《正比例函数》教学设计和反思.docx
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《正比例函数》教学设计和反思
课堂教学设计
课题
章节
第十四章函数
教学
时间
内容
§14.2.1正比例函数
教
学
目
标
知识目标
１．认识正比例函数的意义．
２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．
能力目标
1.通过实力引入和举例，培养学生数学建模的能力．
2.通过绘图、观察、分析、归纳等过程，培养学生数形结合的意识和能力，以及发展学生的总结概括能力。
情感态度与价值观
通过合作学习，培养学生团结、友爱的合作精神，提高学生学习数学的兴趣，积累丰富的数学活动经验.
任务
定位
教学重点
１．理解正比例函数意义及解析式特点．
２．掌握正比例函数图象的性质特点．
教学难点
正比例函数图象性质特点的归纳和掌握．
教学
策略
教法学法
实验、观察、分析、归纳、合作交流
教学准备
（教具媒体学生）
课件，网格纸，彩笔
板书设计
§14.2.1正比例函数
1、正比例函数的定义
*注意事项学生作品展示区
2、正比例函数的图像性质
教学过程设计
过程调整与评析
儿歌引入课题，形象生动，直接切入本课主题。
在儿歌中感受变量间的牵制关系，得到的解析式让学生印象深刻。
通过实例，培养学生数学建模的能力。
通过观察思考，培养学生总结概括的能力。
归纳出定义后，又让学生剖析定义，关注细节，培养学生的分析理解能力，为后面的应用作铺垫。
让学生根据定义举例，是学生完成知识构建的一个过程，只有清楚地理解了定义才能准确的举例。
学生在判断的过程中必有争议，大胆发言，培养学生分析表述的能力，以及对待问题严谨的科学态度。
通过合作学习，培养学生团结、友爱的合作精神，提高学生学习数学的兴趣，积累丰富的数学活动经验.。
学生自我点评，完成了展示评价的过程，给学生成功的体验，享受学习的快乐。
通过绘图、观察、分析、归纳等过程，培养学生数形结合的意识和能力，以及发展学生的总结概括能力。
在练习中，熟练掌握图像性质，并感悟数形结合。
教师活动
学生活动
一、引入：
有一首儿歌，同学们一定很熟悉，它叫做《数青蛙》，“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通、扑通跳下水……”
提问：
1、在这首儿歌中，你发现了什么规律？
2、假如设青蛙只数为x，嘴数、眼数、腿数、扑通声数分别为y1、y2、y3、y4，你是否能用函数解析式表示出它们与x之间的关系？
板书：
学生从儿歌中得到的4个解析式。
过渡语：
我们轻易的从一首儿歌中得到4个类似的函数解析式，像这种形式的函数在生活中还有很多，它们都具备什么样的特征呢？
我们这节课就来学习．
全班同学跟老师一起高唱儿歌，数到发笑；
思考儿歌中涉及到哪些变量，以及变量间的关系；
一一回答老师的提问。
①y1=x
②y2=2x
③y3=4x
④y4=x
二新课：
（一）概念
问题1：
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
2．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一起的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
3．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
问题2：
观察这些函数有什么共同的特点？
板书定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
问题3：
你觉得在定义中，有哪些需要我们注意的？
板书注意事项
学生思考并回答：
⑤L=2∏r
⑥h=0．5n
⑦T=-2t．
学生观察并思考函数的共同点，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式。
学生剖析定义：
应注意①k≠0
②x的次数为1
（二）深化概念
举例：
根据定义，你能举出生活中正比例函数的例子吗？
教师注意学生的表述，不断引导，要求学生逐步准确的表述实例。
老师这也有一些例子，你们来帮老师判断一下是否是正比例函数，若不是，请说原因，若是，请指出比例系数。
⑴y=-3x⑵y=6x2⑶y=2x-1
⑷y=
⑸y=
x
⑹y=kx（k是常数）
⑺y=（k2+1）x（k是常数）
过渡语：
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，并能灵活应用，那么它的图像又有什么特征呢？
下面我们分小组来研究。
学生举例，逐步完善表述。
思考并回答，遇到有争议的例子，各抒己见。
（三）探究函数图像特征
小组合作：
请每个小组的同学按描点法的步骤画出下列其中一个函数图像．
y=3x,y=x,y=
x,y=-3x,y=-x,y=-
x,
小组合作要求:
1、分工明确；
2、连线用红笔，其余用黑笔；
3、动作迅速，又快又准！
4、画完后，贴于黑板上相应的解析式下。
分别请6位学生依次批阅，总结用描点法作图的注意事项。
问题1：
请同学们观察这些函数图像，它们都有什么共同的特点？
问题2：
既然是过原点的直线，你有什么更简便的方法来绘图吗？
课件演示：
用两点法绘图，并让学生比较选择哪两个点作图更为简单。
问题3：
请同学们进一步观察，黑板左边贴的分别是y=-3x,y=-x,y=-
x的图像,右边的分别是y=3x,y=x,y=
x的图像，你发现有何不同？
图像的位置跟比例系数有怎样的关系？
问题4：
比例系数的符号跟图像的变化趋势又有什么联系？
学生小组合作，教师巡视，完成后贴于黑板
6位学生依次批阅各组作的图像，最后总结用描点法作图的注意事项。
学生观察，容易得出：
图像都是过原点的直线。
学生思考简便的绘图方法，根据两点确定一条直线得到两点法绘图最简单。
结论：
选择原点和（1,k）两点作图更为简单。
学生再次观察，归纳出正比例函数图像的性质：
k>0时，图像过一、三象限，看起来就像是中文笔画当中的“提”，从左向右看，是上升的，即y的值随着x的值的增大而增大；k<0时，图像过二、四象限，看起来就像是“捺”，从左向右看，图像是下降的，即y的值随着x的值的增大而减小；
（四）图像性质应用
练习（抢答）
注意让学生体会，已知比例系数的符号，可求形的位置特点，反之，已知形的位置特点，也可求比例系数的符号，总之数可定形，形可定数，数形密不可分。
学生抢答并解释。
体会数形结合的数学思想。
三、课堂小结
学生从三方面自我小结：
知识方面：
……
技能方面：
……
数学思想方法：
……
作业
设计．
课外活动与探究
1.课本习题14.1.的第1、2题
2.进一步小组探究
用两点法，在同一坐标系内画出y=3x,y=x,y=
x,y=-3x,y=-x,y=-
x这6个函数图像，进一步观察，比例系数的大小与图像的倾斜程度有何关系？
你还发现了哪些规律？
教学反思
学生
学习信息反馈
1、对定义和图像性质有了较深刻的了解，但在举实例的准确表述上部分学生有困难。
所以在作业中应特别留意学生的过程表述。
教后反思
本课不是直接了当地进行介绍、灌输，而是通过各个活动，把学生带入主动探索的活动中来，引导学生动手画图、观察、分析，归纳极大地激发了学生的学习兴趣，练习中通过学生激烈的辩论使难点得到较好的解决，再结合实例，更加深了学生对定义的了解和掌握，收到了事半功倍的效果。
上过课后发现：
1.学生的想象力非常丰富，如在举例时，有很多让人意想不到的想法，平时应多创造让学生发挥自己想象力以及表达自己看法的机会，让课堂因为学生活的精彩而生辉。
2．在语言表述方面，学生的语言不够准确，在以后的教习过程中应注意不断地纠正和规范。
3．尽可能在教材中多挖掘数学的东西，渗透数形结合的数学思想。
教学目标
1、知识与技能
①理解正比例函数的概念及正比例函数图象特征。
②知道正比例函数图象是直线，会画正比例函数的图象；进一步熟悉作函数图象的主要步骤。
2、过程与方法
①通过“燕鸥飞行路程问题”的探究和学习，体会函数模型的思想。
②经历运用图形描述函数的过程，初步建立数形结合，经历探索正比例函数图象形状的过程，体验“列表、描点、连线”的内涵。
3、情感态度与价值观
①结合描点作图培养学生认真细心严谨的学习态度和习惯。
②培养学生积极参与数学活动，勇于探究数学现象和规律，形成良好的质疑和独立思考的习惯。
教学重点：
探索正比例函数图形的形状，会画正比例函数图象。
教学难点：
正比例函数解析式的理解
教学方法：
探索归纳，启发式讲练结合
教学准备：
多媒体课件
教学过程设计
一．提出问题，创设情境
情境1、
（1）你知道候鸟吗？
（2）它们在每年的迁徙中能飞行多远？
（3）燕鸥的飞行路程与时间之间有什么样的数量关系？
教师用课件展示问题。
让学生观察图片中的燕鸥，然后思考并解答课本上的问题。
学生自主解决三个问题。
教师在学生得到结论的基础上提醒：
这里用函数y=200x对燕鸥飞行路程和时间规律进行了刻画。
【设计意图】从具体情境入手，让学生从简单的实例中不断抽象出建立数学模型、数学关系的方法。
二．导入新课，引出概念
P123思考1、写出下列问题中的函数表达式
（1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化
（2）汽车在公路上以每小时100千米的速度行驶，怎样表示它走过的路程S（千米）随行驶时间t（小时）变化的关系？
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度长（单位:
cm）随这些练习本的本数n的变化而变化
（4）冷冻一个0度的物体，使它每分下降2度，物体的温度T（单位：
度）随冷冻时间t（单位：
分）的变化而变化
2、这些函数有什么共同点？
这样的函数我们把它们称为正比例函数。
（4）由上得到的启发，你能试着给正比例函数下个定义吗？
学生先自主探究，后分组讨论，然后教师让各小组代表回答问题。
师生互动对回答的问题进行分析评价。
【设计意图】通过这些实际问题使学生进一步加深对函数概念的理解，也为导出正比例函数概念做好铺垫。
教师引导学生观察分析上面的四个表达式的共性：
都是常数与自变量乘积的形式。
教师口述并用幻灯片展示正比例函数的概念。
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
教师让学生看书，在定义处画上记号，并提出问题：
这里为什么强调k是常数，k≠0？
上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么？
（由学生一一说出）
做一做：
下面的函数是不是正比例函数？
y=3xy=2/xy=x/2s=πr2
通过上面的例子，师生共同总结正比例函数须满足下面两个条件：
1、比例系数不能为0
2、自变量X的次数是一次的。
【设计意图】通过归纳、分析使学生明白正比例函数的特征、理解其解析式的特点。
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
四、认识扩大
[活动]各小组合作回顾函数图象的画法，画出下列函数的图象
（1）y=2x
（2）y=-2x（P111例1）
活动设计意图：
通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣．
教师活动：
引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述．
学生活动：
利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识．
活动过程与结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
画出图象如图P124
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
-2
-4
-6
画出图象如图P124．
问：
①、观察两个函数图象，能得到那些信息？
教师指导：
观察函数图象从以下几个方面进行
（1）自变量
（2）函数值（3）升降性（4）特殊点（5）过了那几个象限（6）图象的形状
②、总结正比例函数图象的性质
３．两个图象的共同点：
都是经过原点的直线．
不同点：
函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第二、四象限．
尝试练习：
1、判断下列函数那些是正比例函数
（1）y=2x
（2）y=kx（k≠0）（3）y=-1/3x（4）y=1/2x+2（5）y=3x2（6）y=-3x2
2、P124练习
比较两个函数图象可以看出：
两个图象都是经过原点的直线．函数的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．
总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们可称它为直线y=kx．当k>0时，直线y=kx经过一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小。
五、认识的深化
[活动二]
活动内容设计：
1、经过原点与（1，3）的直线是哪个函数的图象？
若经过原点与（1，-4）呢？
你发现了什么？
2、画下比例函数时，怎样画最简便？
为什么？
活动设计意图：
通过这一活动，让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．
教师活动：
引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，寻求转化的方法．从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法．
学生活动：
在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由．
活动过程及结论：
经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．
随堂练习：
1、说出下列函数性质
（1）y=5x
（2）y=-5x
2、P125练习
六、总结归纳，布置作业
问题：
在本节课中，我们经历了怎样的过程，有怎样的收获？
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律。
在以后的学习中，我们将继续这样的思路来研究各种具体的函数，根据它们的共同结构给它们取名，画出函数的图象并研究它们的性质。
作业：
1、P120习题14．2─1、2题．
2、某函数具有下面的性质：
它的图象是经过原点的一条直线．且y随x增大反而减小．请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．
备选题：
1、若函数y=（6+3m）x+4n-4是正比例函数，求m、n
2、当k=______时，y=（k+3）x2k-1是正比例函数
教材分析
1．本节内容是本章的重点知识，首先安排正比例函数内容，讨论这种函数的定义，图像和增减性等，然后以此为基础，继续学习一次函数的定义、图像和增减性等，这是一个从特殊概念向一般概念推广的认知过程。
2．正比例函数和一次函数的概念都是从实际问题引入的，这样可以更好地体现函数概念的实际背景，反映数学与实际的关系，即数学理论来源于实际又服务于实际。
学情分析
正比例函数和一次函数都是根据函数的解析式来定义的，本套教科书后面的二次函数也是这样定义的。
学生重点要理解研究函数的一般思路和方法。
教学目标
1.通过对不同背景下函数模型（关系式）的比较，接受正比例函数的概念。
2.在用描点法画正比例函数图像的过程中发现正比例函数的性质。
3.利用发现的性质简便地画出正比例函数的图像。
4.初步体验研究函数的一般思路和方法。
教学重点和难点
重点：
正比例函数的概念、图像与性质。
难点：
体验研究函数的一般思路与方法。
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
一、概念的引出（15分钟）
教师用课件出示背景，
问题1:
1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外地澳大利亚发现了它。
教师在学生得到结论的基础上提醒：
这里用函数y=200x对燕鸥飞行路程问题进行了刻画，尽管只是近似的，但他反映了燕鸥的行程与时间之间的对应规律。
在本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生对飞行总行程y和飞行时间x的函数关系式的理解；
（2）学生能否正确指出自变量、自变量的函数、自变量的取值范围。
问题2：
教师出示教科书“思考”4个实际问题，要求学生：
（1）能找出变量对应关系表达式；
（2）能说出表达式中的自变量，自变量的函数。
通过总结归纳给出正比例函数的概念。
一般地，形如y=kx（k
≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数。
学生稍作思考，自主解决三个问题：
（1）燕鸥每天飞行的路程；
（2）燕鸥总行程y（千米）与飞行时间x（天）的关系式：
y=200x；
（3）燕鸥飞行1个半月的行程。
学生自主探究，分组讨论；
从环保等人们关注的现实问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学。
路程与速度、时间之间关系，学生较为熟悉。
当速度一定是，路程是时间的函数。
由这些简单的实例不断体会从现实世界中抽象数学模型、建立数学关系的方法。
通过归纳、分析，使学生明白正比例函数的特征，理解其解析式的特点。
问题三：
请同学列举日常生活中的正比例函数的模型。
例1：
已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k的值。
例2：
根据下列条件求函数的解析式：
（1）y与x2成正比例，且x=-2是，y=12.
（2）函数y=（k2-4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小。
（1）利率不变的情况下，利息随着存款数的变化而变化；
（2）某本书的单价不变的情况下，销售额随售出图书的数量的变化而变化；
（3）火车速度不变的情况下，行驶距离随时间变化而变化。
学生分组讨论。
加深学生对所学的认识
二、认识的扩大（15分钟）
问题1：
我们知道，函数图像可以直观、清晰地表示函数关系，正比例函数的解析式具有共同的结构，那么它们的图像是否也有某种必然的共同之处呢？
画出下列正比函数的图像：
（1）y=2x；
（2）y=-2x。
问题2：
比较上述两个函数图像的相同点与不同点，发现他们具有怎样的规律？
问题3：
引导学生思考：
这种规律对其他正比例函数适用吗？
具有一般性吗？
练习：
在同一坐标系中，画出下列函数的图像，并对他们进行比较：
（1）y=1/2x;
（2）y=-1/2x.
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。
当k＞0是，直线y=kx经过第三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第四、二象限，从左向右下降，即随x的增大y反而减小。
学生回顾用描点法绘制函数图像的一般步骤，学生绘制上述函数的图像。
学生充分发表意见，鼓励百家争鸣、各抒己见。
学生尝试。
学生画图像，要有一个模仿、探索过程，然后才能掌握作函数图像的本领。
这符合学生的认知规律。
因此，第一个图像有教师示范很有必要。
比较异同之处为后面分析讨论正比例函数图像特征准备。
练习画图像，通过多个实例，使学生分析后能领悟这一类图像的特点。
三、认识的深化（10分钟）
问题1：
经过原点与点（1,3）的直线式哪个函数的图像？
问题2：
画正比例函数的图像时，怎样画最简便？
为什么？
试一试：
用你认为最简便的方法画出下列函数的图像：
（1）y=3x；
（2）y=-5x。
有学生思考后回答，避免让思维快的同学影响思维慢的同学。
巩固“两点法”画函数图像
四、总结归纳、布置作业（5分钟）
问题：
在本节课学了哪些内容？
你认为最重要的是什么？
布置作业：
习题第1、2题。
学生稍加思考后分组讨论，由3-4名同学回答
学生独立完成
增加学生的积极性和主动性，培养他们对所学知识的回顾思考习惯。
对作业中的问题要注意个体分析。
板书设计
14.2.1正比例函数
一、概念的引出
一般地，形如y=kx（k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数。
例1解析
例2解析
二、认识的扩大
正比例函数图像的特征：
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。
当k＞0是，直线y=kx经过第三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第四、二象限，从左向右下降，即随x的增大y反而减小。
三、认识的深化
画出对应函数图像
四、总结归纳、布置作业
教学反思
1.正比例函数的概念是通过研究实际问题解析式的函数图像得来的，学生在这几个知识点的衔接转换中容易出现问题。
2.研究正比例函数的概念、图像和特征的方法，是以后学习研究一次函数的概念、图像和特征的基础，这是一个从特殊向一般的认知过程。
学生掌握这种方法有困难。
3.学习数学思想方法很重要，这一节课，从特殊到一般、总结归纳、数形结合的思想始终贯穿在学习中。
4.本节课内容丰富，时间紧，对例题函数图像不能一一按照要求演示，增加了学生模仿的难度。
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