椭圆的定值问题.doc

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椭圆的定值问题

◎齐志华（辽宁省本溪市机电工程学校117022）

【摘要】在长期的教学中，笔者经常会遇到或想到圆锥曲线的一些定值问题，学生们也需要教师给予解答和总结，笔者精选了椭圆9个定值问题，供师生们参考。

【关键词】椭圆；定值；斜率。

1.椭圆上的一点到两焦点的距离等于长轴的长。

（椭圆的定义可得）

2.椭圆上的一点与两焦点为三角形的顶点所围成的三角形的周长等于长轴的长与焦距的长的和。

（由1易得）

3.过椭圆焦点的直线与椭圆的交点与另一焦点为三角形的顶点所围成的三角形的周长为长轴的2倍。

（由1易得）

4.椭圆上的一点（除长轴的端点）到两焦点的连线斜率的积是定值。

证明：

设分别为椭圆上的点和两焦点，则，又≤。

所以=。

5.椭圆（上的点Ｐ（除、）与长轴的端点、的连线、的斜率的积为．

证明：

设P（,（-,0）,（,0）,有，得则==

6.若ＡＢ为椭圆（的任意一条不平行坐标轴且不过椭圆中心的弦，Ｐ为ＡＢ的中点，则直线ＯＰ与ＡＢ的斜率之积为。

证明:

设，，则。

所以，又，两式相减，得

，所以，即。

7.过椭圆（焦点F的直线（不是长轴）交椭圆于P、Q,与焦点对应的顶点A和点P、Q的连线的斜率、满足：

·=。

（其中为离心率）。

证明：

不妨设右焦点F（0）,右顶点A（0）,直线P、Q的斜率为。

（I）当不存在时，可得点P、Q的坐标分别是（），于是·====，（其中=为离心率）。

（II）当存在时，方程组

（1）代人

（2）整理得（

设P（）、Q（，则，,所以=+=

==

所以·===

8.过椭圆（的右焦点F的直线交椭圆于A、B,交轴于M点，若，，则。

证明：

（I）当与轴重合时，不妨设A（-,0）,B（,0）,则F（,M（0,0）.由，得,,.所以=

（II）当与轴不重合时，设M（,0）,联立方程

（2）代入

（1）整理得

则，。

由，，得，。

===。

9．在中心为O的椭圆上任取两点P、Q，使ＯＰ⊥ＯＱ，则

证明：

设直线ＯＰ的斜率为

（I）当存在时，且≠０．设P（）、Q（，则ＯＰＯＱ的方程分别为：

，，由方程组得

，

同理；＝，

所以。

（II）当不存在时，。

（III）当时。

所以成立。

【参考文献】

[1]李远敬。

抛物线的定值问题，数学学习与研究，2011（7）

[2]李勤俭。

圆锥曲线的顶点与对应焦点的弦的性质的探索，数学教学通讯，2006（11）