一元二次方程韦达定理应用.docx

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一元二次方程韦达定理应用

一元二次方程韦达定理应用

一．选择题（共16小题）

1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（　　）

A．﹣2B．2C．±2D．4

2．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（　　）

A．﹣4B．2C．4D．﹣3

3．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）

A．2014B．2015C．2016D．2017

4．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（　　）

A．有两个正根

B．有两个负根

C．有一正根一负根且正根绝对值大

D．有一正根一负根且负根绝对值大

5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（　　）

A．1B．3C．﹣5D．﹣9

6．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）

A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2

7．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+=（　　）

A．B．1C．D．

8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1B．k＜0C．﹣1＜k＜0D．﹣1≤k＜0

9．已知方程x2﹣2（m2﹣1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m的值是（　　）

A．m=±1B．m=﹣1C．m=1D．m=0

10．已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（　　）

A．B．C．﹣D．﹣

11．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）

A．5B．﹣1C．2D．﹣5

12．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0

13．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）

A．2014B．2015C．2012D．2013

14．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：

①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

15．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（　　）

A．3B．1C．3或﹣1D．﹣3或1

16．设a，b是方程x2+x﹣2011=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）

A．2009B．2010C．2011D．2012

二．填空题（共30小题）

17．已知：

一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为　　．

18．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是　　．

19．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=　　．

20．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=　　．

21．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为　　．

22．某学生在解一元二次方程x2﹣2x=0时，只得出一个根是2，则被他漏掉的另一个根是x=　　．

23．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为　　．

24．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是　　．

25．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　　．

26．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为　　．

27．已知a+b=3，ab=﹣7，则代数式2a2+b2+3b的值为　　．

28．已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=　　．

29．已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．则的值为　　．

30．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=　　．

31．阅读材料：

设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2=﹣，x1•x2=根据该材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两实数根，则的值为　　．

32．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：

①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是　　．（填上你认为正确结论的所有序号）

33．若两个不等实数m、n满足条件：

m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是　　．

34．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则=　　．

35．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为　　．

36．若α，β是方程x2﹣3x+1=0的两个根，则α2+αβ﹣3α=　　．

37．已知x1，x2是方程x2+4x+k=0的两根，且2x1﹣x2=7，则k=　　．

38．设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a=　　．

39．设α和β是方程x2﹣4x+3=0的二根，则α+β的值为　　．

40．已知实数a、b（a≠b）分别满足，，试求的值　　．

41．设A是方程x2﹣x﹣2009=0的所有根的绝对值之和，则A2=　　．

42．已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=　　．

43．若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2007=0，b2﹣b﹣2007=0，则：

=　　．

44．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是　　．

45．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：

（1）x1≠x2；

（2）x1x2＞ab；（3）x12+x22＞a2+b2，

则正确结论的序号是　　．（在横线上填上所有正确结论的序号）

46．如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式，则实数m的取值范围是　　．

三．解答题（共4小题）

47．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根．

（1）求m的取值范围

（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．

48．已知一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两实数根为x1、x2，不解方程，求代数式的值．

49．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？

若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

50．填表解题：

方程

两根x1，x2

x1+x2=

x1x2=

x2+2x+1=0

x2﹣3x﹣4=0

x2+4x﹣7=0

上表你能猜想若x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a不等0）的两根则x1+x2=　　，x1x2=　　

利用你的猜想解下列问题：

（1）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根求，x12+x22和（x1+2）（x2+2）的值．

（2）已知2+是方程x2﹣4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值．

一元二次方程韦达定理应用

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）

1．（2017•邕宁区校级模拟）若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（　　）

A．﹣2B．2C．±2D．4

【分析】设这两根是α、β，根据根与系数的关系及相反数的定义可知：

α+β=m2﹣4=0，进而可以求出m的值．

【解答】解：

∵方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根是互为相反数，

设这两根是α、β，则α+β=m2﹣4=0，

解得：

m=±2，

但当m=2时，原方程为：

x2+2=0，方程没有实数根，

故m=﹣2．

故选A．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及其应用，注意最后所求的值一定要代入检验．

2．（2017•西青区一模）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（　　）

A．﹣4B．2C．4D．﹣3

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出另一根．

【解答】解：

设一元二次方程的另一根为x1，

则根据一元二次方程根与系数的关系，

得1+x1=﹣3，

解得：

x1=﹣4．

故选A．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：

x1+x2=﹣，x1•x2=．

3．（2017•黔东南州二模）设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）

A．2014B．2015C．2016D．2017

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=﹣a+2017，则a2+2a+b=2017+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算．

【解答】解：

∵a是方程x2+x﹣2017=0的根，

∴a2+a﹣2017=0，

∴a2=﹣a+2017，

∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b，

∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，

∴a+b=﹣1，

∴a2+2a+b=2017﹣1=2016．

故选C．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．

4．（2017•和平区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（　　）

A．有两个正根

B．有两个负根

C．有一正根一负根且正根绝对值大

D．有一正根一负根且负根绝对值大

【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况．

【解答】解：

∵a＞0，b＜0，c＜0，

∴△=b2﹣4ac＞0，＜0，﹣＞0，

∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大．

故选：

C．

【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

5．（2017•章丘市二模）已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（　　）

A．1B．3C．﹣5D．﹣9

【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解即可得出m+n=﹣3、mn=﹣2、m2+3m=2，将其代入m2+4m+n+2mn中即可求出结论．

【解答】解：

∵m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，

∴m+n=﹣3，mn=﹣2，m2+3m=2，

∴m2+4m+n+2m