通用版202x高考数学一轮复习 13 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词讲义 文.docx
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通用版202x高考数学一轮复习13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词讲义文
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、基础知识批注——理解深一点
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词.
①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p且q”,记作p∧q;
②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p或q”,记作p∨q;
③对命题p的结论进行否定,得到复合命题“非p”,记作綈p.❷
❶“且”的数学含义是几个条件同时满足,“且”在集合中的解释为“交集”;“或”的数学含义是至少满足一个条件,“或”在集合中的解释为“并集”;“非”的含义是否定,“非p”只否定p的结论,“非”在集合中的解释为“补集”.
❷“命题的否定”与“否命题”的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定其条件,也否定其结论.
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假,而否命题与原命题的真假无必然联系.
(2)命题真值表:
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
假
真
真
真
假
真
假
假
假
命题真假的判断口诀
p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与綈p→真假相反.
2.全称量词与存在量词
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
3.全称命题与特称命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x,有p(x)成立
∀x∈M,p(x)
特称命题
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
∃x0∈M,p(x0)
4.全称命题与特称命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
二、常用结论汇总——规律多一点
含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假.
(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(綈p)∧(綈q)真.
(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(綈p)∨(綈q)假.
(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)若命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.( )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( )
(3)若命题p,q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.( )
(4)若命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至多有一个是真命题.( )
(5)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)× (5)×
(二)选一选
1.命题∀x∈R,x2+x≥0的否定是( )
A.∃x0∈R,x
+x0≤0 B.∃x0∈R,x
+x0<0
C.∀x∈R,x2+x≤0D.∀x∈R,x2+x<0
解析:
选B 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.
2.已知命题p:
若x>y,则-x<-y;命题q:
若
>
,则xA.①③B.①④
C.②③D.②④
解析:
选C 由不等式的性质可知,命题p是真命题,命题q为假命题,故①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③綈q为真命题,则p∧(綈q)为真命题;④綈p为假命题,则(綈p)∨q为假命题,故真命题为②③.
3.下列四个命题中的真命题为( )
A.∃x0∈Z,1<4x0<3B.∃x0∈Z,5x0+1=0
C.∀x∈R,x2-1=0D.∀x∈R,x2+x+2>0
解析:
选D 选项A中,
,与x0∈Z矛盾,不成立;选项B中,x0=-
,与x0∈Z矛盾;选项C中,x≠±1时,x2-1≠0;选项D正确.
(三)填一填
4.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________.
答案:
存在两个全等三角形的面积不相等
5.若命题p:
不等式ax+b>0的解集为
,命题q:
关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a解析:
由题知命题p为假命题,命题q为假命题,故只有“綈p”是真命题.
答案:
綈p
考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假
[典例]
(1)(2017·山东高考)已知命题p:
∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:
若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧綈q
C.綈p∧qD.綈p∧綈q
(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p:
∃x0∈(0,+∞),x0+
>3;命题q:
∀x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是( )
A.p∧(綈q)B.(綈p)∧q
C.p∧qD.(綈p)∨q
[解析]
(1)当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.由复合命题的真假性,知B为真命题.
(2)对于命题p,当x0=4时,x0+
=
>3,故命题p为真命题;对于命题q,当x=4时,24=42=16,即∃x0∈(2,+∞),使得2x0=x
成立,故命题q为假命题,所以p∧(綈q)为真命题,故选A.
[答案]
(1)B
(2)A
[解题技法] 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
[题组训练]
1.(2019·惠州调研)已知命题p,q,则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选B 充分性:
若綈p为假命题,则p为真命题,由于不知道q的真假性,所以推不出p∧q是真命题.必要性:
p∧q是真命题,则p,q均为真命题,则綈p为假命题.所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件.
2.已知命题p:
“若x2-x>0,则x>1”;命题q:
“若x,y∈R,x2+y2=0,则xy=0”.下列命题是真命题的是( )
A.p∨(綈q)B.p∨q
C.p∧qD.(綈p)∧(綈q)
解析:
选B 若x2-x>0,则x>1或x<0,故p是假命题;若x,y∈R,x2+y2=0,则x=0,y=0,xy=0,故q是真命题.则p∨q是真命题.
[典例]
(1)命题∀x∈R,ex-x-1≥0的否定是( )
A.∀x∈R,ex-x-1≤0
B.∀x∈R,ex-x-1≥0
C.∃x0∈R,ex0-x0-1≤0
D.∃x0∈R,ex0-x0-1<0
(2)对命题∃x0>0,x
>2x0,下列说法正确的是( )
A.真命题,其否定是∃x0≤0,x
≤2x0
B.假命题,其否定是∀x>0,x2≤2x
C.真命题,其否定是∀x>0,x2≤2x
D.真命题,其否定是∀x≤0,x2≤2x
[解析]
(1)改全称量词为存在量词,把不等式中的大于或等于改为小于.故选D.
(2)已知命题是真命题,如32=9>8=23,其否定是∀x>0,x2≤2x.故选C.
[答案]
(1)D
(2)C
[解题技法]
1.全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
2.全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词:
确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.
(2)否定结论:
对原命题的结论进行否定.
[题组训练]
1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2
C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n>x
D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x
解析:
选D ∀改写为∃,∃改写为∀,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x
”.
2.已知命题p:
∃n∈R,使得f(x)=nxn2+2n是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;命题q:
“∃x0∈R,x
+2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.(綈p)∧q
C.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q)
解析:
选C 当n=1时,f(x)=x3为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,故p是真命题,则綈p是假命题;“∃x0∈R,x
+2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2≤3x”,故q是假命题,綈q是真命题.所以p∧q,(綈p)∧q,(綈p)∧(綈q)均为假命题,p∧(綈q)为真命题,选C.
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
[典例] 已知p:
存在x0∈R,mx
+1≤0,q:
任意x∈R,x2+mx+1>0.若p或q为假命题,求实数m的取值范围.
[解] 依题意知p,q均为假命题,
当p是假命题时,则mx2+1>0恒成立,则有m≥0;
当q是真命题时,则Δ=m2-4<0,-2因此由p,q均为假命题得
即m≥2.
所以实数m的取值范围为[2,+∞).
[变透练清]
1.
若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”,其他条件不变,则实数m的取值范围为________.
解析:
依题意,当p是真命题时,有m<0;
当q是真命题时,有-2由
可得-2所以m的取值范围为(-2,0).
答案:
(-2,0)
2.
若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假,p或q为真”,其他条件不变,则实数m的取值范围为________.
解析:
若p且q为假,p或q为真,则p,q一真一假.
当p真q假时
所以m≤-2;
当p假q真时
所以0≤m<2.
所以m的取值范围为(-∞,-2]∪[0,2).
答案:
(-∞,-2]∪[0,2)
3.
若本例将条件q变为:
存在x0∈R,x
+mx0+1<0,其他条件不变,则实数m的取值范围为________.
解析:
依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>0,
所以m>2或m<-2.由
得0≤m≤2,
所以m的取值范围为[0,2].
答案:
[0,2]
[解题技法]
根据命题的真假求参数的取值范围的步骤
(1)求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围;
(2)根据复合命题的真假判断命题p,q的真假性;
(3)根据命题p,q的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值范围.
1.(2019·西安摸底)命题“∀x>0,
>0”的否定是( )
A.∃x0≥0,
≤0 B.∃x0>0,0≤x0≤1
C.∀x>0,
≤0D.∀x<0,0≤x≤1
解析:
选B ∵
>0,∴x<0或x>1,∴
>0的否定是0≤x≤1,
∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”.
2.下列命题中,假命题的是( )
A.∀x∈R,21-x>0
B.∃a0∈R,y=xa0的图象关于y轴对称
C.函数y=xa的图象经过第四象限
D.直线x+y+1=0与圆x2+y2=
相切
解析:
选C 对于A,由指数函数的性质可知为真命题;对于B,当a=2时,其图象关于y轴对称;对于C,当x>0时,y>0恒成立,从而图象不过第四象限,故为假命题;对于D,因为圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离等于
,等于圆的半径,命题成立.
3.(2019·陕西质检)已知命题p:
对任意的x∈R,总有2x>0;q:
“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.(綈p)∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.p∧(綈q)
解析:
选D 由指数函数的性质知命题p为真命题.易知x>1是x>2的必要不充分条件,所以命题q为假命题.由复合命题真值表可知p∧(綈q)为真命题.
4.(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )
A.“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B.命题p:
∀x∈R,2x>0,则綈p:
∃x0∈R,2x0<0
C.命题“若a>b>0,则
<
”的逆命题是真命题
D.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
解析:
选A 对于选项A,由a>1,b>1,易得ab>1,故A正确.对于选项B,全称命题的否定是特称命题,所以命题p:
∀x∈R,2x>0的否定是綈p:
∃x0∈R,2x0≤0,故B错误.对于选项C,其逆命题:
若
<
,则a>b>0,可举反例,如a=-1,b=1,显然是假命题,故C错误.对于选项D,由“a>b”并不能推出“a2>b2”,如a=1,b=-1,故D错误.故选A.
5.(2019·唐山五校联考)已知命题p:
“a>b”是“2a>2b”的充要条件;命题q:
∃x0∈R,|x0+1|≤x0,则( )
A.(綈p)∨q为真命题B.p∧(綈q)为假命题
C.p∧q为真命题D.p∨q为真命题
解析:
选D 由题意可知命题p为真命题.因为|x+1|≤x的解集为空集,所以命题q为假命题,所以p∨q为真命题.
6.下列说法错误的是( )
A.命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”
B.若命题p:
存在x0∈R,x
+x0+1<0,则綈p:
对任意x∈R,x2+x+1≥0
C.若x,y∈R,则“x=y”是“xy≥
2”的充要条件
D.已知命题p和q,若“p或q”为假命题,则命题p与q中必一真一假
解析:
选D 由原命题与逆否命题的关系,知A正确;由特称命题的否定知B正确;由xy≥
2⇔4xy≥(x+y)2⇔4xy≥x2+y2+2xy⇔(x-y)2≤0⇔x=y,知C正确;对于D,命题“p或q”为假命题,则命题p与q均为假命题,所以D不正确.
7.(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R,ax2+4x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞)B.(0,4]
C.(-∞,4]D.[0,4)
解析:
选C 当原命题为真命题时,a>0且Δ<0,所以a>4,故当原命题为假命题时,a≤4.
8.下列命题为假命题的是( )
A.存在x>y>0,使得lnx+lny<0
B.“φ=
”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件
C.∃x0∈(-∞,0),使3x0<4x0成立
D.已知两个平面α,β,若两条异面直线m,n满足m⊂α,n⊂β且m∥β,n∥α,则α∥β
解析:
选C 对于A选项,令x=1,y=
,则lnx+lny=-1<0成立,故排除A.对于B选项,“φ=
”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,正确,故排除B.对于C选项,根据幂函数y=xα,当α<0时,函数单调递减,故不存在x0∈(-∞,0),使3x0<4x0成立,故C错误.对于D选项,已知两个平面α,β,若两条异面直线m,n满足m⊂α,n⊂β且m∥β,n∥α,可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n,再由线面平行的判定定理可得n′∥β,接下来由面面平行的判定定理可得α∥β,故排除D,选C.
9.若命题p的否定是“∀x∈(0,+∞),
>x+1”,则命题p可写为________________________.
解析:
因为p是綈p的否定,所以只需将全称量词变为特称量词,再对结论否定即可.
答案:
∃x0∈(0,+∞),
≤x0+1
10.已知命题p:
x2+4x+3≥0,q:
x∈Z,且“p∧q”与“綈q”同时为假命题,则x=________.
解析:
若p为真,则x≥-1或x≤-3,
因为“綈q”为假,则q为真,即x∈Z,
又因为“p∧q”为假,所以p为假,故-3<x<-1,
由题意,得x=-2.
答案:
-2
11.已知p:
a<0,q:
a2>a,则綈p是綈q的________条件(填:
充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要).
解析:
由题意得綈p:
a≥0,綈q:
a2≤a,即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0},所以綈p是綈q的必要不充分条件.
答案:
必要不充分
12.已知命题p:
a2≥0(a∈R),命题q:
函数f(x)=x2-x在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题:
①p∨q;②p∧q;③(綈p)∧(綈q);④(綈p)∨q.
其中为假命题的序号为________.
解析:
显然命题p为真命题,綈p为假命题.
∵f(x)=x2-x=
2-
,
∴函数f(x)在区间
上单调递增.
∴命题q为假命题,綈q为真命题.
∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,(綈p)∧(綈q)为假命题,(綈p)∨q为假命题.
答案:
②③④
13.设t∈R,已知命题p:
函数f(x)=x2-2tx+1有零点;命题q:
∀x∈[1,+∞),
-x≤4t2-1.
(1)当t=1时,判断命题q的真假;
(2)若p∨q为假命题,求t的取值范围.
解:
(1)当t=1时,
max=0,
-x≤3在[1,+∞)上恒成立,故命题q为真命题.
(2)若p∨q为假命题,则p,q都是假命题.
当p为假命题时,Δ=(-2t)2-4<0,解得-1当q为真命题时,
max≤4t2-1,即4t2-1≥0,
解得t≤-
或t≥
,
∴当q为假命题时,-
,
∴t的取值范围是
.
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