高等数学试题.docx
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高等数学试题
试卷选编
高等数学试题
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________１
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋──────的定义域为
_________
√１－ｘ2
_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）
３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────
h→oh
＝_____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是
____________。
ｘ
５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4
１
６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞Ｘ
７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______
R√R2－ｘ2
８．累次积分∫ｄｘ∫ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为
____________。
00
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ
９．微分方程───＋──（───）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2
∞∞
１０．设级数∑ａn发散，则级数∑ａn_______________。
n=1n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
１．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）
ｘ
１１１
①１－──②１＋──③────④ｘ
ｘｘ１－ｘ
１
２．ｘ→0时，ｘｓｉｎ──＋１是（）
ｘ
①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量
３．下列说法正确的是（）
①若ｆ（X）在X＝Xo连续，则ｆ（X）在X＝Xo可导
②若ｆ（X）在X＝Xo不可导，则ｆ（X）在X＝Xo不连续
③若ｆ（X）在X＝Xo不可微，则ｆ（X）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（X）在X＝Xo不连续，则ｆ（X）在X＝Xo不可导
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）
①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧
５．设Ｆ'（x）＝Ｇ'（x），则（）
①Ｆ（X）＋Ｇ（X）为常数
②Ｆ（X）－Ｇ（X）为常数
③Ｆ（X）－Ｇ（X）＝０
ｄｄ
④──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ
ｄｘｄｘ
1
６．∫│ｘ│ｄｘ＝（）
-1
①０②１③２④３
７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）
①平行于ｘｏｙ面的平面
②平行于ｏｚ轴的平面
③过ｏｚ轴的平面
④直线
ｘ
８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ──，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）
ｙ
①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）
１
③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④──ｆ（ｘ，ｙ）
ｔ2
ａn＋１∞
９．设ａn≥０，且ｌｉｍ─────＝ｐ，则级数∑ａn（）
n→∞ａn=1
①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散
②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散
③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散
④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散
１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）
①一阶线性非齐次微分方程
②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程
④二阶微分方程
（二）每小题２分，共２０分
１１．下列函数中为偶函数的是（）
①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１
③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│
１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）
①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）
③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）
１３．设ｆ（X）在X＝Xo的左右导数存在且相等是ｆ（X）在X＝Xo可导的（）
①充分必要的条件
②必要非充分的条件
③必要且充分的条件
④既非必要又非充分的条件
ｄ
１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，
则ｆ（ｘ）＝（）
ｄｘ
①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ
１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）
①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１
１x
１６．ｌｉｍ───∫３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）
x→0ｘ30
１
①０②１③──④∞
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝（）
x→0ｘ2＋ｙ2
y→0
①０②１③∞④ｓｉｎ１
１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）
①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'
ｄｐ
②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───
ｄｙ
ｄｐ
③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───
ｄｙ
１ｄｐ
④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝─────
ｐｄｙ
∞∞
１９．设幂级数∑ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）
n=on=o
①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关
ｓｉｎｘ
２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫─────ｄσ＝（）
Dｘ
11ｓｉｎｘ
①∫ｄｘ∫─────ｄｙ
0xｘ
__
1√yｓｉｎｘ
②∫ｄｙ∫─────ｄｘ
0yｘ
__
1√xｓｉｎｘ
③∫ｄｘ∫─────ｄｙ
0xｘ
__
1√xｓｉｎｘ
④∫ｄｙ∫─────ｄｘ
0xｘ
三、计算题（每小题５分，共４５分）
___________
／ｘ－１
１．设ｙ＝／──────求ｙ'。
√ｘ（ｘ＋３）
ｓｉｎ（９ｘ2－１６）
２．求ｌｉｍ───────────。
x→4/3３ｘ－４
ｄｘ
３．计算∫───────。
（１＋ｅx）2
t1ｄｙ
４．设ｘ＝∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求───。
0tｄｘ
５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。
___
６．设ｕ＝ｅx＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求ｄｕ。
xasinθ
７．计算∫∫ｒｓｉｎθｄｒｄθ。
00
ｙ＋１
８．求微分方程ｄｙ＝（────）2ｄｘ通解。
ｘ＋１
３
９．将ｆ（ｘ）＝─────────展成的幂级数。
（１－ｘ）（２＋ｘ）
四、应用和证明题（共１５分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度
（比例常数为ｋ〉０）求速度与时间的关系。
___１
２．（７分）借助于函数的单调性证明：
当ｘ〉１时，２√ｘ〉３－──。
ｘ
附：
高等数学
（一）参考答案和评分标准
一、填空题（每小题１分，共１０分）
１．（－１，１）
２．２ｘ－ｙ＋１＝０
３．５Ａ
４．ｙ＝ｘ2＋１
１
５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ
２
６．１
７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
π/2π
８．∫ｄθ∫ｆ（ｒ2）ｒｄｒ
00
９．三阶
１０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的
（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１．③２．③３．④４．④５．②
６．②７．②８．⑤９．④１０．③
（二）每小题２分，共２０分
１１．④１２．④１３．⑤１４．③１５．③
１６．②１７．①１８．③１９．①２０．②
三、计算题（每小题５分，共４５分）
１
１．解：
ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］（２分）
２
１１１１１
──ｙ'＝──（────－──－────）（２分）
ｙ２ｘ－１ｘｘ＋３
__________
１／ｘ－１１１１
ｙ'＝──／──────（────－──－────）（１分）
２√ｘ（ｘ＋３）ｘ－１ｘｘ＋３
１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）
２．解：
原式＝ｌｉｍ────────────────（３分）
x→4/3３
１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］
＝──────────────────────＝８（２分）
３
１＋ｅx－ｅx
３．解：
原式＝∫───────ｄｘ（２分）
（１＋ｅx）2
ｄｘｄ（１＋ｅx）
＝∫─────－∫───────（１分）
１＋ｅx（１＋ｅx）2
１＋ｅx－ｅx１
＝∫───────ｄｘ＋─────（１分）
１＋ｅx１＋ｅx
１
＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋─────＋ｃ（１分）
１＋ｅx
４．解：
因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ（３分）
ｄｙ－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
所以───＝────────────────＝－ｔｇｔ（２分）
ｄｘ（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
５．解：
所求直线的方向数为｛１，０，－３｝（３分）
ｘ－１ｙ－１ｚ－２
所求直线方程为────＝────＝────（２分）
１０－３
____
６．解：
ｄｕ＝ｅx+√y+sinzｄ（ｘ＋√ｙ＋ｓｉｎｘ）（３分）
__ｄｙ
＝ｅx+√y+sinz［（１＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＋─────］（２分）
___
２√ｙ
πasinθ１π
７．解：
原积分＝∫ｓｉｎθｄθ∫ｒｄｒ＝──ａ2∫ｓｉｎ3θｄθ（３分）
00２0
π/2２
＝ａ2∫ｓｉｎ3θdθ＝──ａ2（２分）
0３
ｄｙｄｘ
８．解：
两边同除以（ｙ＋１）2得──────＝──────（２分）
（１＋ｙ）2（１＋ｘ）2
ｄｙｄｘ
两边积分得∫──────＝∫──────（１分）
（１＋ｙ）2（１＋ｘ）2
１１
亦即所求通解为────－────＝ｃ（２分）
１＋ｘ１＋ｙ
１１
９．解：
分解，得ｆ（ｘ）＝────＋────（１分）
１－ｘ２＋ｘ
１１１
＝────＋───────（１分）
１－ｘ２ｘ
１＋──
２
∞１∞ｘnｘ
＝∑ｘn＋──∑（－１）n──（│ｘ│〈１且│──│〈１）（２分）
n=0２n=0２n２
∞１
＝∑［１＋（－１）n───］ｘn（│ｘ│〈１）（２分）
n=0２n+1
四、应用和证明题（共１５分）
ｄｕ
１．解：
设速度为ｕ，则ｕ满足ｍ＝──＝ｍｇ－ｋｕ（３分）
ｄｔ
１
解方程得ｕ＝──（ｍｇ－ｃｅ-kt/m）（３分）
ｋ
ｍｇ
由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝──（１－ｅ-kt/m）（２分）
ｋ
__１
２．证：
令ｆ（ｘ）＝２√ｘ＋──－３则ｆ（ｘ）在区间［１，＋∞］连续（２分）
ｘ
１１
而且当ｘ〉１时，ｆ'（ｘ）＝──－──〉０（２分）
__ｘ2
√ｘ
因此ｆ（ｘ）在［１，＋∞］单调增加（１分）
从而当ｘ〉１时，ｆ（ｘ）〉ｆ（１）＝０（１分）
___１
即当ｘ〉１时，２√ｘ〉３－──（１分）
ｘ
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