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期权文献综述

文献综述

金融衍生品定价：

EPMS估计量的渐近分布综述

金融衍生品定价：

EPMS估计量的渐近分布综述

摘要

金融衍生品的定价是以各种定价模型的为基础的.其中,金融衍生品的定价以期权定价的研究最为广泛，许多优秀的模型都是从期权定价作为出发点考虑的。

期权定价是整个金融衍生品定价的核心。

本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black—Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想.最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。

关键词：

期权定价，Black—Scholes模型，二叉树模型,蒙特卡罗法

金融衍生品定价：

EPMS估计量的渐近分布综述

1。

期权的分类及意义

1。

1期权的定义

期权又称为选择权,是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具.指在未来一定时期可以买卖的权利，是买方向卖方支付一定数量的金额（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权力,但不负有必须买进或卖出的义务.

从其本质上讲,期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价,使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易，行使其权利，而义务方必须履行。

在期权的交易时，购买期权的一方称作买方，而出售期权的一方则叫做卖方；买方即是权利的受让人,而卖方则是必须履行买方行使权利的义务人。

1。

2期权的分类

期权交易的类型很多,大致有如下几种：

（1）按期权的权利划分，有看涨期权和看跌期权两种类型。

看涨期权（CallOptions）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务。

而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。

看跌期权：

按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利,但不负有必须卖出的义务.而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。

（2）按期权的交割时间划分,有美式期权和欧式期权两种类型。

美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利。

欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利，期权的买方在合约到期日之前不能行使权利,过了期限,合约则自动作废。

（3）按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品期权以及外汇期权等种类.

此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式，如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。

1。

3新型模式

标准欧式或美式看涨期权和看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权（exoticoptions）。

大多数新型期权在场外交易。

它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。

有时候它们被附加在所发行的债券中以增加对市场的吸引力。

二元期权（binaryoptions）,又称数字期权、固定收益期权，是操作最简单的金融交易品种之一。

二元期权在到期时只有两种可能结果，基于一种标的资产在规定时间内（例如未来的一小时、一天、一周等）收盘价格是低于还是高于执行价格的结果，决定是否获得收益。

如果标的资产的走势满足预先确定的启动条件，二元期权交易者将获得一个固定金额的收益，反之则损失固定金额的部分投资,即固定收益和风险。

二元期权的一个突出特征和投资优势在于,它只需在到期时期权的到期价格相比执行价格是有价格上的增额（即使只波动了一分钱）就会获得很高的盈利。

因此,即便是在市场清淡时期,二元期权也会给投资者带来显著的投资收益.相反，如果购买股票或外汇等金融品种,那么要想获得正的投资收益就要求有较大的市场波动。

随着在线交易平台和工具的发展，在线二元期权交易开始广受欢迎，二元期权以其交易时间短,交易品种多,操作简单，方便灵活,风险收益稳定等特点，迅速在欧美、中东以及日本等地区流行起来。

打包期权（packages）是由标准欧式看涨期权、标准欧式看跌期权、远期合约、现金及标的资产本身构成的组合。

非标准美式期权：

在标准美式期权的有效期内任何时间均可行使期权且执行价格总是相同的。

而实际中，交易的美式期权不一定总是具有这些标准特征。

有一种非标准美式期权称为Bermudan期权.在这种期权中提前行使只限于期权有效期内特定日期。

例如美式互期期权就只能在指定日才能行使。

远期开始期权是支付期权费但在未来某时刻开始的期权,它们有时用来对雇员实施奖励。

通常选择合适的期权条款以便该期权在启动时刻处于平价状态.

复合期权是期权的期权。

复合期权主要有四种类型：

看涨期权的看涨期权，看涨期权的看跌期权，看跌期权的看涨期权，看跌期权的看跌期权。

复合期权有两个执行价格和两个到期日。

1.4期权的特点

（1）独特的损益结构

与股票、期货等投资工具相比，期权的与众不同之处在于其非线性的损益结构。

正是期权的非线性的损益结构，才使期权在风险管理、组合投资方面具有了明显的优势。

通过不同期权、期权与其他投资工具的组合，投资者可以构造出不同风险收益状况的投资组合。

（2）风险

期权交易中，买卖双方的权利义务不同，使买卖双方面临着不同的风险状况.对于期权交易者来说，买方与卖方部位均面临着权利金不利变化的风险.这点与期货相同，即在权利金的范围内,如果买的低而卖的高，平仓就能获利。

相反则亏损。

与期货不同的是,期权多头的风险底线已经确定和支付，其风险控制在权利金范围内.期权空头持仓的风险则存在与期货部位相同的不确定性。

由于期权卖方收到的权利金能够为其提供相应的担保，从而在价格发生不利变动时，能够抵消期权卖方的部份损失。

虽然期权买方的风险有限，但其亏损的比例却有可能是100%，有限的亏损加起来就变成了较大的亏损.期权卖方可以收到权利金，一旦价格发生较大的不利变化或者波动率大幅升高,尽管期货的价格不可能跌至零，也不可能无限上涨,但从资金管理的角度来讲,对于许多交易者来说，此时的损失已相当于“无限"了.因此,在进行期权投资之前,投资者一定要全面客观地认识期权交易的风险。

2.期权定价理论

2。

1早期期权定价理论研究

期权的思想萌芽可追溯到公元前1800年的《汉漠拉比法典》，而早在公元前1200年的古希腊和古胖尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过在当时条件下不可能对其有深刻认识。

公认的期权定价理论创始人是法国数学家Louis Bachelicr。

1900年，他在博士论文“投机理论"中第一次对股票价格的走势给予了严格的数学描述。

他假设股票价格变化过程是一个无漂移和每单位时间具有方差

的纯标准布朗运动,并得出到期日看涨期权的预期价格是:

Boness在1964年也提出了类似的模型，他对股票收益假定了一个固定的对数分布，并且认识到风险保险的重要性。

为简明,他假定“投资者不在乎风险”。

他利用这一假设证明了用股票的预期收益率

来贴现最终期权的预期值。

他的最终模型是：

Samuelson于1965年认识到，由于不同的风险特性，期权和股票的预期收益率一般来说是不同的他的欧式看涨期权的模型是:

Samuelson和Merton在1969年用一种资产组合选择的简单均衡模型检验了期权定价理论，这种模型允许内生的确定股票和期权的预期收益。

他们证明了期权间题可以用函数形式的“公共概率”项来表示，这种函数形式与用真实概率所表述的问题一样。

以这种方式表示时，调整过的股票预期收益率和期权预期收益是一样的。

这一方法使用了现在被认为是理所当然的估计期权的风险中性或偏好自由的发展成果。

2。

2Black—Scholes期权定价模型

现代期权定价理论的革命发生在1973年，美国金融学家Black和Scholes在有效市场和股票价格遵循几何布朗运动等一系列假设条件下，运用连续交易保值策略推出了著名的Black-Scholes定价模型.Black—Scholes定价模型的核心在于设计了一个套期组合策略，使得期权市场投资的风险为零，这是对期权定价公式建模思路的高度概括。

它告诉我们,如果构造了这样的套期组合，并且能够完全复制期权的收益及风险特性，那么下列两个量均应当与期权当前的公平价值相等：

第一，构造该套期组合的当前成本:

第二，该套期组合在期权到期日价值的期望值按无风险利率贴现的现值。

Black-scholes期权定价模型的基本假设如下:

（1）允许使用全部所得卖空衍生证券； 

（2）没有交易费用或税收； 

（3）在衍生证券的有效期内没有红利支付； 

（4）不存在无风险套利机会; 

（5）证券交易是连续的; 

（6）无风险利率r为常数且对所有到期日均相同； 

（7）股票价格遵循下述几何布朗运动：

其中，u是股票的预期收益率,

是股票价格波动率.

Black和Scholes给出了标的资产为不支付红利的股票的衍生证券在时刻t的价格

所满足的偏微分方程：

这就是著名的“Black—Scholes微分方程”。

该方程的一个重要特性在于不包

含股票的预期收益率尸，使其独立于投资者的偏好。

Black—Scholes、模型给出了所有的可以用标的变量定义的不同衍生证券的价格所满足的偏微分方程，不同的衍生证券有着不同的边界条件。

当所研究的衍生证券没有精确解析公式时，通常运用数值计算方法为其定价。

在Black-Scholes模型中给出了欧式期权定价公式，但美式期权定价问题则要复杂的多.现在市场上存在的大量美式衍生证券,就常常找不到相应可行的解析公式来求解其价格，所以数值方法就称为了一种相当重要的衍生证券定价方法。

控制风险是Black—Scholes期权定价模型的重要意义之一.70年代以后，随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快，汇率和利率的波动更加频繁,变动幅度也不断加大,风险也相应增加。

控制和减小风险成为所有投资者孜孜以求的目标。

Black—Scholes定价模型提出了能够控制风险的期权。

同时,也为将数学应用于经济领域,创立更多的控制风险和减小风险的工具开辟了道路。

Scholes把经济学原理应用于直接经营操作,堪称理论联系实际的典范。

他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛发展铺平了道路,也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融资和风险防范手段，这对整个经济发展显然是有益的。

期权定价理论是现代金融理论最为重要的成果之一,它集中体现了金融理论的许多核心问题,其理论之深、应用之广、令人惊叹。

现代金融理论的发张趋势主要体现在：

随机最优控制理论,鞍理论，脉冲最优控制理论，最优停时理论,智能优化等。

由于期权定价理论在金融证券市场上的重要性，越来越多的数学家开始从数学角度研究Black-Scholes定价模型.而定价模型取决于原生资产价格的演化模型（例如Brown运动）。

在连续时间情形，原生资产价格演化可以通过随机微分方程来描述,从而在此基础上,作为它的衍生物一期权的价格适合的是一个偏微分方程的定解问题。

因此，我们可以很自然地想到把偏微分方程作为工具，导出期权的定价公式，对期权的价格结构作深入的定性分析，以及利用偏微分方程数值分析方法给出求期权的价格.随着计算机的先进性和普及性,数值方法在求解期权定价，特别是一些复杂的期权定价问题，如复合期权，选择期权等，显示出了其强大的优越性。

2.3树图方法

在树图方法中，最常见的是二叉树参数模型。

John C. Cox、Stephen A. Ross以及Mark Rubinstein于 1979年在论文《Option Pricing:

  A Simplified Approach》中首次提出了二项式模型（Binomial Model）,该模型建立了期权定价数值法的基础。

Cox在文献中首次提出了美式期权的二叉树方法,Black—Scholes期权定价模型虽然有许多优点，但是它的推导过程难以为人们所接受，而该方法的优点在于其比较简单、直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用.二叉树图方法用离散的模型模拟资产价格的连续运动,利用均值和方差的匹配来确定相关参数，然后从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格.

 二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上（或向下）波动的概率和幅度不变.模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。

对于美式权证，由于可以提前行权,每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。

二叉树期权定价模型和Black—Scholes期权定价模型，是两种相互补充的方法.二叉树期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。

二叉树期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：

上涨或者下跌。

虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二叉树期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。

随着要考虑的价格变动数目的增加，二叉树期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二叉树期权定价模型和Black—Scholes期权定价模型相一致。

二叉树期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性,因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。

  随后Jarrow和Hull和Boyle近似地提出了一种三叉树方法,这种方法讨论了二叉树方法的缺陷并进行修正，因此比二叉树方法更精确。

2。

4蒙特卡洛法 

蒙特卡罗模拟方法是一种对欧式衍生资产估值方法，其基本思想是:

 假设已知标的资产价格的分布函数，然后把期权的有效期限分为若干个小的时间间隔，借助计算机的帮助，可以从分布的样本中随机抽样来模拟每个时间间隔股价的变动和股价一个可能的运行路径，这样就可以计算出期权的最终价值。

这一结果可以被看作是全部可能终值集合中的一个随机样本，用该变量的另一条路径可以获得另一个随机样本。

更多的样本路径可以得出更多的随机样本.如此重复几千次，得到T时刻期权价格的集合，对几千个随机样本进行简单的算术平均,就可求出T时刻期权的预期收益。

根据无套利定价原则，把未来T时刻期权的预期收益

用无风险利率折现就可以得到当前时刻期权的价格：

其中，P表示期权的价格， r表示无风险利率,

为T时刻期权的预期收益。

蒙特卡罗模拟方法的优点在于它能够用于标的资产的预期收益率和波动率的函数形式比较复杂的情况，而且模拟运算的时间随变量个数的增加呈线性增长,其运算是比较有效率的.但是,该方法的局限性在于只能用于欧式期权的估价，而不能用于对可以提前执行合约的美式期权。

且结果的精度依赖于模拟运算次数。

2。

5有限差分方法

有限差分方法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级 数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

有限差分方法主要是运用离散化技术将B-S期权定价方程转化为差分方程，它也是一个倒向计算的方法即从到期日开始往回推导,同样用于处理欧式和美式期权.有限差分方法主要包括显式有限差分法、隐式有限差分法以及混合差分法，当所选用的差分格式不同时，其求解精度也是不尽相同的。

Schwartz（1977）最早应用有限差分法来逼近金融偏微分方程的精确解，之后有限差分法在金融领域的研究也相继展开。

Izvorski（1998），Chen（1998）将有限差分法应用到双元问题的细致研究中；Gilli（2002）将有限差分法应用到三元欧式期权定价问题的研究中.

3。

期权定价理论的研究展望

3.1各种期权定价理论比较分析

上述各种定价方法从求解角度看可分为解析方法与数值方法，前者包括传统期权定价方法和Black-Scholes方法；后者包括蒙特卡罗模拟方法、二叉树方法、有限差分方法、确定性套利方法、E-套利方法和区间定价方法。

从应用的角度看可分为只适用完全金融市场的方法和既适用完全金融市场又适用非完全金融市场的方法,前者包括Black—Schole方法、蒙特卡罗模拟、二叉树方法和有限差分方法;后者包括确定性套利定价方法、E—套利定价方法和区间定价方法.

Black-Scholes期权定价方法的主要优点是:

该方法能够得到套期保值参数和杠杆效应的解析表达式，从而为衍生资产的交易策略提供较清晰的定量结论，解析解本身没有误差,当需要计算的期权的数量较小时，直接使用Black-Scholes公式比较方便.但是,该方法也存在不足之处,即只能给出欧式期权的解析解，该方法也难以处理期权价格依赖于状态变量历史路径及其它的一些较复杂的情况。

数值计算方法各有其优缺点.蒙特卡罗模拟方法的优点在于能处理较复杂的情况且计算的相对效率较高，但由于该方法是由初始时刻的期权值推导未来时刻的期权值，它只能用于欧式期权的计算，而不能用于对可以提前执行合约的美式期权。

二叉树方法和有限差分方法是由期权的未来值回溯期权的初始值，因此可以用于美式期权的计算，但这两种方法不仅计算量大、计算效率低，而且难以计算期权依赖于状态变量历史路径的复杂情况.就二者之间的优劣比较而言，Geske—Shastrid的研究结果进一步表明，二叉方法更适用于计算少量期权的价值，而从事大量期权价值计算时有限差分方法更有效率。

在非完全市场情况下，传统期权定价方法、Black-Scholes期权定价方法、二叉树期权定价方法、有限差分方法和蒙特卡罗模拟方法都不适用。

衍生资产价格不是一个确定的值，而是一个区间。

E —套利定价方法所得到的结果位于运用区间定价方法所得到的区间内。

在完全金融市场情况下，这个区间就退化为一个点，这时衍生资产区间定价方法与二叉树定价方法和E—套利定价方法得到的结果是一致的。

二叉树定价方法是确定性套利定价方法、区间定价方法和E-套利定价方法的特殊情况，确定性套利定价方法、区间定价方法和E-套利定价方法是二叉树定价方法在非完全金融市场的推广，运用E-套利定价方法所得到的结果一定在运用区间定价方法所得到的区间内，确定性套利定价方法、区间定价方法和E—套利定价方法都既适用于完全金融市场,又适用于非完全的金融市场。

3.2期权定价理论的研究展望

无论是在连续时间模型框架下,还是在离散时间模型框架下；无论在完全市场假设下，还是在非完全市场假设下;无论是对欧式期权、美式期权、亚式期权的定价，还是对其它复杂的衍生资产的定价,无套利定价原则都是一个普遍适用的基本原则。

正如我国金融工程学科的主要创导者之一,宋逢明教授在《金融工程原理》中所述：

“不懂得无套利均衡分析,就是不懂得现代金融学的基本方法论,当然，也就不懂得金融工程的基本方法论”。

可以说有关各类期权定价方法的研究还在不断的探讨和发展，因为从理论上讲期权发展是无止境的，从实际上讲期权是复杂多变和应用广泛的，因此，研究探讨期权定价方法的共性和个性，对于深入研究复杂期权的定价有重要意义。

4.总结

金融市场内在的复杂性使金融衍生品定价问题成为系统建模中最具有挑战性的课题之一，其中包括金融变量的数学描述、各种金融变量之间的关系分析、市场风险的计算与控制等等方面的问题.由于期权定价方法具有广泛的应用价值，众多学者仍从不同的角度持续不断地对这一问题进行更深入的研究.但到目前为止，定价模型仍不能完全描写金融衍生品市场的价格变化。

一些数学工具，例如，随机分析、随机最优控制、组合分析、非线性分析、多元统计分析和数学规划等，在金融理论和实际中起着关键的作用。

随着数学工具的不断发展、金融市场的不断完善，金融衍生品定价模型会越来越接近实际市场情况，这也正是推动模型不断向前发展的原动力。

5.参考文献

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