西安交通大学复变函数考试题及解答1.doc

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西安交通大学考试题复变函数（A卷）

一、填空题（每题4分，共20分）

1______________

2

3幂级数的收敛半径R=______________

4____________________

5函数将平面上的曲线变为平面上的

（）

二、单项选择题（每题4分，共20分）.

1设，则是的【　　】

A．可去奇点B．本性奇点C．极点D．非孤立奇点.　　　

2设为正整数，则为【　　】

A．0B．C.D.　　　　

3级数在上【　　】

A．收敛B．发散C．既有收敛点也有发散点D．不确定

4【　　】

A．B.C.D.

5设，则在复平面上所有有限奇点处的留数之和等于【　　】

A．B.　C.10　D.0　　　　　

三（10分）讨论函数的可微性与解析性。

四（10分）设在内解析，且，，试计算积分

并由此得出之值。

五（10分）已知调和函数。

求共轭调和函数及解析函数。

六（12分）求函数在以下圆环域内的Laurent展式:

（1）；

（2）。

七（10分）求解无穷积分:

。

八（8分）求将圆，相交且包含的区域映为的映射,同时作图演示映射过程。

西安交通大学考试试题标准答案与评分标准

一、填空题（每题4分，共20分）

1.;2.;3.;4.;

5.

二、单项选择题（每题4分，共20分）.

1.B2.A3.C4.D5.A

三解:

因为，所以，

所以。

要使得，即，则必须有。

故仅在直线上，C-R方程成立，且偏导数连续。

从而仅在直线上可微，但在z平面上，却处处不解析。

并且。

四解:

由高阶导数公式

。

又由复积分计算公式

即

五解:

（解法一）用R-C条件。

因为，所以

，从而推出。

又因为，所以。

于是。

所以

。

令得，所以。

（解法二）线积分法。

同解法一，得。

六解:

（1）当时，。

两边求导得

。

于是。

（2）当时，。

两边求导得

。

于是。

七解：

。

函数在上半平面有二级极点，且

，

则，所以

。

八解:

（1）先用将圆弧域映为角形域，其中分别映为，线段映为负实轴。

（2），将角形域旋转，映为第一象限。

（3）最后，将第一象限映为。

所以，复合以上变换，得到的映射为

。