哈工大概率论与数理统计课后习题答案五.docx
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哈工大概率论与数理统计课后习题答案五
习题五
1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。
解设X为已取出的废品只数，则X的分布为
X
012P
X82821810910980
8
18452145即P
所以
EX822，45459844EX2,4545154488.1581405DXEX2（EX）2
2．假设一部机器在一天解设一周所获利润为T（万元），则T的可能值为10,5,0,2.
又设X为机器一周P（T10）P（X0）（0.8）0.3277
14P（T5）P（X1）C50.2（0.8）0.4096
类似地可求出T的分布为
T20510P0.05790.20480.40960.3277
ET20.057950.4096100.3277
5.209（万元）
X（毫米）服从正态分布N（,所以一周3．假设自动线加工的某种零件的内径
1），内径小于·55·
10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（元）与零件的T20,若10X12,
5,若X12.
问平均ET1P（X10）20P（10X12）5PX（
10（）20[（12）（10）]5[1（12）]1
25（12）21（10）5dET25（12）21（10）d
）（12）（10212252022
即
[（12）2（10）2]211
e225
两边取对数得
即
222ln12212525.2111ln
时，平均利润最大.
4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
数学期望.
解
即25，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和X~B（3,223）P（Xk）C3k（）k（）3k，分布律为555k0,1,2,3.
·56·
X
P
02712515412523612538125
X
的分布函数为
x0,0,
27,0x1,12581
1x2,F（x）125117
2x3,125,
x3.1,
5472241506EX
1251251251255
5．设随机变量服从几何分布，其分布列为
P（Xk）（1p）k1p，0p1,k1,2,
求EX与DX解1EX其中
k（1p）
k1
k1
ppkq
k1
k1
p（x）
k
k1
xq
kpx
k1xq
q1p
由函数的幂级数展开有所以
x
k0
k
1，1x
11
EXp1p
（1x）21xxq
xq
1
.p
因为
所以
EXkpq
2
2k1
k1
x2pk
，px（x）p22pk1xq（1x）xq
2p1q
.p2p2p2
DXEX2（EX）2
·57·
EXP2pq3pq2kpqk1
2k1p（12q3qkq）,解2
设
则
（1）–
（2）得S12q3q2kqk1,
（1）qSq2q23q3kqk,
（2）
1，1q（1q）S1qq2qk1
所以
S
从而，得
11（1q）2p2，EXpSp11.2ppEX2p22pq32pq2n2pqn1
2222n1p（12q3qnq）pS1，22232nqS1q2q3qnq,
2n1（1q）S113q5q（2n1）qS2,
23nqS2q3q5q（2n1）q,
2q2q2n1）11（1q）S212（qqq，1qp
12qS2，pp2
于是
所以
S1S212q23，ppp12q12q，）p2p3pp2
12q1q1p2222.pppppEX2p（故得X的方差为DXEX2（EX）2
·58·
6．设随机变量X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.
（1）
（2）
（3）
1
f（x）e|x|；
2
1|x|,|x|1,
f（x）
0,|X|1;1522
x（x2）,0x2,
f（x）16
其他;0,
（4）
x,0x1,
f（x）2x,1x2,
0,其他.
1
x|x|dx0，（因为被积函数为奇函数）2
1
DXEX2x2e|x|dxx2exdx
02
解
（1）EX
（2）EX
xe
11
2x
2
0
xedx2[xe
x
x
0
exdx]2.
x（1|x|）dx0,
2
1
2
1
2
3
x3x411
]0.DXEXx（1|x|）dx2（xx）dx2[
10346215152532
x（x2）dx（x4x44x3）dx（3）EX016160
15x6454x41516
x1,1665401615
2
2
所以
15x74x64x58156254
EX（x4x4x）dx，0161676507DXEX2（EX）2
1
2
2
81
1.77
2
32
（4）EX
1x
x2dx（2xx2）dxx2
01331
2
1
3
2
1
1
28
31,33
EXxdx（2x2x3）dx
12114
（81）（161）,43412
·59·
所以
DX1411126.
7．在习题三第4题中求E
解因X的分布为11X
X
P01
2114218318
所以
E1111111167.1X224384896
8．设随机变量X的概率密度为
ax,0x2,f（x）cxb,2x4,
0,其他.
3已知EX2,P（1X3），求4
（1）a,b,c的值
（2）随机变量Y
解
（1）1
eX的数学期望和方差.f（x）dxaxdx（cxb）dx0224a22c244xxbx22a2b6c,2022
2xf（x）dxax2dx（cxb）xdx0224
解方程组856ac6b，3323335axdx（cxb）dxacb，12422
1ab3c28a18b56c6
33a2b5c2
·60·
得
1，4b1，1c.4a
Xx241x11ef（x）dxxedx（x1）exdx（e21）2，
（2）EYE（e）04244
214122X2x2x2xEYE（e）ef（x）dxxedx（x1）edx0424
1212222（e1）[e（e1）]44
122222DYEY（EY）e（e1）.4
9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。
假设一游客在早八点的第
分布，求该游客等候时间的数学期望.
解设候梯时间为T，则X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上均匀
X5,5X,25X,5X25,Tg（X）55X,25X5560X5,X55.
ETE[g（X）]
g（x）f（x）dx600g（x）1dx60
25556015（5x）dx（25x）dx（55x）dx（65x）dx05255560
1[12.520045037.5]11.67.60
10．设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一个整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量。
解设商店获得的利润为T，进货量为
y，则500y（Xy）300,yX30,Tg（X）500X（yX）100,10Xy.
·61·
由题意
300X200y,yX30,600X100y,10Xy,
9280ETg（x）f（x）dx
30
y
即1y（600x100y）dx20107.5y2350y5250,（300x200y）dx
7.5y2350y40300.
解不等式得
202y26，3
即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位.
11．设X与Y同分布，且X的概率密度为
32x,0x2,f（x）80,其他.
A{Xa}和事件B{Ya}独立，且P{AB}。
（1）已知事件
（2）求E3，求常数a；41
X2
解
（1）P（X
a）2a321xdx[8a3]883P{AB}P（A）P（B）P（AB）4
213[8a3]2，[8a]864
即有方程
即
可见
解之得
·62·（8a3）216（8a3）480,[（8a3）12][（8a3）4]0，8a312或8a34，a
a故
a
（2）E2313.20X84
12．于习题四第15题中求Z
解sin（XY）2的数学期望.
X,Y的分布为（x,y）（0,1）（1,0）（1,1）（2,0）（2,1）0.100.150.250.20
0.150.15
EZsin0.15sin0.25sin0.2022
30.15sin0.15sin2
0.150.250.150.25
13．设的分布律为
解
（1）EX
pij0.420.230.42,EY10.30.30；
yjY1
（2）EZE（）pij10.2（1/2）0.10X3ijxi
1110.10.10.1；2315
2（3）EWE（XY）
D（XY）（E（XY））2DXDY2（EXYEXEY）（EXEY）2[EX2（EX）2][EY2（EY）2]2[xiyjpij0]4IJ[0.440.290.44][0.30.3]2（0.220.10.120.130.140.80.60.445.
或
EWE（XY）2E[X22XYY2]EX22EXYEY2
0.440.290.42（0.220.10.120.130.1）0.30.34.80.40.65.
·63·
或，先求（X
Y）2的分布（XY）20P149160.20.30.40
1111（,）,（,）,（1,1）取值的2424EW0.240.390.45.14．设离散型二维随机变量（X,Y）在点（1,1）,
概率均为
解14，求EX,EY,DX,DY,EXY.111111EX110，424244
11111052，EX416164168
5所以DX；8
111111EY110,444444
1111172DYEY；46464432
11111111EXY
（1）
（1）（）（）（）1142442444
1119.（11）48816
15．设（X,Y）的概率密度为
（x4xyef（x,y）0,2y2）,x0,y0,其他.
Z的数学期望.
解EZ
004xye
r2（x2y2）dxdy
4200rrcossine022rdrd20sin2d220r4erdrd02cos221[r3er203r2erdr]221[3（rer
200erdr）]
·64·
323
erdr2041t2redrdt42令r2
16．设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
1,|y|x,0x1,f（x,y）0,其它.
求EX,
1x122解
xdydx2xdx；0x03
1x0ydydx；0x1xdx0ydyx；0x
1x11223EXxdydx2xdx，002x
于是
故DX1221（）；2318
42.189
17．假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量
0,若Yk,k1,2.Xk1,若Yk,
求
（1）X1,X2的联合分布，
（2）E（X1X2）.D（2X1）4DX
解
（1）（X1,X2）的分布：
P（X10,X20）P（Y1,1P（Y1）1e，
Y2）P（X10,X21）P（Y1,Y2）0，
P（X11,X20）P（Y1,Y2）
12P（1Y2）ee
12
（2）E（X1X2）EX1EX2ee.
·65·
18．设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a,
（1）ab]之
（2）DX4
证
（1）因为aXb，所以EaEXEb，即aEXb；
（2）因为对于任意的常数C有
DXE（XC）2，
ab取C，则有2
ab2ab2ba2（ba）2
DXE（X）E（b）E（）.2224
19．一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。
商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。
解设T为一周Tg（X,Y）1000X500（YX）,XY.XY,1000Y,500（XY）,XY.
ETE[g（X,Y）]
其中g（x,y）f（x,y）dxdy
1,10x20,10y20,f（x,y）1000,其他.
所以
ET1000y
D111500（xy）dxdy100100D2
102010dy20yydx52010dy（xy）dx10y1020
10y（20y）dy520103（y210y50）dy
2
·66·
200005150014166.67（元）.3
20．设X,Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
e（y5）,y5,2x,0x1fY（y）fX（x）0,其他;0,y5.
求E（XY）,D（XY）
122x，解EX2xd03
EY6
（注：
因为参数为1的指数分布的数学期望为1，而fY（y）是前指数分布向右平移了5个单位，所以EY156）
因X,Y独立，所以
2EXYEXEY64.3
DXY今求
方法1DXYEX2Y2（EXY）2
EX2EY2162x3dx[DY（EY）2]1601
1375[136]16162.5.222
方法2利用公式：
当X,Y独立时
DXYDXDYDX（EY）2DY（EX）2
11413612.5.18189
21．在长为L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差.
解以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X,Y，则它们均在
[0,L]上服从均匀分布，且X,Y相互独立.
E|XY||xy|f（x,y）dxdyL0x0LL11（xy）dxdy2（xy）dxdy0xLL2
L1L2L2
2（xLx）dx3L02
LLLL1LL2221E|XY|（xy）2dxdy22xdxdy2xydxdy0000LL00
·67·
所以12L24L4L23L26
L2L2L2
D|XY|.6918
22．设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1
而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z2XY3的概率密度.
2解因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，所以Z~N（,）
其中
EZE（2XY3）2EXEY35
2DZD（2XY3）4DXDY9
所以Z的概率密度为
fZ（z）
X,Y（z5）218,z，N（0,1）2的随机变量，求23．设是两个相互独立的且均服从正态分布
E|XY|与D|XY|.
解1E|XY|
|xy|f（x,y）dxdy
1|xy|x（x2y2）1dxdy1
x222x（xy）e（xy）dxdyxx2（x2y2）（x2y2）xedxdyyedxdy222
r243cosdredr43sindr2erdr0044（xy）edxdy（x2y2）（yx）e（x2y2）dxdy
21r2r24sin3（re00edr）42
21r2r24cos3（reedr）0024
·68·
4r2edr4
2
dt
t2
2
E|XY|2E（XY）2
（xy）2
1
e
x2y2
22
dxdy
1
1
0
（xy2xy）er3erdrd
0
2
2
（x2y2）
dxdy
sincoserr3drd
20
2
2
2
20
21
2r2er
2
0r2
21rerdr
2
cos2
0
r2dr
所以
2
0
re
r2
dre1；
D|XY|1
2
.
注意：
从上面的解题过程看，计算相当麻烦，下面给出一种简单的计算方法：
解2设Z
XY，则Z~N（0,1）
z
|z|e2dz2
E|XY|E|Z|
0
ze
z2
2
dz
所以
e
z2
2
|）
E|XY|2EZ2DZ1，
D（XY）Z|XY|2（E|XY|）21
2
.
2）分布，试证
Emin（X,Y）
Emax（X,Y）XY
证1令X1，Y1，则X1,Y1仍相互独立且均服从N（0,1）
24．设随机变量X与Y相互独立，且都服从N（,于是从而
XX1,YY1
max（X,Y）max（X1,Y1）
·69·
max（X1,Y1）
Emax（X,Y）Emax（X1,Y1）
2
2
y1
1x1
Emax（X1,Y1）max（x1,y1）2dx1dy12
22
y1x2y2
111x11
2dx1dy1y12dx1dy1x122x1y1x1y1
x1rcos
1
y1rsin2
454
cosd
0
r2e
r22
1dr
2
54
4
2
sind
0
r2e
r22
dr
12
r24
re2dr5cosdsind0
44
r2r2512244
sin5cos（re|00edr）244
5
4
2e02
r2
2
dr
2
e
r22
dr
所以
r22
dr
，
Emax（X,Y）
同理可证
Emin（X,Y）证2
X1,Y1如上所设，令ZX1Y1
~N（0,1），则Z~N（0,2）
利用23题的结果得
由公式
EZE|X1Y1|
max（X1,Y1）
1
（X1Y1|X1Y1|）21
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