用假设法解决问题.docx

用假设法解决问题.docx

《用假设法解决问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用假设法解决问题.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

用假设法解决问题

用假设法解决问题

（一）

河北省平乡县大刘庄小学李明亮

先举一个简单的例子：

甲班有学生45人，乙班比甲班多3人。

两班共有学生多少人

解此题的一般方法是，先求出乙班人数，再求学生总数。

如果列式为45×2+3就是用了假设法——假设乙班也是45人，则两班共有45×2=90（人）。

但乙班实际人数比45人多3人，所以两班的实际总人数比90人多3人。

有些数学题的数量关系不明显，不容易找到解题的方法。

如果我们做一些适当、合理的假设，就有可能使数量关系明显，从而找到解题的方法。

这种解题方法叫做假设法。

假设的方法有多种，要灵活运用。

一、把“缺少”的条件假设为已知

例1.甲、乙、丙三人出了同样多的钱在粮店买了若干千克大米。

回家后，乙要的大米比甲、丙都少6千克，因此，甲、丙都又退给乙6元钱。

每千克大米多少元、

分析：

不知道三人共买了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的单价似乎很难。

但是，我们可以假设大米的数量。

假设乙要了1千克大米，则甲、丙都要了7千克，三人共买了7+7+1=15（千克）每人平均15÷3=5（千克）。

在粮店，他们平均出钱，每人出的都是5千克大米的钱。

回家后，甲、丙要的大米都比平均数多7－5=2（千克），所以甲或丙退给乙的6元钱就是多要的2千克大米的价钱。

乙要的大米比平均数少5－1=4（千克），所以甲和丙退给他的12元钱就是少要的这4千克大米的价钱。

这样，就可求出大米的单价。

解法÷[7－（7＋7＋1）÷3]=3（元）

解法×2÷[（7＋7＋1）÷3－1]=3（元）

本题还可以用下面的方法解（这里只画出线段图，分析略）

解法÷（6－6×2÷3）=3（元）

解法×2÷（6×2÷3）=3（元）

例2.小王骑车去火车站。

他计划以每小时15千米的速度行驶，这样才能正好赶上火车。

可是，前一半路程他骑车的速度是每小时12千米。

下一半路程他应该以多快的速度骑行，才能赶上火车

分析与解答：

题中只有两个速度，没有路程怎样计算可以假设路程。

假设路程是30千米，则小王按计划骑行，需要的时间是30÷15=2（小时）。

前一半路程他已经用了30÷2÷12=（小时）；下一半路程他应该用的时间是2－=（小时），应该用的骑车速度是每小时30÷2÷=20（千米）。

30÷2÷（30÷15－30÷2÷12）=20（千米）

答：

（略）

当然，把路程假设为3千米、6千米、10千米……结果都是一样的。

把路程假设为“1”当作工程问题来解，也很简便。

例3.甲数的

等于乙数的

，甲数比乙数大几分之几

分析与解法1.假设甲数是25，则甲数的

是25×

=15。

即乙数的

也是15，乙数是15÷

=24。

（25－24）÷24=

解法2.假设乙数是1，则甲数是1×

÷

=

。

（

－1）÷1=

分析与解法3.假设甲数的

与乙数的

都等于1，则甲数是1÷

=

，乙数是1÷

=

。

（

－

）÷

=

例4.一次考试，某班学生的平均分数为87分。

其中90%的学生达到了80分，他们的平均分数为89分。

80分以下的学生的平均分数是多少

分析与解答：

假设全班有40人，则达到80分的学生数是40×90%=36（人），80分以下的学生数为40－36=4（人）。

全班学生总分为87×40=3480（分）；达到80分的学生总分为89×36=3204（分）；80分以下的学生的总分为3480－3204=276（分），平均分是276÷4=69（分）。

综合算式：

（87×40－89×40×90%）÷（40－40×90%）=69（分）

注：

如果假设全班有4人，则解法更简便。

这类问题，似乎都缺少一个重要条件，但问题的答案却与这个“重要条件”无关。

所以，无论把这个“重要条件”假设为多少，都不影响计算结果，但假设的数据应便于计算。

类似问题；

1.甲乙二人走同一段路，甲所用的时间比乙短

，甲的速度比乙快几分之几

2.一艘轮船停靠在码头，计划12小时把货卸完。

实际卸货的速度提高了

。

实际几小时可以卸完

3.植树节这天，同学们去种树，平均每人应该种2棵。

如果只让男同学去种，平均每人应该种3棵。

如果只让女同学去种，平均每人应该种几棵

二、把一般条件假设为特殊条件

例5.一个正方形的面积是20平方分米。

在这个正方形内画一个最大的圆，求这个圆的面积。

分析：

求圆的面积，一般要先求出圆的半径。

在本题中，如果知道了正方形的边长，就可求出圆的半径，但题中只给了正方形的面积。

根据正方形的面积求边长，要用开方。

对于小学生来说，只有正方形的面积是4、9、16、25……时，才有可能推想出它的边长。

用小学知识能不能解这道题呢

解法1.假设这个正方形的面积是25平方分米，则它的边长是5分米。

所以，假设的这个正方形内的最大的圆的直径是5分米，面积是

（

）2×=（平方分米）

而原正方形面积是假设的这个正方形面积的

所求的圆的面积也应该是假设的这个圆面积的

。

×

=（平方分米）

解法2.假设正方形的边长是20分米，则它里面最大的圆的直径也是20分米，面积是（

）2×=314（平方分米）。

把面积20平方分米的正方形假设为边长20分米，面积就扩大了20倍，它里面最大的圆的面积也就扩大了20倍。

所以，所求的圆的面积是

314÷20=（平方分米）

注：

此题不用假设法也可以解。

如图，把正方形平均分成4个小正方形，每个小正方形的面积都是20÷4=5（平方分米），即r2=5.所以圆的面积是

S=πr2=×5=（平方分米）。

类似习题：

1.把一个面积是平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。

求这个正方形纸片的面积。

2.一个正方体的体积是9立方分米，另一个正方体的棱长是它的2倍。

求另一个正方体的体积。

三、把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛”

有些问题，给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量，我们称之为分率（倍数）带“铃铛”。

可以假设法（当然，也可以用用画图的方法）把数量进行调整，使分率（倍数）不带“铃铛”。

例6.工人师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的

多4个，第二天加工了全部零件的

少1个，还剩16个每加工。

这批零件共多少个

分析与解答：

假设第一天正好完成了全部零件的

，那么剩下的（没加工的）零件就会多4个；假设第二天正好完成了全部零件的

，那么剩下的就会少1个。

于是，原题的条件就变成了“第一天加工了全部零件的

，第二天加工了全部零件的

，还剩（16+44－1）个没加工”。

（16+4－1）÷（1―

―

）=114（个）

答：

（略）

例7.甲、乙、丙．丁四个数的和是202，乙数比甲数多1，丙数比甲数的2倍少2，丁数比甲数的一半多

.求这四个数。

分析与解：

假设乙数等于甲数，丙数正好是甲数的2倍，丁数正好是甲数的一半，则四个数的和将是（202－1+2―

）。

由此可求出甲数，进而求出另外三数。

甲数（202－1+2―

）÷（1＋1＋2＋

）=45

乙数45+1=46

丙数45×2－2=88

丁数45÷（1＋1＋2＋

）＋

=23

例8.学校买来三种新书共100本，其中文艺书是科技书的3倍，画册比科技书的一半少8本。

这三种书各买来多少本

解（分析略）：

（100+8）÷（3＋1＋

）=24（本）（科技书）

24×3=72（本）（文艺书）

24÷2－8=4（本）（画册）

解法2（分析略）：

（100+8）÷（2＋1＋2×3）=4（本）（画册）

（4+8）×2=24（本）（文艺书）

24×3=72（本）（文艺书）

例9.水果店有535千克橘子，第一天卖出8筐又17千克，第二天卖出5筐又11千克，还剩195千克。

每筐橘子的重量相等。

第一天卖出多少千克

解（分析略）：

每筐橘子有多重

（535―195―17―11）÷（8＋5）=24（千克）

第一天卖出多少千克

24×8＋17=209（千克）

类似习题：

1.师徒二人加工一批零件。

徒弟加工了92个，超额15%完成了自己的任务。

他的任务比师傅任务的

多32个。

师傅加工零件的任务是多少个

2.车站仓库里原有煤若干吨。

第一次运出的比存煤的一半少350吨，第二次运出现有煤的一半有50吨，结果还剩500吨。

仓库里原有煤多少吨

3.小明有人民币若干元。

买书用去其中的一半又5角，买文具用去剩下的一半又5角，买本又用去第二次剩下的一半又5角，最后还剩5角。

小明原有多少元

四、虚构、改编情节

例10.一个班有48人。

班主任在班会上问：

谁做完语文作业请举手。

有37人举手。

又问：

谁做完数学作业请举手。

有42人举手。

最后问：

谁语文、数学作业都没做完没有人举手。

你想想看：

这个班语文、数学作业都做完的有多少人

分析与解法1.全班做完语文数学作业的分别有37人和42人，没有两种作业都没做完的。

假设全班学生都正好做完了一种作业，那么全班应该有79人（37+42=79）。

但实际上全班只有48人，假设的人数比实际人数多31人（79－48=31）。

为什么会多出31人是因为这31人都举了两次手。

37+42－48=31（人）

分析与解法2.已知有37人做完了语文作业。

假设全班48人都做完了数学作业，那么做完语文作业的37人就是两种作业都做完的人数。

但是，实际做完数学作业的只有42人，比假设的48人少6人。

所以，两种作业都做完的也应该比37人少6人。

37―（48―37）=31（人）

分析与解法3.有37人做完了语文作业。

假设全班48人都正好做完了一种作业，没有人做完两种作业，则做完数学作业的应该是11人（48－37=11）。

但实际做完数学作业的有42人，比假设的11人多31人（42－11=31）。

这31人既做完了数学作业，又做完了语文作业。

42―（48―37）=31（人）

分析4.假设班主任不是让学生举手，而是让做完作业的学生交作业本——把语文、数学作业本各摆一行，并且同一学生的两个作业本的两个作业本上下对齐摆放（如下图）。

这样，只要数一数作业本数，就可以知道做完作业的人数。

但是，两种作业的总本数比全班人数多，因为两种作业都做完的学生都交了两个本。

如果再让全班每个学生都拿回去一个本（共拿回去48本），就只剩下两种作业都做完的人的作业本了（两种作业都做完的人，每人剩一本摆在那里）。

这样就可得到解法1。

从上图中也可以得到解法2、解法3，还可以得到解法4。

解法4.48―（48―37）―（48―37）=31（人）

注：

上面的四种解法都可以用其他思考方法得到。

例11.一人骑摩托车从A城去B城。

若以每小时30千米的速度行驶，他将迟到2小时；若以每小时48千米的速度行驶，他将早到1小时。

AB两城相距多少千米要准时到达，每小时该行多少千米

分析1.从A城出发，以每小时30千米的速度行驶，要迟到2小时，即到既定时刻离B城还有60千米的路程（30×2=60）；以每小时48千米的速度行驶，将早到1小时。

假设他以每小时48千米的速度行驶到B城后没有停下，而是又向前行了1小时，到既定时刻才停下。

用相同的时间，用两种速度行驶的路程相差108千米（60+48=108）。

由此可求出行驶的时间，进而就可求出两地距离和应有的速度。

解法1.①从出发到既定时刻是几小时

（30×2＋48×1）÷（48－30）=6（小时）

②AB两城相距多少千米

30×（6＋2）=240（千米）或48×（6－1）=240（千米）

③要准时到达，每小时该行多少千米

240÷6=40（千米）

分析2.假设有两个人分别以每小时30千米和每小时48千米的速度，同时从A城出发驶向B城。

当快车提前1小时到达B城时，慢车距B城还有2+1=3小时的路程，即快车比慢车多行了30×3=90千米。

由此可求出快车到达B城所用的时间。

解法2.①每小时行驶48千米，几小时可到达

30×（2+1）÷（48－30）=5（小时）

②AB两城相距多少千米

48×5=240（千米）

③要准时到达，每小时该行多少千米

240÷（5+1）=40（千米）

解法3（分析略）.①每小时行驶30千米，几小时可到达

48×（2+1）÷（48－30）=8（小时）

②AB两城相距多少千米

30×8=240（千米）

③要准时到达，每小时该行多少千米

240÷（8－2）=40（千米）

例12.一项工作，甲单独做40天可以完成，乙单独做60天可以完成。

二人合作，甲因病休息了几天，他们共用了27天才完成。

问：

甲中途休息了几天

分析：

甲乙合作，每天可完成这项工作的

+

=

.假设甲中途没有休息，甲乙合作27天，可完成这项工作的

×27=

超过任务的

。

甲几天可以完成这项工作的

呢

解：

[（

+

）×27－1]÷

=5（天）

答：

（略）。

本题的另外几种解法：

（1）27―（1―

）÷

=5（天）

（2）把甲的工效设为“1”:

27―（1×40―

×27）÷1=5（天）

（3）把乙的工效设为“1”：

27―（1×60―1×27）÷

=5（天）

（4）[（1+

）×27―1×40]÷1=5（天）

（5）[（1+

）×27―1×60]÷

=5（天）

例13.食堂有面粉和大米共168千克。

一天用去了面粉的

和大米的

，一共用去48千克。

面粉和大米原来各有多少千克

分析1.一天用去了面粉的

和大米的

（共48千克）。

假设连用3天，则大米将正好用完，面粉应该还剩1―

×3=

。

连用3天，共用去面粉和大米48×3=144（千克）。

还剩168―144=24（千克）。

这24千克都是面粉（是原来面粉重量的

）。

解法1.（168―48×3）÷（1―

×3）=96（千克）（面粉）

168―96=72（千克）（大米）

分析2.假设连用4天，则面粉将正好用完，面粉就会缺

×4―1=

。

连用4天，共应该用面粉和大米48×4=192（千克），比总数还多192―168=24（千克）。

这24千克正好是原来大米重量的

。

解法2.（48×4―168）÷（

×4―1）=72（千克）（大米）

168―72=96（千克）（面粉）

注：

本题还有其他假设解法。

例14.一个化肥厂计划14天完成一项任务。

由于每天多生产吨，结果9天就完成了任务。

原计划每天生产多少吨

分析1.假设有甲乙两个厂分别按这个厂计划的效率和实际的效率进行生产。

则当按实际的效率（每天比甲厂多生产吨）生产9天完成任务时，乙厂比甲厂共多生产吨（×9=）。

这时,甲厂还需再生产5天才能完成任务。

由此可求出甲厂每天生产多少吨（计划每天生产多少吨）.

解法1.×9÷（14―9）=（吨）

解法2（分析略）.×14÷（14―9）―=（吨）

例15.鸡和兔共43只，它们共有120条腿。

鸡和兔各有多少只

分析与解法1.假设把鸡和兔都砍掉2条腿，则43只鸡和兔就会被砍掉86条腿（2×43=86）,只剩下34条（120―86=34）。

这34条都是兔腿，因为鸡都没了腿。

每只兔只剩2条腿，所以有17只兔。

兔（120－2×43）÷（4―2）=17（只）

鸡43―17=26（只）

分析与解法2.假设每只鸡也都有了4条腿（都又“长”出来2条），则43只鸡和兔一共应该有172条腿（43×4=172）。

所有的鸡一共“长”出了52条腿（172―120=52）。

每只鸡都“长”出来了2条腿，是多少只鸡“长”出来52条腿呢

鸡（4×43－120）÷（4―2）=26（只）

兔43―26=17（只）

分析与解法3.假设把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿（每只鸡只剩一条腿，每只兔剩2条腿，则43只鸡和兔一共剩下60条腿（120÷2=60）。

每只鸡和兔都有一个头。

把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿后，鸡的腿数和头数同样多，而每只兔的腿数都比头数多1。

现在，43只鸡和兔共有43个头、60条腿，腿数比头数多17（60―43=17），所以有17只兔。

（120÷2―1×43）÷（4÷2－1）=17（只）

例16.一次数学竞赛，共20道题。

评分标准是：

每答对一道，给5分；答错一道，倒扣3分；不答的，给0分。

小华参加这次竞赛，全答了，但只得了76分。

他答对了多少道

分析与解：

假设把评分标准改为“每答对一道，给8分；答错或不答的不给分也不扣分”（即，只要答了的题，不管对错，每道都比原评分标准多给3分），则小华应比原来多得60分（3×20=60），一共应得136分（76+60=136）。

对一道给8分，他对了多少道呢

（76+3×20）÷（5＋3）=17（道）

有些问题，如果虚构、改编一些情节，就有可能使复杂的情节变简单，隐蔽的数量关系变明显。

解数学题，重要的是数量关系，而不是情节。

在不改变题目的结构、数量关系的前提下假设、虚构一些情节，不会影响计算结果。

类似题目：

1.甲乙二人同时骑车从A城去B城，甲每小时行24千米，乙每小时行18千米。

甲在途中因修车停留2小时，结果比乙晚1小时到达B城。

A、B两城相距多少千米

2.某校安排学生住宿。

若每间宿舍住6人，则34人无住处；若每间住7人，则空出4间宿舍。

有学生多少人

3.甲乙丙三人共同做一件工作，15天可以完成。

但由于甲请了2天假，乙请了3天假，他们一共用了17天才完成。

已知甲的工作效率是乙的倍。

如果让甲单独做这项工作，多少天可以完成

4.一个筑路队原计划20天修完一条公路。

实际每天比计划多修45米，提前5天完成了任务。

这条公路长多少米

5.一个班有42人。

28人参加了数学小组，14人参加了语文小组，10人两个小组都没参加。

有几个人两个小组都参加了