合肥工业大学电磁场与电磁波孙玉发版第4章答案.docx
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合肥工业大学电磁场与电磁波孙玉发版第4章答案
合肥工业大学电磁场与
电磁波(孙玉发版)第4
章答案
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两边同乘以sin(—),并从o到“对y积分,得到
b
y.nny2U{}\11・严兀八」2U°b.川兀d、
A"二〒片产n(〒心+〒比-尹皿〒)2崙严(〒)
故得到必r,y)=组$+警£,sin(型)sin(空)e「曲bd7T畚,厂bh
如题图所示的导体槽.底面保持电位〃0,其余两浙电位为零,求槽内的电位的解。
解很据题意.电位(p(x.y)满足的边界条件为
根据条件①和
两边同乘以
編:
:
^(l-cos^=H7T
4久
H7T
0,
化0,y)=(pay)=0
做Xy)->0(y->oo)
(p(x^=U0
②•电位
(p(x,y)=yA,,e~n;rv;asin(-^-);由条件③,有i/0=V4sin(^~—)n-1an-lu
nnxA2U{}r./”兀兀、.
sin(——八并从o到。
对x积分,得到?
——sin(——)dx=aa*a
,?
=L3'5'-:
故得到於,刃=坐X丄严叫in(竺)
77=2,4,6,-.・71心・3・5・・・・"a
★【】一长.宽.商分别为".b.c的长方体表面保持零电位,体积内填充密度为
p=y(y-b)sin(—)sin(—)的电荷。
求体积内的电位久ac
解在体枳内•电位0满足泊松方程
c(pd(po(p1z八.刀X、・再兀、“、
+丰+卡=_一y(y_b)Sin(——)sin(——)
(1)
ox"dyozr吕)ac
长方体表面S上,电位0满足边界条件(p\s=0o由此设电位e的通解为
0(x,y,z)=丄ffA””pSin(化匕)sin(W_)sin(匕二),代入泊松方程
(1),可得
/w=iw=iP=iabc
mmgnn.舁皿宀
EEEA,uv,i(—)_+(vr+(Vr|x
/n=ln=lp=lGD“
jri7rx・,n7ry・nx.nz
sin()sin()sin()=y(y-Z?
)sm(——)sin(——)
abcac
x一
由此可得仏=0(加H1或"Hl):
XAhiK-)2+(^)2+(-)2]sin(^-)=y(y-b)
(2)
話abcb
[(—)2+(¥)'+(—)2]=:
Jy(y—b)sin(^-)dy=y(—)?
(cosnn-1)=abcbbnn
“=1,3,5,...0(x,y,z)=工;1;—sin(—)sin(^-)sin(—)
r心—眉(丄)2+(少+(丄)2]dbC
/?
=2,4,6,--・abc
★【】如题图所示的一对无限大接地平行导体板•板间有一与z轴平行的线电荷◎,其位宜为(0,〃)。
求板间的电位函数。
解由于在(0“/)处有一与z轴平行的线电荷如,以x=0为界将场空间分割为x>0和xvO两个区域.则这两个区域中的电位
%(九刃和02(匕刃都满足拉普拉斯方程。
而在x=0的分界面上,可利用5函数将线电荷如表示成电荷面密度b(y)=qQ(y-)b)。
电位的边界条件为
①
mnp
由式
(2).得
8戻
(帧)‘
0
y
丄
a
题图
0](X,O)=0](X,G)=O,卩(儿°)=02(X,d)=°
(p\(X,y)t0(x->oo)f(p2(x.y)->0(xt-s)
0i(ay)=02(°」)•
由条件①和②,可设电位函数的通解为
0心,刃=£A启一"®sin(空)
角Q
由条件③,有
(x>0)®(x,y)=YB严wsin(—-)(x<0)
n-lG
X4sin(^)=fBnsin(^)tia卅a
"、£JU竺)=鱼3(y-d)
d勺)
a
Xan
-工A”兰sin(竺)-工耳兰sin(
n-iuQk-1"
m7ry
由式
(1)•可得厲=氏(3):
将式
(2)两边同乘以sin(=)・并从0到“对歹枳分,有
nny
A+B=-2^-f°/(y-〃)sin(fdy=上^~sin(上$(4)
“碣J0an兀a
由式(3)和(4〉解得
G.nnd
A〃=e=^sm(——)n7T£{)a
故叭(x,y)=^S-sin(—K^sin(—)(x>0)
矶n^lflaCl
0(x,y)=丄血(旦)严眺sin(空)(x<0)
叭T^inaa
如题图所示的矩形导休槽的电位为零,槽中有一与槽平行的线电荷%。
求槽内的电位函数。
解由于在C5,y())处有一与z轴平行的线电荷g八以x=x0为界将场空间分割为
0而在x=x0的分界面上.可利用5函数将线电荷①表示成电荷而密度b(y)=aQ(y-)b)・电位的边界条件为
①01(0”)=0,02(",刃=0,②0i(x,O)二0(x,Z?
)=O,®(x,0)=®(xe)=0
③%(勺,)')=02(如,〉')(詈一讐)L-®=—学/(〉'一凡)由条件①和②,可设电位函数的通解为
01(俎y)=XArsin(-r-)smh(-—)(0bb
0,(x,y)=£B”sin(^^)sinh[?
("-_¥)](x0Mbb
由条件③,有
n/ry
S•(")*(>)
X4sin(牛药sinh(耳=£耳sin(牛丄)sinh[牛(a-x。
)]铝bb粽bb
□兀x(\、二c口兀.川兀y、.nn,“、
)一丫场〒sin(—j—)cosh[〒(a-x。
)]=一6(丁一儿)
(2)
结bbbs()
由式⑴,可得Asinh(n;rX<))-Bsinh[—(a-xo)]=O
bb
将式
(2)两边同乘以sin(冬竺),并从0到b对〉'积分,有
b
二▲nn・ii7ry\
S4TS1n(—)cosh(
w-1
从剧(罟)+恥两#(“-心)]=誥匸恥-北)血(罟)2=誥血(乎)⑷
由式(3)和(4)解得
4=——色sinh[—(«-x0)]sin(^^-)
sinh(ii7ra/b)h7T£()bh
B”=--sinh(竺勺)sin(竺蜀
sinh(n/rq〃)nrrs^bb
故也匕,),)=—£——sinh[牛⑺一勺)]•sin(气巴)sinh(罕3sin(罕J,(07T£(>nsinh(n7ra/b)bbbb
©(忑刃二玉工——sinh(^4•sin(^^)sinh[字("一x)]sin(乎),(xQ碣H□sinhQzwb)bbbb
若以y=)b为界将场空间分割为ovy<弘和)b®(圮刃=工—T:
——smh[——(b—儿)1・sin(—)sinh(—)sin(——)(0碣=“sinh(/?
7rp/a)aaaa
®(兀刃=——y——-■—smh()・sm(——)sinh[——(b-y)]sm(——)(y0亦()=nsmh(“/r®a)aaaa
*如題图所示,在均匀电场E()=s£o中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱•恻柱的半径为a。
求导体圆柱外的电位0和电场E以及导体表面的感应电荷密度bo
解在外电场E。
作用下,导体表面产生感应电荷.圆柱外的电位是外电场E。
的电位0。
与感应电荷的电位0〃的叠加。
由于导体恻柱为无限长.所以电位与变虽z无关。
在圆柱面坐标系中.外电场的电位为%(人O)=-E(d+C=-E(/cos0+C(常数C的值由参考点确定).而感应电荷的电位久(匚0)应与%(几0)—样按COS0变化.而且在无限远处为0。
由于导体是等位体,所以0(几。
)满足的边界条件为
①(pa(t))=c
②卩(匚。
)一>一耳/cos0+C(r—>oo)
由此可设卩(几。
)=-E0rcos^+Ajr"1cos0+C
由条件①,有-C)acos0+°cos0+C=C
于是得到4=a‘E(),故圆柱外的电位为(p(i\(/>)=(-r+a2rl)E0cos+C若选择导体圆柱表面为电位参考点,即0(d")=0.则C=0。
导体圆柱外的电场则为
d(p1d(pa1a2
E卞0(儿。
)er亦%厂诃-S(l+=)£oCos0+s(-l+=)EoSin0
导体圆柱表面的电荷面密度为b=一5严"、\=2^0E0cos^
dr
*如题图所示.一无限长介质圆柱的半径为介电常数为£,在距离轴线>a)处・有一与圆柱平行的线电荷才,il•算空间各部分的电位。
解在线电荷g作用下,介质圆柱产生极化,介质圆柱内外的电位卩(匚0)均为线电荷如的电位口(人0)与极化电荷的电位
冷(几0)的叠加.即卩(几0)=®(几0)+殊(匚0)。
线电荷①的电位为
而极化电荷的电位禺(匚0)满足拉普拉斯方程,且是0的偶函数。
介质恻柱内外的电位0(几0)和卩(匚0)满足的边界条件为分别为
①%(0,砒为有限值:
②02(人。
)一a•—>s)
③r=a时,(p\=(p、、£丝=£°^~drdr
由条件①和②可知,5(人0)和®(八0)的通解为
01(匚0)=冯(八。
)+工AnrHcosM
n-l
将式
(1)〜(3)带入条件③.可得到
(4)
xx
工Anancosn©=工Bn(r11cosn(/>
H-)/l-l
An£nal!
^+耳弘(厂心
(£一窃)/(/严
2知%
a4(£—£())1G(£—勺))d,
由此解得九=一一—,色=一———:
故得到圆柱内.外的电位分别为
2兀£()(£+£())"A)2/^()(£+£())M)
(8)
(p\(几0)=———InJr+?
;;-2rr()cos(/)-'(*—V-(―)r,cos询
2矶2碣(£+匂)的“)
%(r,0)=—InJr,+斥-2n£cos0-色“二包)y1(―)ncosn(/>
2矶2碣(£+匂)粽舁〃・
讨论:
利用式(6),可将式(8)和(9)中得第二项分别写成为
-•色心二包)V-(-)1'cosM=恥一®)(in尺一h“)
2碣(£+£(〉)帥r02矶(£+£o)
_恥-6)£丄(尤),0财=心一可(M一1")
2兀勺)(£+£())n-i戸人/2九%(£+£°)
其中R=yjr2+(a2/r())2-2r(«2/^)cos^。
因此可将%(几砒和⑺(匚°)分别写成为%(“)=—产泌In/?
—尔:
-%)严
2碣£+£()2碣(£+»)
卩心0)=_厶讪_1一(£7皿1叔_1(一勺皿1”
2矶£+2叭£+旬
由所得结果可知.介质圆柱内的电位与位于(G,0)的线电荷——G的电位相同,而介质恻柱外的电位相为干三根线电荷所产
£+£°
生,它们分别为:
位于(仏,0)的线电荷如:
位于(—.0)的线电荷一位于厂=0的线电荷仝』4。
心£+
*在均匀外电场E()=ezE{)中放入半径为“的导体球•设
(1)导体充电至
(2)导体上充有电荷0。
试分别讣算两种情况下球外的电位分布。
解
(1)这里导体充电至“°应理解为未加外电场E()时导休球相对于无限远处的电位为”,此时导体球面上的电荷密度cr=£{pja,总电荷q=47r“iUQ°将导体球放入均匀外电场中后,在E()的作用下.产生感应电荷.使球面上的电荷密度发生变化.但总电荷9仍保持不变,导体球仍为等位体。
设卩(八&)=%(/)+%(/),其中(pQ(r.0)=-Eoz=-Eorcos01是均匀外电场E()的电位.%(匚&)是导体球上的电荷
0(",0)=C(),_£()g乔dS=g
产生的电位。
电位卩(几&)满足的边界条件为
①厂tS时.>-E0rcos^:
②r=a时,
其中C°为常数,若适、“|选择0(匚&)的参考点,可使Cq=U°。
由条件①,可设
(p(r,O)=-EQrcos0+A{r~2cos0++G代入条件②.可得到A{=ayE().=aU()9C}=C()-U
若使G=U{).可得到
(2)导体上充电荷Q时.令Q=4^0«i/0,有i/0=
利用
(1)的结果,得到(P(0)=-Eorcos0+u'E^r2cos<9+
4矶旷
如题图所示.无限大的介质中外加均匀电场Eo’Ey在介质中有一个半径为"的球形空腔。
求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度(介质的介电常数为£)o
解在电场仇的作用下•介质产生极化,空腔表面形成极化电荷,空腔内.外的电场E为外加电场E。
与极化电荷的电场£卩的叠加。
设空腔内.外的电位分别为®(几&)和?
(八&),则边界条件为
①厂ts时,5(人°)t-£(/cos&:
②厂=0时,%(匚&)为有限值:
③r=a时.0](仏&)=%(“,&)•£()2^L=£^Ldrdr
由条件①和②,可设%(匚0)=-耳/cos&+A/cos&,(p2(r,0)=-EQrcos0+A2r^cos0
带入条件③,有
A^ci=A^u"f—£()E°+£(/]=—£耳)—2wa4
由此解得A-耳),A2=-^-~--a'E0
1£+2w+
3w
所以®(人0)=-———Eorcos0
Is+w()
空腔内、外的电场为
空腔表面的极化电荷面密度为
3匂(―t)EoCos&
2s+w()
一个半径为R的介质球帯有均匀极化强度Po
解以细导线恻环所在的球ifiir=a把场区分为两部分,分别写出两个场域的通解•并利用5函数将细导线恻环上的线电荷0表示成球面r=a上的电荷面密度
再根据边界条件确定
设球面r=a
③%(%)=02坨巒-勢L广島泌◎
根据条件①和②.可得0|(八&)和©(厂,0)的通解为
®(r,&)=£/W(cos&)
(1).(p2(r,6>)=2^Plt(cos0)
(2)
“■()口
代入条件③,有Anan=Bn(r1^(3)£[&加1+优(〃+1)八7比(cos&)=_J(cos^)(.4)
n=02隔X
将式(4)两端同乘以匕(cos&)sin&,并从0到兀对6进行积分,得
:
"+呼[J(cos0)Pn(cos0)sin060=
:
"+撃E(0)
47T£()cr
(5)
n=1,3,5,…
0
(_1)"/213
246…畀
由式(3)和⑸,解得An=/;r(0)t耳=纟一代(0),代入式⑴和
(2),即得到
4碣。
4矶
1一秒G)P,(COS6)4-
其中£(0)=
n=2,4,6,…
3
巳(COS&)+•…
中\=亠
4疋(Z
©2=4(~
★【】如题图所示,一个点电荷g放在60°的接地导体角域内的点(1,i,o)处。
求:
(1)所有镜像电荷的位宜和大小:
(2)点x=2.y=1处的电位。
解
(1)这是一个篡重镜像的问题,共有5个像电荷,分布在以点电荷g到角域顶点的距离为半径的圆周上•并且关于导体平面对其大小和位宜分别为
x:
=V2cos75°=0.366,
6,厂02=6
y;=V2sin75°=1.366
x;=V2cosl95°=-1.366丄="sin195°=—0.366Jx;=yflcos285°=0.366\y\=285°=-1.366
x;=V2cos315°=1
X=V2sin315°=-l
(2)点x=2.y=1处电位0(2,1,0)=1
7(叮听。
9+亂好
題图
P4(COS^)4-•…
(r(r>a)
xf2=佢cosl65。
=-1.366y;=Qsinl65°=0.366
纟+乞+鱼+©+2+鱼L
4亦八&R2R.&R5)
(1一0.597+0.292一0.275+0.348一0.477)=(7=2.88x10^(V)
4矶4矶