线性规划多目标线性规划读书笔记.docx

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线性规划多目标线性规划读书笔记

《多目标线性规划模型》的读书笔记

一、线性规划

（一）线性规划的概述

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：

一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：

在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.

（二）线性规划问题的数学模型的一般形式：

（1）列出约束条件及目标函数

（2）画出约束条件所表示的可行域

（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值

一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量xj,j=1,2…,n，目标函数的变量系数用cj表示,cj称为价值系数。

约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。

约束条件右端的常数用bi表示，bi称为资源限量。

则线性规划数学模型的一般表达式可写成

为了书写方便，上式也可写成：

在实际中一般xj≥0,但有时xj≤0或xj无符号限制。

关于上述模型有两点需要加以说明。

第一任何一个实际问题，严格的说都是非线性的。

那么，是问题的什么特性能容许我们做出线性性质的假定。

这一点是建立模型时应当明确的。

第二，在有些模型中还要求决策变量取整数值，在线性规划的范围内来处理这一问题，通常是将连续最优解通过四舍五入取整。

当变量的最优值都比较大时，这种做法可行。

要想得到精确的整数最优解，则需应用整数规划的解法。

（三）线性规划求解

在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。

线性规划问题的标准型为:

1.目标函数求最大值（或求最小值）

2．约束条件都为等式方程

3．变量xj非负

4．常数bi非负

max（或min）Z=c1x1+c2x2+…+cnxn

或写成下列形式：

或用矩阵形式

其中

通常X记为：

称Ａ为约束方程的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数，一般情况m≤n，且r（Ａ）＝m。

（四）线性规划的模型建立

　　从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；

　　1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；

　　2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；

　　3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

　　所建立的数学模型具有以下特点：

　　1、每个模型都有若干个决策变量（x1,x2,x3……，xn），其中n为决策变量个数。

决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。

　　2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。

　　3、约束条件也是决策变量的线性函数。

当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

二、多目标线性规划

多目标规划是数学规划的一个分支，研究多余一个目标函数在给定区域上的最优化，又称多目标最优化。

数学规划的一个分支。

研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。

又称多目标最优化。

通常记为VMP。

在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。

因此有许多学者致力于这方面的研究。

1896年法国经济学家V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克尔、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。

求解多目标规划的方法大体上有以下几种：

一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。

对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。

多目标最优化思想，最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。

他从政治经济学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。

1947年，J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。

1951年，T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。

同年，H.W.库恩和A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题,引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。

1963年，L.A.扎德从控制论方面提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。

1968年，A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。

自70年代以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。

至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。

（一）、多目标线性规划数学模型

在土地研究中，对于许多规划问题，常常考虑多个目标，如经济效益目标、生态效益目标、社会效益目标等等

式中：

，为决策变量向量

如果将上面两个式子进一步缩写，

其中：

是k维函数向量K是目标函数的个数

等是m维函数向量；

G是m维常数向量；

m是约束方程的个数

对于线性多目标规划问题，上述式子可以进一步用矩阵表示

式中：

为n维决策变量向量；

为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；

为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；

为m维的向量，约束向量。

（二）、多目标规划的非劣解

对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：

每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？

每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？

多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其他目标。

在图中，就方案①和②来说，①的目标值比②大，但其目标值比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。

在各个方案之间，显然：

③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。

而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。

所有非劣解构成的集合称为非劣解集。

当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）

（三）、多目标线性规划求解

为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。

实现这种转化，有如下几种建模方法。

1、效用最优化模型

2、罚款模型

3、约束模型

4、目标达到法

5、目标规划模型

方法一：

效用最优化模型（线性加权法）

思想：

规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。

这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：

）

y是与各目标函数相关的效用函数的和函数

在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值li来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即

式中，li应满足

向量形式

方法二罚款模型（理想点法）

思想:

规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；

通过比较实际值fi与期望值fi*之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：

或写成矩阵形式

式中，是与第i个目标函数相关的权重；

A是由（i=1,2,…,k）组成的m×m对角矩阵

方法三约束模型（极大极小法）

理论依据：

若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。

假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：

方法四目标达到法

首先将多目标规划模型化为如下标准形式：

在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标fi*（i=1,2,…,k）,

每一个目标对应的权重系数为wi*（i=1,2,…,k），

再设g为一松弛因子。

那么，多目标规划问题就转化为：

方法五目标规划模型（目标规划法）

需要预先确定各个目标的期望值fi*，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级（L≤K），目标规划模型的数学形式为：

式中：

di+和di－分别表示与fi相应的、与fi*相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；

pl表示第l个优先级；

wlk+、wlk-表示在同一优先级pl中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。

三、多目标土地利用规划的概念

随着科学和社会的发展，人类对自然和社会认识的深化，人们逐步认识了解自然资源开发，社会、经济发展，生态环境的保护等必须协调发展。

土地利用总体规划是保证和落实这一现代概念的重要措施，这一现代概念就是持续发展的概念，所以土地利用总体规划必须是充分利用区域土地资源，全面持续满足社会发展的需要。

　　中国农业大学林培教授根据这一思想认为应该进行多目标土地利用总体规划（1994）。

他指出：

所谓多目标土地利用总体规划就是要在一定的行政区内，根据区域自然特点、社会经济状况以及经济发展要求进行土地利用的战略规划，以期达到资源最大效益的合理利用，区域的持续综合发展、社会经济协调稳定上升和环境与生态不断优化。

1995年7月在夏威夷的第一次关于土地、水和环境管理的多目标决策支持系统国际会议提到多目标土地利用总体规划概念涉及到技术可能，经济可行，环境质量提高，且能被土地使用者所接受，总的来说是持续发展的概念。

在1995年，郝晋珉也认为进行土地利用总体规必须是多目标的，并给出了定义。

他认为：

多目标利用总体规划是在计算机支持下，根据当地的自然、经济与社会情况进行多目标的土地利用规划方案的计算机比较，以求得当地的优化方案。

综合以上所述，认为多目标土地利用总体规划是借助计算机技术、利用系统工程的多目标决策理论，实现与土地利用持续管理有关的各种目标，以及多方案比较优化的过程。

多目标土地利用规划的特点：

（一）多目标土地利用总体规划的方法论特点

多目标性，这主要是由于：

（1）区域发展对土地要求的多用性；

（2）土地的多适宜性；

（3）对土地利用过程中有关资源、社会、经济和生态环境可持续性等有关方面内容必须有所考虑，即在土地利用总体规划中，不仅要考虑区域土地自然因素特点，也要考虑区域经济和社会发展对土地资源的各方面的要求，同时也要考虑区域土地利用结构和特点的持续性。

所以，多目标土地利用总体规划是现代化土地管理的需求。

（二）多目标土地利用总体规划的技术特点

1、多方案比较：