第三章：一元函数积分学(上).doc
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第三章：
一元函数积分学
本篇重点是不定积分与定积分的概念与性质，变限定积分及其导数，不定积分和定积分的分部积分法和换元积分法，广义积分的概念和计算，定积分的应用．
§3.1不定积分
本节重点是不定积分的概念、不定积分的基本公式、不定积分的分部积分法和换元积分法，特别是求已知函数的不定积分．
●常考知识点精讲
一、基本概念
1．原函数
定义：
设函数在区间上有定义，若存在函数，使得在区间上处处有
，或
则称是在区间上的一个原函数．
如果有原函数，则有无穷多个原函数，且其全部原函数可表示为（其中是任意常数）
2．不定积分
定义：
函数在区间上的原函数的全体，称为在区间上的不定积分．记为
设是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即
二、基本性质
1．，或；
2．，或；
3．（为常数）；
4．．
三、基本积分公式
1．；
2．；
3．，；
4．；
5．
6．；
7．；
8．；
9．；
10．；
11．；
12．，；
13．，；
14．；
15．．
[例1.1]求下列不定积分
⑴⑵⑶
⑷⑸
解：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸．
四、不定积分法
1．第一换元法（凑微分）
定理：
设有原函数，可导，则有
．
常见的几种凑微分的形式：
⑴（）
⑵
⑶
⑷
⑸
（6）
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
[例1.2]求下列不定积分
⑴⑵⑶
⑷⑸（6）
解：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸；
（6）．
2．第二换元法
定理：
设函数具有连续导数，且，又设具有原函数，则有
．
常见的几种典型类型的代换
以下式子中表示的有理函数．
⑴，令；
⑵，令；
⑶，令；
评注：
上述三种变换称为三角代换．在变换后的积分运算中，往往会出现三角函数表达式，由于为新变量，因此计算结果必须换回原变量．为了计算方便，往往引入直角三角形，利用锐角三角函数定义来确定所需的三角函数值．
⑷，应先配方，再作三角代换；
⑸，令，其中是的最小公倍数；
（6），令；
⑺（其中为自然数），令；
⑻，令，称“万能”代换，非到不得已时不用．
[例1.3]求下列不定积分
⑴⑵⑶
⑷⑸
解：
⑴令，则
；
⑵令，则
；
⑶令，则
；
⑷令，则
；
⑸由于，所以令，则
，，，
从而
于是．
3．分部积分法
定理：
设函数具有连续导数，则有
常见的用分部积分的几种题型
以下式子中表示的次多项式
⑴，
⑵
⑶
评注：
上述三种类型中应选作公式中的．
⑷
⑸
（6）
评注：
上述三种类型中应选作公式中的．
⑺
⑻
评注：
上两种类型可以选作公式中的，也可以作公式中的．经过一次分部积分之后，并没有把积分难易程度转化，这时须再次施以分部积分，移项解方程可得．但是必须注意两次分部积分时，须使选取的为同一函数类型．
[例1.4]求下列不定积分
⑴⑵⑶
⑷⑸
解：
⑴
；
⑵
；
⑶
；
⑷
又
所以
故；
⑸
又
所以．
●●常考题型及其解法与技巧
一、概念、性质的理解
[例3.1.1]设在上有原函数，则下列命题中不正确的是
（A）的任意原函数在上连续．
（B）的任意两个原函数之差必为常数．
（C）的任意两个原函数之和必为2的原函数．
（D）若为的一个原函数，为连续函数，则必为的原函数．
解：
因为，故选（D）
[例3.1.2]在时，欲使等式成立，则
，．
解：
等式两端对同时求导可得：
所以
从而，故，．
[例3.1.3]设可导函数的原函数是，可导函数的原函数是，是在区间上的反函数，则．
（A）（B）
（C）（D）
解：
由反函数的定义可知：
，
由复合函数的求导法则可得：
，
而（A）的左端为，（C）的左端为，（D）的左端为，（A）、（C）、（D）都不正确．所以应选（B）．
二、分段函数的不定积分
求此类函数的不定积分时，先分别求出各区间段的不定积分表达式，然后由原函数的连续性确定出各积分常数的关系．
[例3.1.4]求下列不定积分
（1）求
（2）设，求
分析：
由于连续函数必定存在原函数，其原函数显然是连续的，故需利用原函数在分段点的连续性，定出各段积分常数的关系式．
解：
（1）将被积函数写成，则
于是，而原函数在处应连续，所以
，从而
因此．
（2）当时，
当时，
当时，
根据原函数的连续性，分别考虑在点处的左、右极限可知有
解之得，从而
．
评注：
若是的第一类间断点，则在包含的区间内不存在原函数．
三、不同类型函数乘积的不定积分
不同类型函数相乘积的不定积分一般用分部积分法来解决（有时需联合使用分部积分法与换元积分法）．
[例3.1.5]求下列不定积分
（1）
（2）（3）
解：
（1）原式．
而
故，原式．
（2）
．
（3）
．
四、有理函数的不定积分
分式有理函数的积分一般方法是将被积函数（如果是假分式的话）化为多项式与有理真分式的和，再把真分式分解成部分分式的和，然后分项积分．但当有理真分式的分母次数大于等于4时，用特殊的方法求解往往比较简单，常用的方法有凑微分和变量代换，特别当被积函数中的分母含有因子的自然数）一般可选倒代换消去被积函数分母中的变量因子．
[例3.1.6]求下列不定积分
（1）；
（2）；（3）．
解：
（1）设
所以可得
因此．
（2）令，则
所以
．
（3）
．
五、三角有理式的不定积分
三角有理式求不定积分的一般方法是：
利用“万能代换”把三角有理式化为有理函数的积分，但有时积分很繁琐，因此应尽量寻求简便的方法．
Ⅰ形如、和的积分
此类型的不定积分一般可用万能代换把三角有理式化为有理函数的积分．
[例3.1.7]求下列不定积分
（1）
（2）
解：
（1）令，则
（2）令，则
．
Ⅱ形如的积分
此类型三角有理式的不定积分解题的一般思路：
①令，求出常数；②．
[例3.1.8]求不定积分．
解：
令，则
所以=2．
Ⅲ形如（为整数）的积分
对于此类型的不定积分，解题思路有下列几种：
（ⅰ）若至少有一个是奇数（不论是正奇数还是负奇数），不妨设是奇数，则
；
（ⅱ）若都是正偶数，则利用公式，，
先将被积函数降幂，再积分；
（ⅲ）若都是负偶数，则将不定积分设法化成或的形式；
（ⅳ）若分别为正偶数和负偶数，可将被积函数中的（或）化成（或）形式．
[例3.1.9]求下列不定积分
（1）
（2）
（3）（4）
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
．
Ⅳ形如、和的积分
此类型的不定积分，应先利用三角函数的积化和差公式，将被积函数化为和、差形式，再求积分．
[例3.1.10]求不定积分．
解：
．
六、简单无理函数的积分
此类型的不定积分，一般应通过变量代换去掉根式将原积分化为有理函数的积分或基本公式中的形式再解之．
[例3.1.11]求下列不定积分
（1）
（2）
（3）（4）
解：
（1）令，原不定积分变为
（2）
令，所以原不定积分变为
（3）
令则，于是
原积分
（4）令，即，则
原积分
．
七、积分递推公式的建立
积分递推公式的推导一般利用分部积分法完成．
[例3.1.12]建立下列不定积分的递推公式
（1）
（2）
解：
（1）
所以．
（2）
所以，即．
八、其它
[例3.1.13]设是的一个原函数，，如时，有
求．
解：
由于是的一个原函数，所以，
故，因此
由，可得，从而，故．
[例3.1.14]设，且，求．
解：
因为，所以
又
于是．
[例3.1.15]设的一个原函数为，则．
解：
因为的一个原函数为，所以
故
．
§3.2定积分
本节重点是定积分的概念和性质，变上限的函数求导数，用换元积分法和分部积分法计算定积分．
●常考知识点精讲
一、定积分的概念
1．定义
定义：
设在上有定义且有界，作下述四步
①“分割”：
在内任意插入个点：
把区间分成各小区间：
；
②“作积”：
，其中，；
③“求和”：
；
④“取极限”：
，其中；
如果上述极限存在（与区间的分法及的取法无关），则称在上可积，并称上述极限值为在上的积分，记作．
评注：
当给定时，定积分是一个仅依赖于上限、下限的数，与积分变量无关．即
[例2.1]设为已知连续函数．，则的值
（A）依赖于和（B）依赖于，，
（C）依赖于和，不依赖于
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