西工大数学建模论文.doc

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第九届西北工业大学数学建模竞赛暨

全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目

A（B）题

密封号

2011年5月3日

剪切线

密封号

2011年5月3日

学院第队

队员1

队员2

队员3

姓名

班级

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摘要

近几年，房价过快上涨，使人民群众买房难，因此研究影响房价的主要因素以及房价与其之间的关系十分重要。

分析题目，我们分为三个问题进行讨论建模：

问题一，房价合理性评判；问题二，未来房价走势；问题三，后期房价的应对。

本文针对影响房价的因素，主要考虑以下几点：

地价，人均年收入，建材价格，人均GDP、房屋贷款利率和居民消费水平。

通过线性拟合，找出各影响因素与房价的关系，确定出主要影响因素为：

地价，人均年收入，人均GDP和居民消费水平，进而得出因素与房价之间的互动影响。

问题一中针对各代表性城市现今房价是否合理的问题，我们以代表性城市上海、西安为例，采用了经济学领域的关于正态分布的模型，评定房价的合理性，同时根据我们确定出来的数据与世界银行房价评判标准进行进一步评判。

针对问题二，鉴于房价所涉及的系统为灰色系统，而影响房价的因素很多，我们利用灰色预测法来作预测，灰色系统，即将杂乱无章的数据列进行整理、生成，将空缺的数据通过计算加以补充，用整理过的数据列建立模型并通过它进行决策和预测，将结构、关系、机制不清楚的对象、过程、系统作灰色预测以进行提前控制。

房价变化涉及的系统包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。

针对问题三，建立适当的模型对各因素与房价的相关性进行检验；至于对经济发展的影响，须考虑房价与各个因素之间的互动性，便于充分利用搜集的相关数据进行模型的检验。

利用影响因素，通过对模型的综合分析，我们提出了各种改进措施并得出了对经济影响的一些结论。

本文的主要特色为：

我们分析了房价变化这一系统的特点，有针对性的构建模型，并抓住了影响房价的主要因素，建立的模型精确实用，而且容易理解。

同时我们根据模型对未来代表性城市的房价进行了预测与评估，并提出了合理实用的改进措施，不仅具有研究参考价值，而且对于决策者有很好的指导意义。

一．问题重述

房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。

我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。

要求就一下方面进行分析：

根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。

根据赛题的要求，我们将题目分割为三部分并分别建模。

模型一为房价合理性分析模型，模型二为房价未来走势预测模型，模型三为后期房价应对模型。

二、问题分析

题目要求依据建筑成本、居民收入等影响房价变化的因素，对具有代表性城市的房价进行合理性定量评估并定量预测房价未来走势、控制合理房价的措施和对经济发展的影响。

我们将问题进行分述如下三个部分，并对其分别建模：

一、房价合理性分析模型

考虑评判房价的合理性，我们首先想到与房价密切相关的各种因素，认为房屋的合理定价应该由房屋所在城市的经济发达程度、环境优美度、居民归属感等生活标准来反应，而这些项目又有很多是难以量化的指标，因此我们采用了城市居民年人均收入刻画生活标准。

房屋的价格应该满足本市居民的居住需要，于是这部分我们没有引入投资等市场因素。

二、房价未来走势模型

房价未来走势受很多因素影响，比如地价、居民平均收入水平、理想房价和市场供求关系等。

但是这些因素之间相互作用、相互影响，这些属于系统分析的内容，起初我们考虑将运用数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析等方法来进行房价系统分析。

但是由于这些方法必须要有大量的数据，而且要求我们所选取的主要因素即地价、居民平均收入水平、理想房价和市场供求关系等与房价系统之间呈现一定的线性关系且各个因素无相关性，显然，我们所能获得是数据不具备上述特征，因此，我们必须设想利用其它模型。

鉴于房价所涉及的系统为灰色系统，而影响房价的因素很多，我们利用灰色预测法来作预测，灰色系统，即将杂乱无章的数据列进行整理、生成，将空缺的数据通过计算加以补充，用整理过的数据列建立模型并通过它进行决策和预测，将结构、关系、机制不清楚的对象、过程、系统作灰色预测以进行提前控制。

正如前面所说，房价变化涉及的系统包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。

因此这部分我们采用了灰色预测模型，避免了考虑单个量对经济走势的影响情况，关注在这些因素共同作用下的经济走势，并对房价的未来变化进行了预测。

三、后期房价应对模型

要求我们根据前面的分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响。

提出控制房价使之合理的措施，涉及到影响房价的具体因素。

所以，我们必须建立适当的模型对各因素与房价的相关性进行检验；至于对经济发展的影响，须考虑房价与各个因素之间的互动性，便于充分利用搜集的相关数据进行模型的检验。

三、数学模型的建立及求解

3-1城市房价合理性模型与符号说明

模型假设：

1、本模型主要考虑到应届毕业生等初次购房者的购买情况，不考虑投资购房群体，理由是投资者生活有所保证，投机行为可以由市场进行调节，合理性应该反映房屋真正需求者购房难度。

2、本模型假定城市居民收入与收入对应的人口数成正态分布。

符号说明：

:

单位面积商品房售价

:

当地人均住房居住面积

:

预期使用当年全年收入归还房贷所需年数

:

购买商品房支付的总价

:

房产税率、贷款利息等附加费用

:

当地人均年收入

模型建立

若以当地人均年收入作为人口收入正态分布模型的x=0，人均年收入的倍定为x=n，则x~N（0,1），函数图象如图3-1（a）所示。

图3-1（a）

令Te年内可用全年工资购买人均住房面积住房的下限倍率为Br。

根据假设一，本模型考虑对象为应届毕业生等初次购房者，国家对于这些群体的税费及银行贷款的政策都有相应的优惠，故这些因素暂予以忽略，对Br进行了简化：

一．以上海市区居民购房为例（数据见表3-1-1）

年份

住房面积（）

商品房销售均价（元每平方米）

人均年收入（元）

2002

13.1

5539

13250

2003

13.8

6032

14867

2004

14.8

6640

17175

2005

15.5

6952

18645

2006

16

8102

20668

2007

16.5

10293

23623

2008

16.9

13659

26675

2009

17.2

15467

28838

2010

17.8

19168

31838

表3-1-1

令能够使用Te年全年收入购买人均住房面积住房的人口比例为P，假设5年为合理还贷期，通过查阅标准正态分布表，得到的年份、Br值及P值如表3-1（a）所示。

从表中可以看出，从2002年以来，在不计算贷款利率及房产税率的情况下，能够用5个整年工资来购买人均住房面积住房的上海市区居民的比例一直低于50%，并且每年都呈下降趋势，特别是在2006年炒房潮爆发以后，比例加速下降，直到2010年竟然下降到13.6%。

作者查询了相关的资料，发现加拿大等欧美国家的房屋均价折合成人民币和上海现在的房价相差无几，但收入水平却远高于上海市民的收入水平，于是造成了加拿大居民和上海居民的生活水平的巨大差距。

同时，资料显示，加拿大中产阶级房屋贷款限额是年收入的3倍，这个比例对于上海中产阶级来说，可能都难以支付房屋购买的首付。

随着上海的发展及其成为了亚洲第一大港，房屋价值的增长也是正常的现象，但房屋价格的高速增长不符合上海本地居民的人均收入水平，因此我们认为2006年以来上海高速增长的房价是不合理的。

年份

Br

P

2002

0.131

0.448

2003

0.163

0.435

2004

0.195

0.423

2005

0.208

0.417

2006

0.327

0.372

2007

0.523

0.298

2008

0.791

0.214

2009

0.884

0.189

2010

1.1

0.136

表3-1-1（a）

二．以西安市区居民购房为例（数据如表3-1-2所示）

年份

住房面积

单位面积住宅销售价格

西安市人均年收入

2008

17.0

4397

15207

2009

17.6

4913

18963

2010

18.2

5398

21807

表3-1-2

西安市区居民购房情况表采用了2008至2009年度的数据。

同样以五年作为合理还贷期，计算得到表3-1-2（a）。

年份

Br

P

2008

-0.02

0.508

2009

-0.133

0.553

2010

-0.15

0.56

表

3-1-2（a）

从表中我们可以看到，西安的房价从2008年到2010年有上涨，但是城市居民收入水平也有了比较大的提高，使得能够使用5年全年工资还清购房债务的人口比例保持稳定并有所上升。

这说明西安的房价比较稳定合理。

三．使用世界银行房价收入比进行判断

：

每户住房总价

：

人均住房面积

：

每户家庭平均人口数

：

单位面积住宅平均销售价格

：

每户家庭年总收入

：

家庭人均全部年收入

：

收入房价比

以上海为例，可计算出其2002-2010年的房价收入比，见表3-1-1-3（a）。

年份

房价收入比

2002

5.47

2003

5.6

2004

5.72

2005

5.52

2006

6.27

2007

7.19

2008

8.65

2009

9.23

2010

10.72

表3-1-1-3（a）

从表中我们也可以发现房价收入比从2006年开始超出了正常标准3到6，出现了畸形的房市过热现象。

和项目所建合理性模型显示的2006年后城市居民住房购买力下降的现象吻合。

而西安市2002年至2010年的房价收入比，如表3-1-1-3（b）所示，相对较为稳定，在3到6倍的正常范围内。

年份

房价收入比

2008

4.91

2009

4.56

2010

4.51

表3-1-1-3（b