动态规划习题答案.doc
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2.某公司有资金4百万元向A,B和C3个项目追加投资，各个项目可以有不同的投资额（百万元计），相应的效益如表所示。
问怎样分配资金，使总效益值最大？
##
表8－47
Wk（Xk）（项目k#
投资额
0
1
2
3
4
1#（A）
－
41
48
60
66
2#（B）
40
42
50
60
－
3#（C）
－
64
68
78
84
解：
设S1－A,B,C项目的总投资额，S2－B、C项目的总投资额
S3－C项目的投资额；
Xk－k项目的投资额；
（X1－A项目的投资额，X2－B项目的投资额，X3－C项目的投资额）
Wk（Sk,Xk）－对K项目投资Xk后的收益：
Wk（Sk,Xk）＝Wk（Xk）
Tk（Sk,Xk）－Sk+1=Sk-Xk
fk（Sk）－当K至第3项目允许的投资额为Sk时所能获得的最大收益。
为获得最大利润，必须将4百万全部投资，假设有4阶段存在，有S4＝0，建立递归方程
f4（Sk）=0
fk（Sk）=max{Wk（Xk）+fk+1（Sk+1）}k=3,2,1
Xk∈Dk（Sk）
第一步，K=3
f4（S4）=0
f3（S3）=max{W3（X3）+f4（S4）}
X3∈D3（S3）
S4=S3-X3
S3
f3（S3）
X3*
1
64
1
2
68
2
3
78
3
4
84
4
第二步：
K=2f2（S2）=max{W2（X2）+f3（S3）}
X2∈D2（S2）
S3=S2-X2
W2（X2）+f3（S2-X2）
S2
X2=0
X2=1
X2=2
X2=3
f2（S2）
X2*
1
40+64
－
－
－
104
0
2
40+68
42+64
－
－
108
0
3
40+78
42+68
50+64
－
118
0
4
40+84
42+78
50+68
60+64
124
0，3
第三步：
K=1f1（S1）=max{W1（X1）+f2（S2）}
X1∈D1（S1）
S2=S1-X1
W1（X1）+f2（S1-X1）
S1
X1=0
X1=1
X1=2
X1=3
f1（S1）
X1*
4
－
41+118
48+108
60+104
164
3
S1=4→S2=1→S3=1
↓↓↓
X1*=3X2*=0X3*=1
A投资3百万，B不投资C投资1百万。
总收益164百万元。
3.（最优分配问题）有一个仪表公司打算向它的3个营业区设立6家销售店。
每个营业区至少设一家，所获利润如表。
问设立的6家销售店数应如何分配，可使总利润最大？
利润
wk（x）
营业区Ak
A1
A2
A3
销售
店数x
1
2
3
4
200
280
330
340
210
220
225
230
180
230
260
280
解：
sk——对k#,…,3#营业区允许设立的销售店数
xk——对k#营业区设立的销售店数
wk（sk,xk）——对k#营业区设立xk销售店后的利润：
wk（sk,,xk）=wk（xk）
Tk（sk,xk）——sk+1=sk-xk
fk（sk）——当第k至第3个营业区允许设立的销售店数为sk时所能获得的最大利润
递归方程：
f4（s4）=0
fk（sk）=max｛wk（xk）+fk+1（sk+1）｝,k=3,2,1
xk∈Dk（sk）
k=3时，有方程
f4（s4）=0
f3（s3）=max｛w3（x3）+f4（s4）｝
x3∈D3（s3）
s3=s2—x2
s3
f3（s3）
x3*
1
180
1
2
230
2
3
260
3
4
280
4
k=2,有方程
f2（s2）=max｛w2（x2）+f3（s3）｝
x2∈D2（s2）
s3=s2—x2
s2
w2（x2）+f3（s2—x2）
f2（s2）
x2*
x2=1
x2=2
x2=3
x2=4
2
210+180
/
/
/
390
1
3
210+230
220+180
/
/
440
1
4
210+260
220+230
225+180
/
470
1
5
210+280
220+260
225+230
230+180
490
1
k=1,有方程
f1（s1）=max｛w1（x1）+f2（s2）｝
x1∈D1（s1）
s2=s1—x1
s1
w1（x1）+f2（s1—x1）
f1（s1）
x1*
x1=1
x1=2
x1=3
x1=4
6
200+490
280+470
330+440
340+390
770
3
s1=6→s2=3→s3=2
↓↓↓
x1*=3x2*=1x3*=2
分别A1、A2、A3营业区设立3家、1家、2家销售店，最大利润为770
4．用动态规划方法求解下列模型：
maxf=10X1+4X2+5X3
s.t.3X1+5X2+4X3≤15
0≤X1≤20≤X2≤2X3≥0，Xj为整数j=1,2,3
解：
收费C1=10C2=4C3=5
X1为货物1的装载件数
X2为货物2的装载件数
X3为货物3的装载件数
分3阶段
S1为货物1、2、3允许的装载重量（3X1+5X2+4X3的允许值）
S2为货物2、3允许装载的重量（5X2+4X3的允许值）
S3为货物3允许装载的重量（4X3的允许值）
第一步：
K=3
f4（S4）=0
f3（S3）=max{5X3+f4（S4）|X3∈D3（S3）}
S4=S3-4X3
S3
0~3
4~7
8~11
12~15
D3（S3）
{0}
{0,1}
{0,1,2}
{0,1,2,3}
S3
X3=0
X3=1
X3=2
X3=3
f3（S3）
X3*
0~3
0+0
______
______
______
0
0
4~7
0+0
5+0
______
______
5
1
8~11
0+0
5+0
10+0
______
10
2
12~15
0+0
5+0
10+0
15+0
15
3
第二步：
K=2
f2（S2）=max{4X2+f3（S3）|X2∈D2（S2）}
S3=S2-5X2
S2
0~4
5~9
10~15
D2（S2）
{0}
{0,1}
{0,1,2}
划分点：
0
4
8
12
0
0
4
8
12
5
5
9
13
17
10
10
14
18
22
S2
4X2+f3（S2-5X2）
f2（S2）
X2*
X2=0
X2=1
X2=2
0~3
0+0
______
______
0
0
4
0+5
______
______
5
0
5~7
0+5
4+0
______
5
0
8
0+10
4+0
______
10
0
9
0+10
4+5
______
10
0
10~11
0+10
4+5
8+0
10
0
12
0+15
4+5
8+0
15
0
13
0+15
4+10
8+0
15
0
14~15
0+15
4+10
8+5
15
0
第三步：
K=1
f1（S3）=max{10X1+f2（S2）|X1∈D1（S1）}
S2=S1-3X1
10X1+f2（S1-3X1）
S1
X1=0
X1=1
X1=2
f1（S1）
X1*
15
0+15
10+15
20+10
30
2
顺序追踪：
最优策略为
S1=15→S2=9→S3=9
↓↓↓
X1*=2X2*=0X3*=2
最优装载方案为：
货物1装2件；货物2不装；货物3装2件
装载收费为30元
5.用动态规划方法解下列0—1背包问题：
Maxf=12x1+12x2+9x3+16x4+30x5；
s.t.3x1+4x2+3x3+4x4+6x5≤12;
xj=0,1,j=1,……，5
解：
本问题分为5个阶段。
令
sk——akxk+…+a4x4的允许值
xk——第k阶段xk取值，xk=0，1
wk（sk,xk）——xk产生的价值：
wk（sk,xk）=ckxk
Tk（sk,xk）——sk+1=sk-akxk
fk（sk）——在akxk+…+a4x4≤sk的条件下，ckxk+…+c4x4能取得的最大值。
xk∈Dk（sk）
fk（sk）=max{ckxk+fk+1（sk+1）},k=5,4,3,2,1
f6（s6）=0
递归方程为
x5∈D5（s5）
k=5f5（s5）=max{30x5}
s5
30x5
f5（s5）
x5*
x5=0
x5=1
0~5
0
——
0
0
6~12
0
30
30
1
s5=s4-4x4
x4∈D4（s4）
f4（s4）=max{16x4+f5（s5）}
k=4
s4
16x4+f5（s4-4x4）
f4（s4）
x4*
x4=0
x4=1
0~3
0+0
——
0
0
4~5
0+0
16+0
16
1
6~9
0+30
16+0
30
0
10~12
0+30
16+30
46
1
s3
9x3+f4（s3-3x3）
f3（s3）
x3*
x3=0
x3=1
0~2
0+0
——
0
0
3
0+0
9+0
9
1
4~5
0+16
9+0
16
0
6
0+30
9+0
30
0
7~8
0+30
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