Bresenham中点画线算法.docx
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Bresenham中点画线算法
先标明这转载自
直线扫描算法之---bresenham改进算法(任何斜率,任何方向)
byzxx
图形学神马的全都是数学,看来以后我不能搞这个,伤脑筋,所以先把我现在懂得先记录下来吧。
不过呢,我的水平实在有限,对于算法这种东西实在难以说明白,请大家包涵。
书上讲的实在是太过简略,所以这里我把一些简单的推导过程都记录下来:
1.重温bresenham未改进算法(斜率在0-1之间的直线)
我想要记录的是bresenham改进算法,所以在讲解改进算法之前,我先用一个简单的例子说明一下未改进算法的思想:
这是一个斜率k在0-1之间的一条直线,我就用斜率为0-1之间的直线来重温:
首先,如图1所示,假设x列的像素已定,其坐标为(x,y),那么下一个坐标一定是:
(x+1,y+1)或者(x+1,y)。
而是哪一个取决于d的值,如果d>0.5那么就是(x+1,y+1),
如果d<0.5,那么就是(x+1,y),而d是什么呢?
当然是斜率了。
(原因如下:
y=kx+b
当x增加1时:
y=kx+k+b
所以当x增加1是,y方向的增量是d。
)
所以每次我们只需要让d=d+k(k是斜率)即可,当d>=1时,就让d减一,这样就保证了d在0-1之间。
当d>0.5,下一个点取(x+1,y+1)
当d<0.5,下一个点取(x+1,y)
然后呢,我们为了判断的方便,让e=d-0.5,这样就变成了:
当e>0,下一个点取(x+1,y+1)
当e<0,下一个点取(x+1,y)
2.过渡,重温之后,我们就想要改进,为什么要改进呢?
因为我们这里面有0.5,还有k,k里面有dx/dy,这些除法和小数都不是我们想要的,我们想要的是,只有整数,且只有加法的算法,下面就全面讨论一下改进算法。
3.改进算法篇(不同斜率,不同方向)
这里,我们主要分为4个角度来说明:
A. 斜率在0-1只间
B. 斜率在1-无穷之间
C. 斜率在0-(-1)之间
D. 斜率在(-1)-负无穷之间
E.两种特殊情况,两条直线。
A. 斜率在0-1只间
以往我们会产生除法和小数的地方主要是:
e=0.5
e=e+k
接下来我们一步一步实现我们的目标:
1.消除除法
e=e+dy/dx
e*dx=e*dx+dy
2.消除小数
2*e*dx=2e*dx+2dy
由于算法中只用到误差项的符号,所以可以使用如下替换:
e’=2*e*dx
注意:
为了让代换后符号不变,必须保证dx>0
使用这个替换以后,我们就可以消除除法和小数了,这里要注意一个问题,我们一定要保持e和e’的符号是相同的,那么就要保证dx大于0!
!
!
所以说,在这种情况下,我们的dx一定要大于0,如果小于0,可以交换起点和终点坐标,总之起点一定要从x坐标小的点开始。
而且我们要注意以前当e>0时,我们要e=e-1,现在:
e=e’/(2*dx)
所以e’/(2*dx)=e’/(2*dx)-1
展开e’=e’-2*dx。
具体的代码如下:
voidCMyDrawLineView:
:
DrawBresenham(intx1,intx2,inty1,inty2,COLORREFcolor,CDC*pDC)
{
intx,y,dx,dy,e;
dx=x2-x1;
dy=y2-y1;
x=x1;
y=y1;
CStrings;
//这里一定要注意,由于使用的是改进算法,所以dx一定是要大于0才能保证其符号不变
if((dx>=0&&dy>=0)||(dx<=0&&dy<=0)) //如果k大于0
{
if(dx<0) //dx小于0说明终点x
{
dx=-dx;
x=x2;
dy=-dy;
y=y2;
}
if(dy {
e=-dx;
for(inti=0;i {
pDC->SetPixel(x,y,color);
x++;
e=e+dy+dy;
if(e>=0)
{
y++;
e=e-dx-dx;
}
}
}
}
}
B. 斜率在1-无穷之间
如图二,在这种情况下,我们可以看到y的变化速度比x快,所以说,我们这里每次让y加1,而不是让x加1,所以我们每次让y加1时,x的增长是d,注意,此处的d不是斜率k,而是1/k,按照以往我们的目的,我们要消除除法和小数:
1. 消除除法
e=e+d;
e=e+dx/dy;
dy*e=dy*e+dx;
2.消除0.5
2*dy*e=2*dy*e+2dx;
由于算法中只用到误差项的符号,所以可以使用如下替换:
e’=2*e*dy
注意:
为了让代换后符号不改变,必须保证dy>0,如果不满足,则可以按上述方法交换起点终点坐标。
代码如下:
voidCMyDrawLineView:
:
DrawBresenham(intx1,intx2,inty1,inty2,COLORREFcolor,CDC*pDC)
{
intx,y,dx,dy,e;
dx=x2-x1;
dy=y2-y1;
x=x1;
y=y1;
CStrings;
//这里一定要注意,由于使用的是改进算法,所以dx一定是要大于0才能保证其符号不变
if((dx>=0&&dy>=0)||(dx<=0&&dy<=0)) //如果k大于0
{
if(dx<0) //dx小于0说明终点x
{
dx=-dx;
x=x2;
dy=-dy;
y=y2;
}
if(dy>=dx) //第一种情况,k-(0,1)
{
e=-dy;
for(inti=0;i {
pDC->SetPixel(x,y,color);
y++;
e=e+dx+dx;
if(e>=0)
{
x++;
e=e-dy-dy;
}
}
}
}
}
C.斜率在0-(-1)之间
如图三,在这种情况下可以类比斜率在0-1之间的情况,不过呢,我们要注意一个问题,就是现在的斜率是负数,我们使用时,需要改变符号,下面直接看改进:
1.消除除法
e=e-dy/dx(注意是减号,因为现在的斜率是负数)
e*dx=e*dx-dy
2.消除小数
2*e*dx=2e*dx-2dy
由于算法中只用到误差项的符号,所以可以使用如下替换:
e’=2*e*dx
注意:
为了让代换后符号不变,必须保证dx>0
d
d
代码如下:
voidCMyDrawLineView:
:
DrawBresenham(intx1,intx2,inty1,inty2,COLORREFcolor,CDC*pDC)
{
intx,y,dx,dy,e;
dx=x2-x1;
dy=y2-y1;
x=x1;
y=y1;
CStrings;
//这里一定要注意,由于使用的是改进算法,所以dx一定是要大于0才能保证其符号不变
if((dx>=0&&dy>=0)||(dx<=0&&dy<=0)) //如果k大于0
{
。
。
。
。
。
。
。
。
。
}
else
{
inttempx,tempy; //保存x和y的绝对值
if(dx<0) //dx小于0说明终点x
{
tempx=-dx;
tempy=dy;
}
if(dy<0)
{
tempx=dx;
tempy=-dy;
}
if(tempx>tempy) //第三种情况,k-(-1,0)
{
if(dx<0) //dx小于0说明终点x
{
dx=-dx;
x=x2;
dy=-dy;
y=y2;
}
e=-dx;
for(inti=0;i {
pDC->SetPixel(x,y,color);
x++;
e=e-dy-dy;
if(e>=0)
{
y--;
e=e-dx-dx;
}
}
}
}
}
D.斜率在(-1)-负无穷之间
如图四,在这种情况下可以类比斜率在1到正无穷之间的情况,不过呢,我们要注意一个问题,就是现在的斜率是负数,我们使用时,需要改变符号,下面直接看改进:
1.消除除法
e=e-dx/dy(注意是减号,因为现在的斜率是负数)
e*dy=e*dy-dx
2.消除小数
2*e*dy=2*e*dy-2dx
由于算法中只用到误差项的符号,所以可以使用如下替换:
e’=2*e*dy
注意:
为了让代换后符号不变,必须保证dy>0
代码如下:
voidCMyDrawLineView:
:
DrawBresenham(intx1,intx2,inty1,inty2,COLORREFcolor,CDC*pDC)
{
intx,y,dx,dy,e;
dx=x2-x1;
dy=y2-y1;
x=x1;
y=y1;
CStrings;
//这里一定要注意,由于使用的是改进算法,所以dx一定是要大于0才能保证其符号不变
if((dx>=0&&dy>=0)||(dx<=0&&dy<=0)) //如果k大于0
{
。
。
。
。
。
。
。
。
。
}
else
{
inttempx,tempy; //保存x和y的绝对值
if(dx<0) //dx小于0说明终点x
{
tempx=-dx;
tempy=dy;
}
if(dy<0)
{
tempx=dx;
tempy=-dy;
}
if(tempx {
if(dy<0)//dx小于0说明终点x
{
dx=-dx;
x=x2;
dy=-dy;
y=y2;
}
e=-dy;
for(inti=0;i {
pDC->SetPixel(x,y,color);
y++;
e=e-dx-dx;
if(e>=0)
{
x--;
e=e-dy-dy;
}
//if(e>dy)
//{
// e=e-dy-dy;
//}
}
}
}
}
完整的程序如下:
/*
x1:
直线起点x
x2:
直线终点x
y1:
直线起点y
y2:
直线终点y
color:
直线颜色
*/
voidCMyDrawLineView:
:
DrawBresenham(intx1,intx2,inty1,inty2,COLORREFcolor,CDC*pDC)
{
intx,y,dx,dy,e;
dx=x2-x1;
dy=y2-y1;
x=x1;
y=y1;
CStrings;
//这里一定要注意,由于使用的是改进算法,所以dx一定是要大于0才能保证其符号不变
if((dx>=0&&dy>=0)||(dx<=0&&dy<=0)) //如果k大于0
{
if((dx<0)||(dx==0&&dy<0)) //dx小于0说明终点x
{
dx=-dx;
x=x2;
dy=-dy;
y=y2;
}
if(dy {
e=-dx;
for(inti=0;i {
pDC->SetPixel(x,y,color);
x++;
e=e+dy+dy;
if(e>=0)
{
y++;
e=e-dx-dx;
}
}
}
else //第二种情况,k-(1,max)
{
e=-dy;
for(inti=0;i {
pDC->SetPixel(x,y,color);
y++;
e=e+dx+dx;
if(e>=0)
{
x++;
e=e-dy-dy;
}
}
}
}
else //如果k小于0
{
inttempx,tempy; //保存x和y的绝对值
if(dx<0) //dx小于0说明终点x
{
tempx=-dx;
tempy=dy;
}
if(dy<0)
{
tempx=dx;
tempy=-dy;
}
if(tempx>tempy) //第三种情况,k-(-1,0)
{
if(dx<0) //dx小于0说明终点x
{