最新职高复习第一轮教案04平面向量.docx

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最新职高复习第一轮教案04平面向量

向量的加法与减法运算

一、高考要求：

掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律.

二、知识要点：

1.已知向量、,在平面上任取一点A,作,,作向量,则向量叫做向量与的和（或和向量）,记作+,即.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.

2.已知向量、,在平面上任取一点A,作,,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量=+=+.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.

3.已知向量、,在平面上任取一点O,作,,则+=,向量叫做向量与的差,并记作-,即=.由此推知:

（1）如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量;

（2）一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量;

（3）一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量.

4.向量加法满足如下运算律:

（1）;

（2）.

三、典型例题：

例1:

已知任意两个向量、,不等式≤是否正确?

为什么?

例2:

作图验证:

.

四、归纳小结：

1.向量的加法有三角形法则（）或平行四边形法则（+=）,向量的减法法则（）.

2.向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.

3.任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量（相对于一个基点）.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1.化简的结果为（）

A.B.C.D.0

2.在△ABC中,,则等于（）

A.B.C.D.

3.下列四式中不能化简为的是（）

A.B.

C.D.

4.如图,平行四边形ABCD中,下列等式错误的是（）

A.B.

C.D.

5.下列命题中，错误的是（）

A.对任意两个向量、,都有≤

B.在△ABC中,

C.已知向量,对平面上任意一点O,都有

D.若三个非零向量、、满足条件,则表示它们的有向线段一定能构成三角形

6．下列等式中，正确的个数是（）

:

①;②;③;④;⑤.

A.2B.3C.4D.5

（二）填空题：

6.在△ABC中,=,=.

7.化简:

=,=.

（三）解答题：

8.若某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北方向位移50m到达点C,再从点C向北偏西方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.

平行向量和轴上向量的坐标运算

一、高考要求：

掌握向量平行的条件,理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标及其运算.

二、知识要点：

1.平行向量基本定理:

如果向量,则的充分必要条件是,存在唯一的实数,使.该定理是验证两向量是否平行的标准.

2.已知轴,取单位向量,使与同方向,对轴上任意向量,一定存在唯一实数x,使.这里的x叫做在轴上的坐标（或数量）,x的绝对值等于的长,当与同方向时,x是正数,当与反方向时,x是负数.

（1）设,,则①当且仅当;②=.

这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.

（2）向量的坐标通常用AB表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙尔公式:

AB+BC=AC.

（3）轴上向量的坐标运算:

起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.即在轴x上,若点A的坐标为,点B的坐标为,则AB=.可得到数轴上两点的距离公式:

.

三、典型例题：

例1:

已知:

MN是△ABC的中位线,求证:

.

例2:

已知:

试问向量与是否平行?

并求.

例3:

已知:

A、B、C、D是轴上任意四点,求证:

四、归纳小结：

1.平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式,应用这一定理,可以通过向量的运算解决几何中的平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式.

2.数轴上任一点P相对于原点O的位置向量的坐标,就是点P的坐标,它建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1.如果,那么与的关系一定是（）

A.相等B.平行C.平行且同向D.平行且反向

2.若,且,则四边形ABCD是（）

A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.菱形

3.“”是“且”的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

（二）填空题：

4.若,那么与的关系是.

5.在轴上,若,则=.

6.已知:

数轴上三点A、B、C的坐标分别是-5、-2、6,则=,=,=.

向量的长度和中点公式

一、高考要求：

熟练掌握向量的长度（模）的计算公式（即两点间的距离公式）、中点公式.

二、知识要点：

1.向量的长度（模）公式:

若,则;

若A,B,则.

2.中点公式:

若A,B,点M（x,y）是线段AB的中点,则

.

三、典型例题：

例1:

已知平行四边形ABCD的顶点A（-1,-2）,B（3,1）,C（0,2）,求顶点D的坐标.

例2:

已知A（3,8）,B（-11,3）,C（-8,-2）,求证:

△ABC为等腰三角形.

四、归纳小结：

向量的长度公式、距离公式是几何度量的最基本公式,中点公式是中心对称的坐标表示.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1.已知向量=（3,m）的长度是5,则m的值为（）

A.4B.-4C.±4D.16

2.若A（1,3）,B（2,5）,C（4,2）,D（6,6）,则（）

A.B.C.D.

3.已知平行四边形ABCD的顶点A（-3,0）,B（2,-2）,C（5,2）,则顶点D的坐标是（）

A.（0,4）B.（2,2）C.（-1,5）D.（1,5）

4.已知点P的横坐标是7,点P到点N（-1,5）的距离是10,则点P的坐标是（）

A.（7,11）B.（7,-1）C.（7,11）或（7,-1）D.（7,-11）或（7,1）

（二）填空题：

5.已知A（-3,4）,B（4,-3）,则=,=,线段AB的中点坐标是.

6.已知点P（x,2）,Q（-2,-3）,M（1,1）,且,则x的值是.

（三）解答题：

7.已知点A（5,1）,B（1,3）,及,,求的坐标和长度.

向量的射影与内积

一、高考要求：

了解向量在轴上投影的概念,掌握向量在轴上投影的数量计算,熟练掌握向量内积的概念及其运算性质,初步掌握向量的应用.

二、知识要点：

1.以x轴的正半轴为始边,以射线OA为终边的角,叫做向量的方向角.向量在轴上的投影数量为.

2.两个向量,的内积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系:

（1）两个向量的内积等于一个向量的长与另一个向量在这个方向上正投影数量的乘积,即

;

（2）两个向量的内积等于这两个向量的模与它们夹角的余弦的积,即

;

（3）两个向量的内积是数量而不是向量.

3.内积运算的性质:

（1）如果是单位向量,则;

（2）;

（3）或;（4）;（5）.

4.向量内积的坐标运算与运算律:

（1）向量内积的坐标运算:

已知,则;

（2）内积的运算律:

交换律;结合律;

分配律.

三、典型例题：

例1:

在直角坐标系xOy中,已知的方向角为60,的方向角为180,的方向角为300,且它们的长度都等于2.

（1）求,,的坐标;

（2）求证:

++=.

例2:

已知,,求、、、.

四、归纳小结：

要求会根据已知条件,求向量在轴上的投影数量;能直接用向量的内积公式,求两向量的内积或夹角;会证明两向量互相垂直.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1.下面命题正确的是（）

A.向量的方向角在[0,]之间B.向量在x轴的正投影的数量总是正数

C.0≤≤≤,（是两个非零向量）D.两个向量的内积仍是向量

2.若=0,则（）

A.B.C.或D.

3.四边形ABCD中,,,则四边形ABCD是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

（二）填空题：

4.已知=6,在方向上的正投影数量为-8,则=.

5.若,,则=,=.

6.已知=50,的方向与轴的正方向转角为135,则在上的正射影的数量是.

（三）解答题：

7.在直角坐标系xOy中,已知的方向角为0,的方向角为120,的方向角为240,且它们的长度都等于5.

（1）求,,的坐标;

（2）求证:

++=.

8.已知点A（2,1）,B（3,5）,C（-2,2）,求证△ABC为等腰直角三角形.

一、选择题

1、下列命题正确的是（）

A）对向量，，如果＝-2，则与是相反向量。

B）+＋=。

C）若，是两个单位向量，则｜｜＝｜｜且＝。

D）若//，则0。

2、下列命题错误的是（）

A）向量＝（－1,2）与＝（2，-4）互相平行。

B）若向量＝（1，2）与＝（2，y）互相垂直，则y=-1。

C）向量＝（0，1）与＝（1，）的夹角为30。

D）若（-）＝5，则｜-｜＝5。

3、在平行四边形ABCD中，与平行的是（）

A）+B）-C）-D）

5、已知（-）＝8，=4，那么︱|+||=（）

A）4B）8C）16D）20

6、在ABC中，a=5,b=2，∠C=60,则=（）

A）5B）-5C）10D）-10

7、已知向量=（1，b），向量⊥，且=，则的坐标可以表示为（）

A）（1，b）B）（b，1）C）（-b，1）D）（－b，－1）

8、已知向量＝（1,2），＝（－3，2），且（k+）与（－）垂直，则实数k＝（）

A）0B）-1C）1D）3

9、直线L上的两点A（-1，2），B（3，-6），与向量垂直的向量是（）

A）（4，2）B）（-4，2）C）（2，8）D）（8，-4）

10、已知||=，=（-1，3），且//，且、的方向相反，则=（）

A）（-，）B）（，-）C）（，）D）（-，-）

11、已知||=2，||=6，且3（）=-9，则与的夹角=（）

图1-2大学生购买手工艺品可接受价位分布A）B）C）D）

12、若平面向量与=（1，2）的夹角是180，且||=3，则=（）

A）（-3，6）B）（-3，-6）C）（6，-3）D）（-6，3）

二、填空题

附件

（二）：

调查问卷设计13、已知||=1，||=2，且|-|=2，则|+|=。

15、已知||=4,||=5，与的夹角30，则（3+2）·=。

16、已知=（-1，2），则与垂直的单位向量=。

大学生对手工艺制作兴趣的调研18、已知向量＝（1,－2），＝（，3），＝（2，1），且2－与平行，则＝　　　　。

可见“体验化消费”广受大学生的欢迎、喜欢，这是我们创业项目是否成功的关键，必须引起足够的注意。

三、解答题（共50分）

5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受？

21、设+＝（4，－2）与－2＝（1,-8），求向量2与-夹角的正弦值。

（12分）

（1）位置的优越性

新材料手工艺品。

目前，国际上传统的金银、仿金银制成饰品的销售在逐步下降，与此形成鲜明对比的是，数年以前兴起的崇尚然风格、追求个性的自制饰品--即根据自己的创意将各种材质的饰珠，用皮、布、金属等线材串出的品，正在各国的女性中大行其道。

22、已