线线角-线面角-二面角的讲义汇总.doc
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线线角与线面角
一、课前预习
1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分别为AB、CD的中点且EF=，AD、BC所成的角为.
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）
（A）. （B）. （C）. （D）.
3.平面与直线所成的角为,则直线与平面内所有直线所成的角的取值范围是．
4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为
（A）.30ο （B）.45ο （C）.60ο （D）.90ο
5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο,∠C=90ο,BC是贴于桌面上,
当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值
是．
二、典型例题
例1.（96·全国）如图,正方形ABCD所在平面与正方形
ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.
【备课说明:
1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有:
①平移法:
在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:
把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】
例2.如图在正方体AC1中,
（1）求BC1与平面ACC1A1所成的角;
（2）求A1B1与平面A1C1B所成的角.
备课说明:
求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线.作垂线的方法常采用:
①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.
例3.已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=.
（1）若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：
EF⊥FC1;
（2）试问:
若AB=,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?
证明你的结论.
备课说明:
这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解
决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,
从而判断命题是否成立.
一、知识与方法要点：
1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。
若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。
2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角（要证明）。
作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。
若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。
3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。
两个平面垂直的性质定理是：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
二、例题
例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．
（1）求证：
AC1⊥平面A1BD．
（2）求BM与平面A1BD成的角的正切值．
解：
（1）连AC， ∵C1C⊥平面ABCD，
∴C1C⊥BD．
又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B
∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．
（2）设正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．
连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在中，，，∴．
例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，
使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．
（1）求证：
面ABP⊥面ABC；
（2）求二面角C-BP-A的余弦值．
证明
（1） 由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．
（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．又由
（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．
设，则，，．
例3．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面．
（1）求证：
；
（2）若，求平面与平面
所成二面角（锐角）的度数．
证明：
在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂足，如图，
∵面AEC⊥面AC，∴EG⊥侧面AC．
取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．
∵面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，
得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC于FG．
∵BE∥侧面AC，∴BE∥FG，四边形BEGF是，BE＝FG．
∴BE∥AA，∴FG∥AA，△AAC∽△FGC．
解：
（2）分别延长CE和C1B1交于点D，连结AD．
∵∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝90°，即DA⊥AC．∵CC⊥面ACB，
由三垂线定理得DA⊥AC，所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°．
∵CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角为45°．
说明：
如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．
三、作业：
1．已知平面 的一条斜线a与平面 成 角，直线b ，且a,b异面，则a与b所成的角为 （A）
A．有最小值 ，有最大值 B．无最小值，有最大值。
C．有最小值 ，无最大值 D．有最小值 ，有最大值 。
2．下列命题中正确的是 （D）
A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个
B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个
C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条
D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个
3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为
45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （A）
A．30 B．20 C．15 D．12
4．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是 （C）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，则它的侧棱与底面所成的角为
6．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（Ⅰ）求证：
AB⊥CD；（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.
7．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：
CE与底面BCD所成角的正弦值．
解 过A，E分别作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O为垂足，
∴AH2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，
∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD
∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心，
连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，
，在Rt△ADH中，
8．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．
求证：
（1）EF⊥DC；
（2）平面DBC⊥平面AEF．
证明 如图1-83．
（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．
∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD（三垂线定理）．
∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．
（2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD面BCD．∴面AEF⊥面BCD．
（3）由EF⊥CD，AE⊥CD∴AEF为二面角B-DC-A的平面
又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D∴AF⊥平面DBC，
二面角题目：
如图所示，已知面，，二面角的平面角为，求证：
2．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，求二面角的大小。
例3．设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点，，
求
（1）AC与平面BCD所成角的大小；
（2）二面角的大小；
（3）异面直线AB和CD所成角的大小。
例4.在正方体中，为的中点，求截面与底面所成较小的二面角的大小。
选用：
如图，正方体的棱长为1，，求：
（1）与所成角；
（2）与平面所成角的正切值；
（3）平面与平面所成角
解：
（1）∵∴与所成角就是
∵平面∴（三垂线定理）
在中，∴
（2）作，平面平面
∴平面，为与平面所成角
在中，∴
（3）∵∴平面
又∵平面∴平面平面
即平面与平面所成角为
二面角大小的求法
二面角的类型和求法可用框图展现如下：
一、定义法：
直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
P
O
B
A
例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.
例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。
二、三垂线定理法：
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
O
例、（2003北京春）如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.
C
D
P
M
B
A
例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。
求
（1）二面角P—BC—A的大小；
（2）二面角C—PB—A的大小
例、（2006年陕西试题）如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：
二面角A1－AB－B1的大小.
图4
B1
A
A1
B
L
E
F
三、垂面法：
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
P
l
C
B
A
例、空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.
四、射影法：
（面积法）
利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，
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