《正比例函数》教学设计和反思.docx
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《正比例函数》教学设计和反思
课堂教学设计
课题
章节
第十四章函数
教学
时间
内容
§14.2.1正比例函数
教
学
目
标
知识目标
1.认识正比例函数的意义.
2.掌握正比例函数解析式特点.
3.理解正比例函数图象性质及特点.
能力目标
1.通过实力引入和举例,培养学生数学建模的能力.
2.通过绘图、观察、分析、归纳等过程,培养学生数形结合的意识和能力,以及发展学生的总结概括能力。
情感态度与价值观
通过合作学习,培养学生团结、友爱的合作精神,提高学生学习数学的兴趣,积累丰富的数学活动经验.
任务
定位
教学重点
1.理解正比例函数意义及解析式特点.
2.掌握正比例函数图象的性质特点.
教学难点
正比例函数图象性质特点的归纳和掌握.
教学
策略
教法学法
实验、观察、分析、归纳、合作交流
教学准备
(教具媒体学生)
课件,网格纸,彩笔
板书设计
§14.2.1正比例函数
1、正比例函数的定义
*注意事项学生作品展示区
2、正比例函数的图像性质
教学过程设计
过程调整与评析
儿歌引入课题,形象生动,直接切入本课主题。
在儿歌中感受变量间的牵制关系,得到的解析式让学生印象深刻。
通过实例,培养学生数学建模的能力。
通过观察思考,培养学生总结概括的能力。
归纳出定义后,又让学生剖析定义,关注细节,培养学生的分析理解能力,为后面的应用作铺垫。
让学生根据定义举例,是学生完成知识构建的一个过程,只有清楚地理解了定义才能准确的举例。
学生在判断的过程中必有争议,大胆发言,培养学生分析表述的能力,以及对待问题严谨的科学态度。
通过合作学习,培养学生团结、友爱的合作精神,提高学生学习数学的兴趣,积累丰富的数学活动经验.。
学生自我点评,完成了展示评价的过程,给学生成功的体验,享受学习的快乐。
通过绘图、观察、分析、归纳等过程,培养学生数形结合的意识和能力,以及发展学生的总结概括能力。
在练习中,熟练掌握图像性质,并感悟数形结合。
教师活动
学生活动
一、引入:
有一首儿歌,同学们一定很熟悉,它叫做《数青蛙》,“一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,扑通一声跳下水;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,扑通、扑通跳下水……”
提问:
1、在这首儿歌中,你发现了什么规律?
2、假如设青蛙只数为x,嘴数、眼数、腿数、扑通声数分别为y1、y2、y3、y4,你是否能用函数解析式表示出它们与x之间的关系?
板书:
学生从儿歌中得到的4个解析式。
过渡语:
我们轻易的从一首儿歌中得到4个类似的函数解析式,像这种形式的函数在生活中还有很多,它们都具备什么样的特征呢?
我们这节课就来学习.
全班同学跟老师一起高唱儿歌,数到发笑;
思考儿歌中涉及到哪些变量,以及变量间的关系;
一一回答老师的提问。
①y1=x
②y2=2x
③y3=4x
④y4=x
二新课:
(一)概念
问题1:
首先我们来思考这样一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示?
1.圆的周长L随半径r的大小变化而变化.
2.每个练习本的厚度为0.5cm.一些练习本摞在一起的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化.
3.冷冻一个0℃的物体,使它每分钟下降2℃.物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化.
问题2:
观察这些函数有什么共同的特点?
板书定义:
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
问题3:
你觉得在定义中,有哪些需要我们注意的?
板书注意事项
学生思考并回答:
⑤L=2∏r
⑥h=0.5n
⑦T=-2t.
学生观察并思考函数的共同点,不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式。
学生剖析定义:
应注意①k≠0
②x的次数为1
(二)深化概念
举例:
根据定义,你能举出生活中正比例函数的例子吗?
教师注意学生的表述,不断引导,要求学生逐步准确的表述实例。
老师这也有一些例子,你们来帮老师判断一下是否是正比例函数,若不是,请说原因,若是,请指出比例系数。
⑴y=-3x⑵y=6x2⑶y=2x-1
⑷y=
⑸y=
x
⑹y=kx(k是常数)
⑺y=(k2+1)x(k是常数)
过渡语:
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,并能灵活应用,那么它的图像又有什么特征呢?
下面我们分小组来研究。
学生举例,逐步完善表述。
思考并回答,遇到有争议的例子,各抒己见。
(三)探究函数图像特征
小组合作:
请每个小组的同学按描点法的步骤画出下列其中一个函数图像.
y=3x,y=x,y=
x,y=-3x,y=-x,y=-
x,
小组合作要求:
1、分工明确;
2、连线用红笔,其余用黑笔;
3、动作迅速,又快又准!
4、画完后,贴于黑板上相应的解析式下。
分别请6位学生依次批阅,总结用描点法作图的注意事项。
问题1:
请同学们观察这些函数图像,它们都有什么共同的特点?
问题2:
既然是过原点的直线,你有什么更简便的方法来绘图吗?
课件演示:
用两点法绘图,并让学生比较选择哪两个点作图更为简单。
问题3:
请同学们进一步观察,黑板左边贴的分别是y=-3x,y=-x,y=-
x的图像,右边的分别是y=3x,y=x,y=
x的图像,你发现有何不同?
图像的位置跟比例系数有怎样的关系?
问题4:
比例系数的符号跟图像的变化趋势又有什么联系?
学生小组合作,教师巡视,完成后贴于黑板
6位学生依次批阅各组作的图像,最后总结用描点法作图的注意事项。
学生观察,容易得出:
图像都是过原点的直线。
学生思考简便的绘图方法,根据两点确定一条直线得到两点法绘图最简单。
结论:
选择原点和(1,k)两点作图更为简单。
学生再次观察,归纳出正比例函数图像的性质:
k>0时,图像过一、三象限,看起来就像是中文笔画当中的“提”,从左向右看,是上升的,即y的值随着x的值的增大而增大;k<0时,图像过二、四象限,看起来就像是“捺”,从左向右看,图像是下降的,即y的值随着x的值的增大而减小;
(四)图像性质应用
练习(抢答)
注意让学生体会,已知比例系数的符号,可求形的位置特点,反之,已知形的位置特点,也可求比例系数的符号,总之数可定形,形可定数,数形密不可分。
学生抢答并解释。
体会数形结合的数学思想。
三、课堂小结
学生从三方面自我小结:
知识方面:
……
技能方面:
……
数学思想方法:
……
作业
设计.
课外活动与探究
1.课本习题14.1.的第1、2题
2.进一步小组探究
用两点法,在同一坐标系内画出y=3x,y=x,y=
x,y=-3x,y=-x,y=-
x这6个函数图像,进一步观察,比例系数的大小与图像的倾斜程度有何关系?
你还发现了哪些规律?
教学反思
学生
学习信息反馈
1、对定义和图像性质有了较深刻的了解,但在举实例的准确表述上部分学生有困难。
所以在作业中应特别留意学生的过程表述。
教后反思
本课不是直接了当地进行介绍、灌输,而是通过各个活动,把学生带入主动探索的活动中来,引导学生动手画图、观察、分析,归纳极大地激发了学生的学习兴趣,练习中通过学生激烈的辩论使难点得到较好的解决,再结合实例,更加深了学生对定义的了解和掌握,收到了事半功倍的效果。
上过课后发现:
1.学生的想象力非常丰富,如在举例时,有很多让人意想不到的想法,平时应多创造让学生发挥自己想象力以及表达自己看法的机会,让课堂因为学生活的精彩而生辉。
2.在语言表述方面,学生的语言不够准确,在以后的教习过程中应注意不断地纠正和规范。
3.尽可能在教材中多挖掘数学的东西,渗透数形结合的数学思想。
教学目标
1、知识与技能
①理解正比例函数的概念及正比例函数图象特征。
②知道正比例函数图象是直线,会画正比例函数的图象;进一步熟悉作函数图象的主要步骤。
2、过程与方法
①通过“燕鸥飞行路程问题”的探究和学习,体会函数模型的思想。
②经历运用图形描述函数的过程,初步建立数形结合,经历探索正比例函数图象形状的过程,体验“列表、描点、连线”的内涵。
3、情感态度与价值观
①结合描点作图培养学生认真细心严谨的学习态度和习惯。
②培养学生积极参与数学活动,勇于探究数学现象和规律,形成良好的质疑和独立思考的习惯。
教学重点:
探索正比例函数图形的形状,会画正比例函数图象。
教学难点:
正比例函数解析式的理解
教学方法:
探索归纳,启发式讲练结合
教学准备:
多媒体课件
教学过程设计
一.提出问题,创设情境
情境1、
(1)你知道候鸟吗?
(2)它们在每年的迁徙中能飞行多远?
(3)燕鸥的飞行路程与时间之间有什么样的数量关系?
教师用课件展示问题。
让学生观察图片中的燕鸥,然后思考并解答课本上的问题。
学生自主解决三个问题。
教师在学生得到结论的基础上提醒:
这里用函数y=200x对燕鸥飞行路程和时间规律进行了刻画。
【设计意图】从具体情境入手,让学生从简单的实例中不断抽象出建立数学模型、数学关系的方法。
二.导入新课,引出概念
P123思考1、写出下列问题中的函数表达式
(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化
(2)汽车在公路上以每小时100千米的速度行驶,怎样表示它走过的路程S(千米)随行驶时间t(小时)变化的关系?
(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度长(单位:
cm)随这些练习本的本数n的变化而变化
(4)冷冻一个0度的物体,使它每分下降2度,物体的温度T(单位:
度)随冷冻时间t(单位:
分)的变化而变化
2、这些函数有什么共同点?
这样的函数我们把它们称为正比例函数。
(4)由上得到的启发,你能试着给正比例函数下个定义吗?
学生先自主探究,后分组讨论,然后教师让各小组代表回答问题。
师生互动对回答的问题进行分析评价。
【设计意图】通过这些实际问题使学生进一步加深对函数概念的理解,也为导出正比例函数概念做好铺垫。
教师引导学生观察分析上面的四个表达式的共性:
都是常数与自变量乘积的形式。
教师口述并用幻灯片展示正比例函数的概念。
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
教师让学生看书,在定义处画上记号,并提出问题:
这里为什么强调k是常数,k≠0?
上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么?
(由学生一一说出)
做一做:
下面的函数是不是正比例函数?
y=3xy=2/xy=x/2s=πr2
通过上面的例子,师生共同总结正比例函数须满足下面两个条件:
1、比例系数不能为0
2、自变量X的次数是一次的。
【设计意图】通过归纳、分析使学生明白正比例函数的特征、理解其解析式的特点。
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,那么它的图象有什么特征呢?
四、认识扩大
[活动]各小组合作回顾函数图象的画法,画出下列函数的图象
(1)y=2x
(2)y=-2x(P111例1)
活动设计意图:
通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规律,让学生自己动手、动口、动脑,经历规律发现的整个过程,从而提高各方面能力及学习兴趣.
教师活动:
引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述.
学生活动:
利用描点法正确地画出两个函数图象,在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程,并能准确地表达出,从而加深对规律的理解与认识.
活动过程与结论:
1.函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
画出图象如图P124
2.y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
-2
-4
-6
画出图象如图P124.
问:
①、观察两个函数图象,能得到那些信息?
教师指导:
观察函数图象从以下几个方面进行
(1)自变量
(2)函数值(3)升降性(4)特殊点(5)过了那几个象限(6)图象的形状
②、总结正比例函数图象的性质
3.两个图象的共同点:
都是经过原点的直线.
不同点:
函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的增大y也增大;经过第一、三象限.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,即随x增大y反而减小;经过第二、四象限.
尝试练习:
1、判断下列函数那些是正比例函数
(1)y=2x
(2)y=kx(k≠0)(3)y=-1/3x(4)y=1/2x+2(5)y=3x2(6)y=-3x2
2、P124练习
比较两个函数图象可以看出:
两个图象都是经过原点的直线.函数的图象从左向右上升,经过三、一象限,即随x增大y也增大;函数的图象从左向右下降,经过二、四象限,即随x增大y反而减小.
总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律:
正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们可称它为直线y=kx.当k>0时,直线y=kx经过一、三象限,从左向右上升,即y随x的增大而增大;当k<0时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即y随x的增大而减小。
五、认识的深化
[活动二]
活动内容设计:
1、经过原点与(1,3)的直线是哪个函数的图象?
若经过原点与(1,-4)呢?
你发现了什么?
2、画下比例函数时,怎样画最简便?
为什么?
活动设计意图:
通过这一活动,让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系,完成由图象到关系式的转化,进一步理解数形结合思想的意义,并掌握正比例函数图象的简单画法及原理.
教师活动:
引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手,寻求转化的方法.从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法.
学生活动:
在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化,进一步理解数形结合思想,找出正比例函数图象的简单画法,并知道原由.
活动过程及结论:
经过原点与点(1,k)的直线是函数y=kx的图象.画正比例函数图象时,只需在原点外再确定一个点,即找出一组满足函数关系式的对应数值即可,如(1,k).因为两点可以确定一条直线.
随堂练习:
1、说出下列函数性质
(1)y=5x
(2)y=-5x
2、P125练习
六、总结归纳,布置作业
问题:
在本节课中,我们经历了怎样的过程,有怎样的收获?
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征,并掌握图象特征与关系式的联系规律。
在以后的学习中,我们将继续这样的思路来研究各种具体的函数,根据它们的共同结构给它们取名,画出函数的图象并研究它们的性质。
作业:
1、P120习题14.2─1、2题.
2、某函数具有下面的性质:
它的图象是经过原点的一条直线.且y随x增大反而减小.请你举出一个满足上述条件的函数,写出解析式,画出图象.
备选题:
1、若函数y=(6+3m)x+4n-4是正比例函数,求m、n
2、当k=______时,y=(k+3)x2k-1是正比例函数
教材分析
1.本节内容是本章的重点知识,首先安排正比例函数内容,讨论这种函数的定义,图像和增减性等,然后以此为基础,继续学习一次函数的定义、图像和增减性等,这是一个从特殊概念向一般概念推广的认知过程。
2.正比例函数和一次函数的概念都是从实际问题引入的,这样可以更好地体现函数概念的实际背景,反映数学与实际的关系,即数学理论来源于实际又服务于实际。
学情分析
正比例函数和一次函数都是根据函数的解析式来定义的,本套教科书后面的二次函数也是这样定义的。
学生重点要理解研究函数的一般思路和方法。
教学目标
1.通过对不同背景下函数模型(关系式)的比较,接受正比例函数的概念。
2.在用描点法画正比例函数图像的过程中发现正比例函数的性质。
3.利用发现的性质简便地画出正比例函数的图像。
4.初步体验研究函数的一般思路和方法。
教学重点和难点
重点:
正比例函数的概念、图像与性质。
难点:
体验研究函数的一般思路与方法。
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
一、概念的引出(15分钟)
教师用课件出示背景,
问题1:
1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环;大约128天后,人们在2.56万千米外地澳大利亚发现了它。
教师在学生得到结论的基础上提醒:
这里用函数y=200x对燕鸥飞行路程问题进行了刻画,尽管只是近似的,但他反映了燕鸥的行程与时间之间的对应规律。
在本次活动中,教师应重点关注:
(1)学生对飞行总行程y和飞行时间x的函数关系式的理解;
(2)学生能否正确指出自变量、自变量的函数、自变量的取值范围。
问题2:
教师出示教科书“思考”4个实际问题,要求学生:
(1)能找出变量对应关系表达式;
(2)能说出表达式中的自变量,自变量的函数。
通过总结归纳给出正比例函数的概念。
一般地,形如y=kx(k
≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做正比例系数。
学生稍作思考,自主解决三个问题:
(1)燕鸥每天飞行的路程;
(2)燕鸥总行程y(千米)与飞行时间x(天)的关系式:
y=200x;
(3)燕鸥飞行1个半月的行程。
学生自主探究,分组讨论;
从环保等人们关注的现实问题入手,使学生认识到数学总是与现实问题密不可分,人们的需要产生了数学。
路程与速度、时间之间关系,学生较为熟悉。
当速度一定是,路程是时间的函数。
由这些简单的实例不断体会从现实世界中抽象数学模型、建立数学关系的方法。
通过归纳、分析,使学生明白正比例函数的特征,理解其解析式的特点。
问题三:
请同学列举日常生活中的正比例函数的模型。
例1:
已知y=(k+1)x+k-1是正比例函数,求k的值。
例2:
根据下列条件求函数的解析式:
(1)y与x2成正比例,且x=-2是,y=12.
(2)函数y=(k2-4)x2+(k+1)x是正比例函数,且y随x的增大而减小。
(1)利率不变的情况下,利息随着存款数的变化而变化;
(2)某本书的单价不变的情况下,销售额随售出图书的数量的变化而变化;
(3)火车速度不变的情况下,行驶距离随时间变化而变化。
学生分组讨论。
加深学生对所学的认识
二、认识的扩大(15分钟)
问题1:
我们知道,函数图像可以直观、清晰地表示函数关系,正比例函数的解析式具有共同的结构,那么它们的图像是否也有某种必然的共同之处呢?
画出下列正比函数的图像:
(1)y=2x;
(2)y=-2x。
问题2:
比较上述两个函数图像的相同点与不同点,发现他们具有怎样的规律?
问题3:
引导学生思考:
这种规律对其他正比例函数适用吗?
具有一般性吗?
练习:
在同一坐标系中,画出下列函数的图像,并对他们进行比较:
(1)y=1/2x;
(2)y=-1/2x.
一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图像是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx。
当k>0是,直线y=kx经过第三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第四、二象限,从左向右下降,即随x的增大y反而减小。
学生回顾用描点法绘制函数图像的一般步骤,学生绘制上述函数的图像。
学生充分发表意见,鼓励百家争鸣、各抒己见。
学生尝试。
学生画图像,要有一个模仿、探索过程,然后才能掌握作函数图像的本领。
这符合学生的认知规律。
因此,第一个图像有教师示范很有必要。
比较异同之处为后面分析讨论正比例函数图像特征准备。
练习画图像,通过多个实例,使学生分析后能领悟这一类图像的特点。
三、认识的深化(10分钟)
问题1:
经过原点与点(1,3)的直线式哪个函数的图像?
问题2:
画正比例函数的图像时,怎样画最简便?
为什么?
试一试:
用你认为最简便的方法画出下列函数的图像:
(1)y=3x;
(2)y=-5x。
有学生思考后回答,避免让思维快的同学影响思维慢的同学。
巩固“两点法”画函数图像
四、总结归纳、布置作业(5分钟)
问题:
在本节课学了哪些内容?
你认为最重要的是什么?
布置作业:
习题第1、2题。
学生稍加思考后分组讨论,由3-4名同学回答
学生独立完成
增加学生的积极性和主动性,培养他们对所学知识的回顾思考习惯。
对作业中的问题要注意个体分析。
板书设计
14.2.1正比例函数
一、概念的引出
一般地,形如y=kx(k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做正比例系数。
例1解析
例2解析
二、认识的扩大
正比例函数图像的特征:
一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图像是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx。
当k>0是,直线y=kx经过第三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第四、二象限,从左向右下降,即随x的增大y反而减小。
三、认识的深化
画出对应函数图像
四、总结归纳、布置作业
教学反思
1.正比例函数的概念是通过研究实际问题解析式的函数图像得来的,学生在这几个知识点的衔接转换中容易出现问题。
2.研究正比例函数的概念、图像和特征的方法,是以后学习研究一次函数的概念、图像和特征的基础,这是一个从特殊向一般的认知过程。
学生掌握这种方法有困难。
3.学习数学思想方法很重要,这一节课,从特殊到一般、总结归纳、数形结合的思想始终贯穿在学习中。
4.本节课内容丰富,时间紧,对例题函数图像不能一一按照要求演示,增加了学生模仿的难度。