间数
价格（天）
入住情况
①
普通双标间
0
180元
商务双标间
0
220元
普通单人间
0
180元
商务单人间
0
220元
②
普通双标间
50
140元
独住1
商务双标间
35
160元
合住1
豪华双标间A
2
180元
合住2
豪华双标间B
0
200元
③
普通双标间
0
150元
商务双标间
0
180元
普通单人间
0
150元
④
普通双标间
0
140元
商务双标间
0
200元
⑤
普通双标间A
35
140元
独住1
普通双标间B
35
160元
合住1
豪华双标间
0
200元
⑥
普通单人间
40
160元
独住2
普通双标间
40
170元
合住2
商务单人间
30
180元
独住2
精品双人间
30
220元
独住3
⑦
普通双标间
42
150元
15合住1，11独住1，16独住1
商务单人间
40
160元
独住1
商务套房（1床）
0
300元
⑧
普通双标间A
24
180元
合住2
普通双标间B
10
160元
独住1
高级单人间
15
180元
独住2
⑨
普通双人间
24
260元
21合住3，3独住3
普通单人间
20
260元
独住3
豪华双人间
0
280元
豪华单人间
0
280元
⑩
经济标准房（2床）
0
260元
标准房（2床）
0
280元
通过汇总表格的数据，计算在宾馆安排住宿问题上一天的总费用：
81420（元/天）
说明：
虽然调整房间会增加房费，但代表们居住的更加集中，便于管理，
2.会议室安排问题：
由于会议期间有一天的上下午各安排6个分议，假设每个会议室的人数相同，我们已经推出与会代表的数量大约在661人左右，由此我们可以分出6个会议室，每个会议室所能容纳的人数约在130人左右，根据下图可以看出宾馆7，8，9的地理位置最为接近，同时根据附表1也可以看出宾馆7，8，9都有符合我们要求的会议室，而且价格也最为便宜便宜，从经济，方便的方面考虑，我们决定把会议室安排到宾馆7，8，9中，具体分配如下：
图1：
会议室安排在的宾馆
表10会议室分配情况
宾馆代号
会议室
规模
间数
价格（半天）
⑦
140人
2
800元
⑧
130人
2
800元
⑨
120人
2
800元
总费用
9600元/天
3.客车安排及路线问题：
客车安排：
宾馆6有180人，宾馆5有105人，宾馆2有124人，我们以这三个宾馆作为发车地点，从既省时又省钱的角度出发，每个地点设了两辆车并根据代表人数选择车的类别，保证代表在车上都有座位，每辆车接送两次，具体如下：
表11：
租车
始发点
客车
种类
辆数
车次
车费（半天）
②
33
2
2
1200
⑤
33
2
2
1200
⑥
45
2
2
1900
总费用
4300（元/半天）
行车路线：
根据宾馆开会情况，我们制定了1套乘车方案，如下：
人步行的速度大约为1m/s，所以，行走300米的时间大约为4分多钟，在这样一个时间内，大多数人是比较喜欢选择行走的，拿宾馆5和宾馆7来说吧，如果宾馆5的代表有在宾馆7开会的，那么在会议开始之前代表就可自行安排时间，只要在开会之前5，6分钟从宾馆5出发即可，如果要是选择坐车，就要跟随发车时间，因为车要照顾在宾馆8或9开会的代表，所以发车的时间就会比较早，这样的话，就可能要过早的随车到达宾馆7，由于6个会议室的开会起始时间相同，他需要车最终接送完所有代表后，才能开会，因此他就要花费很多的时间来等候其他的会议场所人员到齐，这对于他来说，是不划算的。
由此7—8号宾馆之间，8—9号宾馆之间，6—7号宾馆之间，都可步行到达。
具体行驶方法如下：
（1）5号宾馆发车，直接到达8号宾馆，在8号宾馆开会的代表下车，无代表上车，再到达9号宾馆，在其开会的下车，去宾馆7开会的全部上车（不在安排别的车接送这部分代表）然后到达7号宾馆，全部下车，最后回到5号宾馆接送剩下的代表再如此行走一圈，。
（2）2号宾馆发车，到达7号宾馆，在其开会的下车，去9开会的上车，然后到达8号宾馆，在其开会的下车，无人上车，然后到达9号宾馆，全部下车，无人上，然后直接回到2号宾馆接送剩余的代表再如此行走一圈。
（3）6号宾馆发车，到达9号宾馆，在其开会的下车，无人上车，然后到达8号宾馆，在其开会的下车，无人上车，最后直接回到6号宾馆，再如此行走一圈。
说明：
（1）在宾馆9居住的代表有63人，从宾馆5发的两辆33座的的客车完全能够承载，当这两辆车在第一次到达宾馆9时，车上的人应全部下车，去7开会的全部上车，此后不再安排别的车接送。
（2）第二次接送后客车可以不用在返回始发点，因为在其到达接送的线路上的最后一个会点后，它所负责的所有代表均以接送完毕。
综上我们得出的接送路线为：
1）5——8——9——7——5——8——9；
2）2——7——8——9——2——7——8——9；
3）6——9——8——6——9——8；
接送所有代表所用的时间：
（1）客车的速度大约为8m/s；
（2）在站点停留的时间分为两种情况：
只上不下或是只下不上的所用的时间大约为2分钟；
既下又上的所用时间大约为3分钟。
（3）三个路线各自的总路程分别为：
2300m，2400m，1500m；
接送代表所用时间=客车在站点停留的总时间+客车行使的时间；
由此可得三个路线各自接送代表所用的时间约为：
17min，26min，13min；
综上：
接送完所有代表所用的时间为26分钟。
三、模型的评价与进一步改进
此模型是以经济、方便、代表满意等方面为出发点，通过对宾馆的调配、房间的选择、会议室的指定、车辆的分配以及路线的制定，尽可能满足大多数代表的要求，使其满意。
运用了数学软件lingo进行线性规划计算，具备一定的准确性和可信度，
然而此模型虽然是以最优化为目的来筹备会议但也存在着诸多不足之处须待改进：
（1）通过对往届的分析所算出的这届与会人数不足够精确，有可能会与预算的人数有出入，造成有的代表没有安排到房间或者有的房间没有代表入住，不过这种误差不会太大。
（2）在分配宾馆与房间的问题上由于价格的差异可能同一要求的代表对其分配结果不满意，应该多考虑一些代表的利益。
（3）在宾馆的入住率的问题上出现了一些误差，宾馆8及宾馆9的入住率不到50%，与假设有一定差异，应在仔细分配一下宾馆使代表更为集中。
（4）对于要步行的代表来说他们之中有可能会希望坐车去开会，而发车的时间却不能合他们的意愿，使其这些代表被迫走路去开会，这样就可能会造成有些代表的不满，应当在分配车和路线的问题上考虑的多一些。
最后对这个会议的花费情况我们做了如下总结：
表1宾馆花费
宾馆代号
客房
规格
间数
价格（天）
总计
②
普通双标间
50
140元
7000元
商务双标间
35
160元
5600元
豪华双标间A
2
180元
360元
豪华双标间B
0
200元
0元
⑤
普通双标间A
35
140元
4900元
普通双标间B
35
160元
5600元
豪华双标间
0
200元
0元
⑥
普通单人间
40
160元
6400元
普通双标间
40
170元
6800元
商务单人间
30
180元
5400元
精品双人间
30
220元
6600元
⑦
普通双标间
35
150元
5250元
商务单人间
35
160元
5600元
商务套房（1床）
0
300元
0元
⑧
普通双标间A
40
180元
7200元
普通双标间B
40
160元
6400元
高级单人间
30
180元
5400元
⑨
普通双人间
30
260元
7800元
普通单人间
42
260元
10920元
豪华双人间
40
280元
11200元
豪华单人间
0
280元
0元
表2会议室花费
宾馆代号
会议室
规模
间数
价格（半天）
⑦
140人
2
800元
⑧
130人
2
800元
⑨
120人
2
800元
表3客车花费
客车
种类
辆数
车次
车费（半天）
33
2
2
1200
33
2
2
1200
45
2
2
1900
表4总费用（元/天）
类别
花费金额
住宿
81420
会议室
4800
车辆
9600
筹委会总花费
14400
所有总花费
95820
参考文献
[1]
[2]
[3]
[4]姜启源、谢金星等，数学模型（第三版）高等教育出版社，2003.8
[5]蔡常丰，数学模型建模分析，科学出版社，1995.
[6]白其峥等，数学建模案例分析，海洋出版社，
[7]叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（三），湖南教育出版社，1998.
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[9]许道云，课程安排问题的数学模型及评价方法，贵州大学学报（自然科学版），第15卷，第四期：
264-269，1998年11月。
附录
附表110家备选宾馆的有关数据
宾馆代号
客房
会议室
规格
间数
价格（天）
规模
间数
价格（半天）
①
普通双标间
50
180元
200人
1
1500元
商务双标间
30
220元
150人
2
1200元
普通单人间
30
180元
60人
2
600元
商务单人间
20
220元
②
普通双标间
50
140元
130人
2
1000元
商务双标间
35
160元
180人
1
1500元
豪华双标间A
30
180元
45人
3
300元
豪华双标间B
3
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