中山大学概率统计第3习题解docx.docx
《中山大学概率统计第3习题解docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中山大学概率统计第3习题解docx.docx(28页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中山大学概率统计第3习题解docx
习题三
先介绍两个常用的恒等式•对于I兀|V1,
证明如下:
V°°M-1-1V°°Qz_1+兀
S_(1一才’乙曰"(1-X)3,
工和(屮尸匹爲广)"=&爲
匸/対匹二心+】)尸-工二宀
1.求习题2.4屮的随机变量X的期望.
解X有概率分布
P(X=k)=pk~](l-^+d-p/-1p,R=2,3,….
ex壬肿x=k)=xr=2时(i-刃+“尸p
/、
=d-P)工:
=2炒7+P》;/(l-P)I=0-P)
—1―-1+p1(1-"丿
=2p-p2|]_p2」_p+p2二]]
1一PPPQ_P)p(l—P)
2.求习题2.9屮的随机变量X的期望和方差.
解EX=匚顾兀宓=J[城兀/[01)(兀)+(2-兀)/[12](兀)皿
EX2
=匚F〃(x)dx=J:
gx2[x/l01)(x)+(2-x)ZL12J(x)]dr
DX=EX2-(EX)2=7/6-l=l/6.
3.某种彩票中奖的概率是0.1,连续地购买这种彩票,设直到第X张彩票才获奖.求X的期望与方差.
解X有分布
P(X=k)=0」x0・9*t,R=l,2,….
EX=》;,P(X*)=》:
/x0.1x0.91=0.yxO.k=_^_=W,
0」X(l+O・9)
(1-0.9)3
=190
EX2=》;」2p(X=灯二工二八x0.1x0.91-1
所以
DX=EX2-(EX)2=190-100=90.
4.某小组有男生4人女主3人从中随机选出2人.设X为选到的女牛的人数,求X的期望和方差.
解X冇分布
"八、43243344……321
p(X=0)=-x-=-,P(X=l)=-x-+-x-=-,P(X=2)=-x-=-.
76776767767
EX=》:
_‘P(X=k)=0x(2/7)+lx(4/7)+2x(l/7)=6/7,
EX?
=》;=2“P(X=k)=0x(2/7)+lx(4/7)+4x(l/7)=8/7,
DX=EX2-(EX)2=8/7-(6/7)2=20/49.
5.同时投掷4个骰子一次.约定没有掷出6点得1分,掷岀1个6点得5分,掷出2个6点得25分,掷出3个6点得125分,4个6点得625分.问期望能得多少分?
解X有分布
P(X=1)=Cf(1/6)°(5/6)4=625/64,
P(X=5)=C^(1/6)1(5/6)3=4x125/64,
P(X=25)=C:
(1/6尸(5/6尸=6x25/64,
P(X=125)=C^(l/6)3(5/6)1=4x5/64,
P(X=625)=C4(1/6)4(5/6)°=1/64・
EX=lxP(X=l)+5xP(X=5)+25xP(X=25)+625xP(X=625)
=(625+5x4x125+25x6x25+5x4x125+625)/64=625/81.
6.某人携带5发子弹射击一H标,一旦射中或子弹打光了便停止射击.设这个人每次射击命屮目标的概率是p,问他平均会射击儿次?
解1设q=\—p,X有分布
p(X=k)=pqk~x,£=1,2,3,4,P(X=5)=q4.
EX=XLiX=k)=HW1+=工仁fc(l-q)qi+5/
=1+2q+3/+-q-2q2--4q4+5c/4
=]+g+g2+/+?
4.
解2设q=\-p,X有分布
p(X=k)=pq-',£=1,2,3,4,P(X=5)=护.
因为对于|x|X—
1-x
1-5x4+4x5
(1一兀)2
=ZL^(X=^=ZLW-1
EX
所以
解1ex=\Zxp^c1x=JS|xe~^dx=JLxeX(ix+\
4-001
0尹如
丄xe~xdx=--xe~xJo22
\^-e~xdx=--e~xJo22
+8]o飞'
_4(/-Q)+5护=]+q+『+g34/+5g4=l+g+『+q3+g4i_q
DX=EX2-(EX)2=\/2.
fo1v,x="zf+°°1-/.
—xedx=-\—tedt=
J-oo2Jo2
故EX=0.
+°°
=2,o
EX2訂二*代T%訂;。
V厂必=J厂
+vv
2(Txdx=-2e^xo
f+8|j
=0'f.hr
+°°
x=l
f+oo丄
J-OO2
血Txl
dx=^
+oo
0
xe~xdx<
DX=EX2-(EX)2=2.
又由于丄宓Fl是奇函数,故
2
EX=J+xp(x)dx=j+£xe~^dx=0.
EX2=J+x2p(x)dx=J+x2e~xdx=-x2e~x+J;2xe~xdx
DX=EX2-(EX)2=2.
9.在赌场上,赌博的人每次交纳个一个筹码便可以同时投掷3个骰子一次,并获取一笔奖金,奖金的数目(元)等于3个骰子掷出的的点数的乘积•如果每个筹码的价钱是45元,那么赌场老板平均每次可以获利多少?
解分别以XPX2和X3记3个骰子掷出的的点数,则
EXt=EX2=EX3=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5Y=X^X2X3.
以Y这些点数的乘积,即丫=XK2X3,赌场老板平均每次的获利是
45-EY=45-EX}EX2EX3=45-3.53=45-42.875=2」25.
10.对某一目标进行射击,肓到击中r次为止.如果每次射击的命屮率为p,求需要射击次数的期望与方差.
解1分别以X],…,X,.记笫1次击中需要射击次数,第1次击中后开始到第2次击中需要射击次数,…,笫厂-1次击中后开始到笫r次击中需要射击次数.对i=…,厂,X,有分布
P(Xi=k)=pql',"1,2,…,
其屮qT—p.因而
EXi=LZ=1kP(Xi=k)=》;=[kpqk-'=,
EX?
=ZLkg=k)吃爲卄=氓p存卩墙学
(|一q)p
DXj=EX:
-(EX;=qjp2
以Y记需要射击的次数贝ljY=X]+…+X八
EY=EX\+・・+EXr=Hp,DY=DX\+..・+DXr=rq)p?
解2以Y记需要射击的次数,则Y有分布
P(Y=k)=pC;二严孑-r=C^prqk~r,—,广+1,….
EY=&」P(Y=約==吃二沽鬆”
r
(l-6/)r+,~~P
r\
pr(r-1)!
Py00k'・—
(厂_1)!
乙妇厂伙_广)!
纟
上式中
EY12=M/P(Y=k)=工;」伙+l)g//qS-工二如曲"
ey2_心+1)r
r_rq
_=7-
因而
2-4+4,"=曲_仰)一吕+马
p~pp~p~p~p~p~
解3以厂记需要射击的次数,则Y有分布
P(Y寸)=〃C吕/厂=C吕prqk-r,—,厂+1,….
根据命题2.2.1,
工―P&='=1-
分别以r+1和厂+2代替上式的r,则分别有
k=k*+l
8
k=r(k-r)lrl
~=乞二耳严厂、工;上严厂.
EV2=工;」沁丫=k)=工;丿伙+DC:
二”严-工二姒二必,上式中
&丿伙+心严=工二斜启討旷
由此得
r(r+l)r
9
P「P
9?
D"加-(刃)一二+马-二二卑.p~pp~p~
「(Q+0)
W)「(0)
严七-兀严心」)(兀),
11・设X服从0分布,即它的密度为
一其中a>0,0>0.求EX和DX.(提示:
称BU,r)=['us~x(1-m)/_i力为0函数,由微积分J0
的知识知b(s,h=r(5)r(r)/r(5+1))
解(见p.239,命题2.1)
12.分别以下的几种情况,求z=Vx2+r2的均值.请用两利方法分別计算,即利用1.10
式直接计算,以及先求Z的密度,再利用1.4式计算.
1)(X,Y)有联合密度p(x,y)=丄不
2兀
2)(X,y)有联合密度p(x,y)=丄e-C).
71
3)(X,D有联合密度p(x,y)=4xye^(x2+y2)ID(x9y),其中D=(x,y):
x>0,y>0).
解
1)方法1
饯⑵二P(Zx=rcos^
-z
y=rsin01「%rzr2
=云/(0卄)⑵Ld&Lre~,dr=心Q⑵Lr^dr=(1-厂-z严”(0+8)⑵,
Pz⑵=Fz(z)=Z€pOy)⑵,
EZ=Jz〃z(z)dz=J
「—(3)=2.
方法2
EZ=Eylx+Y2=f+O°f"J兀2+丹(兀,y}dxdy
.v=rcos^
广广产升R如广罗J—OOJ_8V
J—ooJ—OO
1
-2^
v2,.,2*+)dxdy
2)方法1
5(z)=P(Zz=
zV/Jz=r(3/2)=V^/2.
Pz⑵"?
⑵=2z£7/(os(z),r4-00r4-0002Z=\[i
EZ=Jzpz⑵Jz=2joz~e~~dz=2
方法2
EZ=Eylx2+Y2=Tf+°°Jx2+y2p(x,y)dxdy
J—8J—OO
A-rcos^尸广sin&
X2+Y2/(0卄)⑵J;、4sin&cos&d&J:
Pe~r~dr=21
fZ?
22
3d「力二「(5/2)=3石/4.
卄)⑵J:
te~{dt=(\-e~2~-zV2-)/(0+oo)⑵,
=j+j+4>/x2+y2xye~(x+v}ID{x,y)dxdy
x=rcosOy二rsin&
ett/2
J。
4sin&cos&d&
)Ae~rldro
=j^OO2rVr\/z,=/j(^r3/2e_zt/r=r(5/2)=3A/i/4.
13.设X〜N(Od),求EX".
EX°=[px{x)dx=1•J—oo
由于xe~^n是奇函数,兰厂引曲力广;''『「「宀加=2v+oo,故
EX'
—OO
r+8
xpxMdx=
J—OO
当心2吋,
■°°J2兀(7
—8
=^£Lde-x2,(2^++/(―淫_2厂2叫5_i)/ex“・
J2兀』2兀
—OO
由此得
“[0汹奇数
EXn=<^
(/?
—1)(〃—3)・・・3・1•(yn〃为偶数
2x"Px
—8
EX2=E[/?
cosg]2訂二[Rcos自2Ps(s)ds二J;
"丄R2cos2—
027T17V
=—f2;r(l+cos-)ds=—(5+sincos-)
4龙J0714"71
2龙c
_R^—?
14.设球的点径服从[⑦方]上的均匀分布,求球体积的期望.
解设球的直径为X,球的体积为Y.则丫=丄兀X有密度PX(X)=J—I(X)^
6b-a
15.点随机地落在中心在原点、半径为R的圆周上,并对弧长是均匀分布的.求落点横处标的期望和方差.
解从点(1,0)沿反时针方向到落点的弧长为S,落点横坐标为X,则X=Rcos^-fS有
密度PsG)=Z—/[0,2龙](")•因而
Sr+°°sr2兀1s1s
EX=^cos-]4_^cos-p5(^=f0-^cos-^=-^2.sin-
2兀
DX=EX2-(EX)2=R2/2.
16.设X〜N(〃q2),Y=axy其中«>0,a^\.求丫的密度,期望和方差.
解FY(y)=P(Y-In。
jiny/\na)2/(2a2)
当yS0,a<0lit,7y(y)=P(X>ln^/lna)=l-Fx(Iny/Ina),
PY(y)=用(y)=((Iny//lna)px(Iny/\na)=
Indg-(lny/Ina-ju)2/(2a2)
当y50,av0吋,FY(y)=P(XPY(y)=用(y)=((Iny)'/\na)px(Iny/\na)=
由上知y有密度
內(刃=用O)=(dny)'/lna)px=^£-e~^加心)心卄)(刃.
17.设轮船横向摇摆的振幅X是随机变量,有密度p(x)=Axe-x2/2a2/(o卄)◎).求A和X的期望和方差,并求振幅大于其期望的概率.
解1=j*[=f[Axe~x~2<7_/(0+oo)(x)dx
二可。
xe(}dx=4bJ。
edt=A(y^.
故A=[/(y2.
EX=j^xp(X)dx寸二+代?
/2a2心*(x)dx
=A厂代"7$/心=叵厂x21厂2冷心=。
后.
,」°2(7J—莎(J
22
£0(兀)必二A兀3厂2/2,心卄)(劝心'工)12a2te~ldt=2a2.
DX=EX2-(EX)2=(2-7r/2)(y2.
18.设等腰点角三角形的直角边长X为随机变量,服从[0,1]上的均匀分布.求这个三角形的面积的期望.
解X冇密度px(x)=/|o.i]W,这个三角形的面积S=X2/2.
ES=E(X2/2)=j(x2/2)p(x)dx=J二(x2/2)I[QA](x)dx=j^(x2/2)dx=1/6.
19.设园的面积服从指数分布,有密度/心)二冷—巧(o.s(x)•求这个园的半径的期望.解设园的而积为X,则这个园的半径R=
匸加]p+oo
Jo
ER=E(x!
XI兀)=j\Jx/7Tpx(x)dx=jVx/7tXe~^x/(0>+oo)(兀)必
=f「丘忌严dxr怎J=怎「(3/2)=怎•挣=壶•
20.设x.r独立,分别有密度px(兀)=*仏3](兀)和PyM=2尸〉«0心)(刃,又设z=XY.求Z的期望和方差.
解EX=J+xpx(x)^£v=|+右兀/「3](兀)必=]*:
£”必=13/6,
f+°°9f+°°13r
=j_ooXPx(劝心=Loo才兀41,31
EY訂二啊(刃狞=匚y•2e~2yI[0^y(y)dy=J「2y严=1/2,
EY2=J二y2pY(y)dy=j^y2•2宀o,“)心
=J;°°ly2e~2ydy=|^re~ldt=右「(3)=1/2.
EZ=E(XY)=EXEY=(13/6)(1/2)=13/12,
EZ2=£(X2y2)=£X2EK2=5x(l/2)=5/2,DZ=EZ2-(EZ)2=5/2-(13/12)2=191/144.
21.
设某人在3天中共收到5份电子邮件,每份电子邮件在这3天中的那一天被收到都是等可能的•设这3天中有X天当天都至少收到一份电了邮件,求X的期望.(提示:
设
解对于21,2,3,设
则X胡+込+匕,
p(£=0)=(2/3)'=32/243,?
(};.=1)=1-?
(};.=0)=1-32/243=211/243,故E〜3(1,65/81).因而
49
EX=E”+E§+EE=211/243+211/243+211/243=211/81=2下.
22.设(X』)有联合密度p(xo9=A/(x2+y2+1)2,其中A是常数.求出A的值,并问
解1=f+f+p(x,y)dxdy=f+[+A/(x2+y2+I)2dxdy
J—OOJ—8■J—OOJ—8
x=rcos^・y=rsin^
+81r+8r+
xp(x.y)dxdy=—I—8兀J—OOJ—
+8『4*oo
•OO
/(x2+y2+\)2dxdy
=丄+8(+二心2+>,2+1)2必兀J—OO\J—OO
类似地,£7=0.
71
—OO
X
+8
0・d):
=0,
故A=l//r•
+8f+8aaa*>
x2心2+y2+I)2dxdy
■8
+8?
]r+8『•+
Xp(x.y)dxdy=—|
•8兀J—OOJ—
x=rcos^y=^in&]2龙°r+oor3
=—Icos*0d0\d广=+<>o,
龙JoJo(/+1)2
故Ex=DX=E(X-EX)2=EX2不存在,类似地ayY亦不存在.
23.设(XQ服从区域D={(x,y):
OPx⑴=1心,y)dy=\^ID(x,y)dy=仏](兀)J:
'购=2(1-x)Zl0JJ(x)‘
EX—jxpx(x)dx=J;2x(1—x)dx—(x2—2x3/3)|=1/3,
EX2=j二/心(x)dx=匸2兀2(1一X)dx=(2x3/3-x4/2)|l=1/6.
DX=EX1-(EX)1=1/6—(1/3)2=1/18.类似可得DY=\/\S.
=(x2/2-2x3/3+x4
/4)lo
=1/12,
EXY=JJ2兀y/d(x,y)dxdy=^2皿J;呛=匸x(l-^)2dx
cov(X,Y)=EXY-(EX)(EK)=1/12-(1/3)(1/3)=-1/36
24.设(XV)为随机向最(x,/3,a,b,c都是实数.证明:
cov(qX+a,0Y+/?
)=€^cov(X,y),D(aX+卩Y+c)=a2DX+/3~DY+2妙cov(X,Y).
25・已知DX=16,DY=25,p=-0.5.求cov(X,F),D(X+Y)和D(3X-2y+4).
cov(XyY)=JDXDYPxy=V16x25x(-0.5)=-10,
D(X+Y)=DX+DY+2cos(X,y)=16+25+2x(—10)=21,
D(3X-2y+4)=32r>X+22Z)y+2x3x(-2)cos(X,y)
=9x16+4x25+(—12)x(—10)=364.
26.设随机变量X有均值4和方差25.为了使得厂X—s有均值0和方差1,应该怎样选样r,s的值.
解由题意得
0=E(rX-s)=rEX-s=4r-y,1=D(rX-s)=r2DX=25r2,
解方程组
J4r-5=O
I25r2=1
#r=±l/5,5=±4/5・
27.设随机变量X],X2,X3独立同分布,有有限的不等于零的方差.乂设
y=2X]+X2+2X3,Z=2X1+3X2-6X3>求人Z的相关系数.
解设DX]二DX2=DX、=(T2,则
DY=D(2X])+阻+D(2X3)=4cr2+/+4<72=9cr2,
DZ=£>(2兀])+»(3勒)+D(-6X3)=4ct2+9cr2+36cr2=49cr2,
cov(K,Z)=cov(2X],2X])+cov(2X],3X2)+cov(2X|,-6X3)
+cov(X2,2X])+cov(X2,3X2)+cov(X?
-6X3)+
+cov(2X3,2X[)+cov(2X3,3X2)+cov(2X3,-6X3)+
=cov(2X|,2X0+cov(X2,3X2)+cov(2X3,-6X3)
=4(r2+3(r2-12cr2=-5<72.
_co^y,g)__-5亍_一"
"JDYDZ辰2)(4心)'•
28.设(X,Y)是二维正态随机向最,X和丫都有均值0和方差1,两者的相关系数为1/2.为了使得X和Y-kX和互独立,应该怎样选择常数k的值.
解设Z=,贝lj(X,Z)服从正态分布,X,Z相互独立的充分必要条件是
cov(X,Z)=0.山于
cov(X,Z)二cov(X,Y—£X)二cov(X,y)—£cov(X,X)
=y/DXDYpXY-kDX=>JMx(\/2)-kx\=\/2-k・故应选择k=\/2.
29.分别求习题2.26屮的随机变量X和丫的期望和方差,并求它们的协方差和相关系数.
解EX=》:
=o"(X=R)=0x0.4+lx0.3+2x0.3=0.9,
曲=工:
(,2p(x=R)=0x0.4+1x0.3+4x0.3=1.5,
DX=EX2-(EX)2=1.5-0.81=0.69,
EY==k)=0x0.1+1x0.2+2x0.3+3x0.4=2,
EY2==^)=0x0」+1x0.2+4x0.3+9x0.4=5,
z)y=Ey2-(Er)2=5-4=i,
=i,y=7)=1x0.1+2x0」+3x0」+4x0」+6x0.2=2.2,
_cov(x